初中數(shù)學(xué)分式習(xí)題同學(xué)們，分式這塊內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系里，算是一個(gè)小小的“坎兒”。它不像整式那樣直觀，運(yùn)算規(guī)則也多了幾分講究。但只要我們把基本概念吃透，掌握好運(yùn)算的“火候”，再輔以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，就能輕松邁過這道坎，甚至從中找到解題的樂趣。今天，我們就一起來(lái)梳理分式習(xí)題的常見類型與解題思路，希望能幫大家鞏固所學(xué)，提升解題能力。一、溫故知新：分式的核心概念與性質(zhì)點(diǎn)睛在動(dòng)手做題之前，我們先來(lái)快速回顧一下分式的“靈魂”所在，這些是我們解題的“指南針”。1.分式的定義：形如`A/B`(A、B是整式，B中含有字母且B≠0)的式子叫做分式。這里，B≠0是分式有意義的前提，這點(diǎn)在解題中出鏡率極高，務(wù)必牢記！2.分式的值為零：要使分式的值為零，需同時(shí)滿足兩個(gè)條件：分子A=0，且分母B≠0。兩者缺一不可，千萬(wàn)別顧此失彼。3.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。這是分式化簡(jiǎn)、約分、通分的理論基礎(chǔ)，如同我們做分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)的“等價(jià)變形”。二、分式的化簡(jiǎn)與求值：錘煉運(yùn)算基本功分式的化簡(jiǎn)與求值是分式運(yùn)算的核心題型，也是各類考試的?？?。它主要考察我們對(duì)分式基本性質(zhì)的運(yùn)用以及因式分解能力。（一）分式的約分與通分約分是將分式化為最簡(jiǎn)分式的過程，通分則是異分母分式加減運(yùn)算的前奏。兩者都依賴于準(zhǔn)確的因式分解。例題1：約分化簡(jiǎn)分式：`(x2-4)/(x2-4x+4)`分析與解答：首先，我們對(duì)分子分母分別進(jìn)行因式分解。分子`x2-4`是平方差形式，可以分解為`(x+2)(x-2)`。分母`x2-4x+4`是完全平方形式，可以分解為`(x-2)2`。于是，原式變?yōu)閌[(x+2)(x-2)]/[(x-2)2]`。接下來(lái)，我們約去分子分母的公因式`(x-2)`（注意，這里隱含著`x-2≠0`，即`x≠2`），得到最簡(jiǎn)分式`(x+2)/(x-2)`。例題2：通分對(duì)分式`1/(x2-1)`和`1/(x2+2x+1)`進(jìn)行通分。分析與解答：通分的關(guān)鍵是找到最簡(jiǎn)公分母。先分解分母：`x2-1=(x+1)(x-1)``x2+2x+1=(x+1)2`最簡(jiǎn)公分母應(yīng)取各分母所有因式的最高次冪的積，即`(x+1)2(x-1)`。然后，將兩個(gè)分式分別化為以最簡(jiǎn)公分母為分母的分式：第一個(gè)分式：`1/[(x+1)(x-1)]=[(x+1)]/[(x+1)2(x-1)]`第二個(gè)分式：`1/(x+1)2=[(x-1)]/[(x+1)2(x-1)]`（二）分式的四則運(yùn)算分式的四則運(yùn)算與分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算類似，遵循“先乘除，后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里”的順序。例題3：分式的加減計(jì)算：`a/(a-b)+b/(b-a)`分析與解答：觀察到兩個(gè)分式的分母`(a-b)`與`(b-a)`是互為相反數(shù)的關(guān)系，即`b-a=-(a-b)`。因此，我們可以將第二個(gè)分式的分母化為`(a-b)`：`b/(b-a)=-b/(a-b)`。原式變?yōu)閌a/(a-b)-b/(a-b)=(a-b)/(a-b)=1`（這里同樣要求`a≠b`）。例題4：分式的乘除計(jì)算：`(x2-9)/(x2+6x+9)÷(x-3)/x`分析與解答：分式的除法可以轉(zhuǎn)化為乘以除數(shù)的倒數(shù)。首先，分解因式：`x2-9=(x+3)(x-3)``x2+6x+9=(x+3)2`原式可轉(zhuǎn)化為：`[(x+3)(x-3)]/(x+3)2*x/(x-3)`然后，進(jìn)行約分：分子分母中的`(x+3)`、`(x-3)`可以約去，得到`x/(x+3)`。例題5：分式的混合運(yùn)算計(jì)算：`[1/(x-1)-1/(x+1)]÷x/(x2-1)`分析與解答：這是一道包含括號(hào)和除法的混合運(yùn)算題。第一步，先算括號(hào)內(nèi)的減法：`1/(x-1)-1/(x+1)`。通分，最簡(jiǎn)公分母是`(x-1)(x+1)`，即`x2-1`。所以，`(x+1-(x-1))/[(x-1)(x+1)]=(x+1-x+1)/(x2-1)=2/(x2-1)`。第二步，將結(jié)果除以`x/(x2-1)`，即乘以它的倒數(shù)`(x2-1)/x`。于是，`2/(x2-1)*(x2-1)/x=2/x`。（三）分式的化簡(jiǎn)求值這類題目通常是先將分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入給定的字母值（或字母間的關(guān)系）求出結(jié)果。例題6：先化簡(jiǎn)，再求值：`(1+1/(x-1))÷x/(x2-1)`，其中`x=2`。分析與解答：先化簡(jiǎn)原式。括號(hào)內(nèi)`1+1/(x-1)=(x-1+1)/(x-1)=x/(x-1)`。然后，除以`x/(x2-1)`等于乘以`(x2-1)/x`，而`x2-1=(x-1)(x+1)`。所以，原式=`x/(x-1)*(x-1)(x+1)/x=x+1`（約分過程中，x≠0,1）。當(dāng)`x=2`時(shí)，原式=`2+1=3`。解題小貼士：*化簡(jiǎn)求值時(shí)，一定要先化簡(jiǎn)再代入，這樣可以大大減少計(jì)算量。*代入的數(shù)值必須使原分式（包括化簡(jiǎn)過程中所有出現(xiàn)過的分式）有意義，即分母不為零。三、分式方程的求解與應(yīng)用：從數(shù)學(xué)式子到實(shí)際問題分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程。解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化”——通過去分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程求解，但必須驗(yàn)根?。ㄒ唬┓质椒匠痰慕夥ɡ}7：解方程：`2/x=3/(x+1)`分析與解答：第一步，去分母。方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母`x(x+1)`，得到：`2(x+1)=3x`。第二步，解這個(gè)整式方程：`2x+2=3x`，移項(xiàng)得`x=2`。第三步，驗(yàn)根。將`x=2`代入原方程的分母`x`和`x+1`，分別為2和3，均不為零。所以`x=2`是原方程的根。例題8：解方程：`(x)/(x-2)-1=8/(x2-4)`分析與解答：首先，注意到`x2-4=(x-2)(x+2)`，最簡(jiǎn)公分母是`(x-2)(x+2)`。方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母：`x(x+2)-(x-2)(x+2)=8`。展開并化簡(jiǎn)：`x2+2x-(x2-4)=8`→`x2+2x-x2+4=8`→`2x+4=8`→`2x=4`→`x=2`。驗(yàn)根：當(dāng)`x=2`時(shí)，原方程的分母`x-2=0`，`x2-4=0`，分式無(wú)意義。因此，`x=2`是原方程的增根，原方程無(wú)解。為什么會(huì)產(chǎn)生增根？因?yàn)樵谌シ帜傅倪^程中，我們默認(rèn)所乘的最簡(jiǎn)公分母不為零。但當(dāng)解出的整式方程的根恰好使最簡(jiǎn)公分母為零時(shí)，這個(gè)根就不是原分式方程的根，稱為增根。所以，驗(yàn)根是解分式方程必不可少的步驟?。ǘ┓质椒匠痰膽?yīng)用分式方程的應(yīng)用題與一元一次方程應(yīng)用題類似，關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系，并用含未知數(shù)的分式表示出來(lái)。常見的類型有行程問題、工程問題、濃度問題等。例題9（工程問題）：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要`a`天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要`b`天完成。如果兩隊(duì)合作，需要多少天完成？若`a=10`，`b=15`，則兩隊(duì)合作需要多少天？分析與解答：設(shè)工作總量為單位“1”。甲隊(duì)的工作效率為`1/a`（每天完成總量的1/a），乙隊(duì)的工作效率為`1/b`。兩隊(duì)合作的工作效率為`1/a+1/b`。根據(jù)“工作時(shí)間=工作總量÷工作效率”，合作需要的天數(shù)為`1÷(1/a+1/b)`?；?jiǎn)這個(gè)表達(dá)式：`1÷[(b+a)/(ab)]=ab/(a+b)`。當(dāng)`a=10`，`b=15`時(shí)，代入得`(10*15)/(10+15)=150/25=6`（天）。答：兩隊(duì)合作需要`ab/(a+b)`天完成；當(dāng)`a=10`，`b=15`時(shí)，需要6天。例題10（行程問題）：小明騎自行車從家到學(xué)校，平常速度為每小時(shí)`v`千米，需要`t`小時(shí)。某天他晚出發(fā)了幾分鐘，為了按時(shí)到校，他將速度提高到每小時(shí)`(v+2)`千米，結(jié)果提前了15分鐘到達(dá)。求小明家到學(xué)校的距離。（用含`v`和`t`的代數(shù)式表示）分析與解答：首先，明確幾個(gè)量：平常速度`v`千米/小時(shí)，平常時(shí)間`t`小時(shí)，所以家到學(xué)校的距離`s=v*t`千米。某天速度為`(v+2)`千米/小時(shí)，時(shí)間比平常少了15分鐘，即`15/60=1/4`小時(shí)，所以用時(shí)為`(t-1/4)`小時(shí)。根據(jù)距離相等，可列出方程：`v*t=(v+2)(t-1/4)`。雖然題目只要求用含`v`和`t`的代數(shù)式表示距離，而距離本身就是`v*t`。但如果我們想通過這個(gè)方程找到另一種表達(dá)式，也可以嘗試展開右邊：`vt-v/4+2t-1/2`。左邊`vt`等于右邊，所以`0=-v/4+2t-1/2`，這個(gè)式子可以用來(lái)表示`v`和`t`的關(guān)系，但題目主要問距離，所以`s=vt`即可。答：小明家到學(xué)校的距離為`vt`千米。解應(yīng)用題的一般步驟：1.審：審清題意，找出已知量、未知量和等量關(guān)系。2.設(shè)：設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)（注意單位）。3.列：根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程。4.解：解這個(gè)分式方程。5.驗(yàn)：檢驗(yàn)（既要檢驗(yàn)是否為分式方程的根，也要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義）。6.答：寫出答案（注意單位）。四、綜合演練：挑戰(zhàn)與提升分式的知識(shí)點(diǎn)常常與整式、因式分解等結(jié)合起來(lái)考察，形成一些綜合性稍強(qiáng)的題目。例題11：已知`1/x-1/y=3`，求代數(shù)式`(2x+3xy-2y)/(x-2xy-y)`的值。分析與解答：直接求出`x`和`y`的值比較困難，但我們可以從已知條件`1/x-1/y=3`入手，對(duì)其進(jìn)行變形，找到`x-y`與`xy`的關(guān)系。`1/x-1/y=(y-x)/xy=3`，所以`y-x=3xy`，即`x-y=-3xy`。接下來(lái)，將所求代數(shù)式`(2x+3xy-2y)/(x-2xy-y)`的分子分母進(jìn)行變形，使其出現(xiàn)`x-y`的形式。分子：`2x-2y+3xy=2(x-y)+3xy`分母：`x-y-2xy`將`x-y=-3xy`代入：分子=`2*(-3xy)+3xy=-6xy+3xy=-3xy`分母=`-3xy-2xy=-5xy`所以，原式=`(-3xy)/(-5xy)=3/5`（這里`xy≠0`，否則已知條件無(wú)意義）。五、總結(jié)與寄語(yǔ)分式的學(xué)習(xí)，核心在于理解其概念本質(zhì)，并熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行恒等變形和運(yùn)算。無(wú)論是化簡(jiǎn)求值還是解分式方程，細(xì)心和耐心都是必不可少的。*概念是根基：時(shí)刻牢記分式有意義的條件、值為零的條件。*性質(zhì)是工具：