2025重慶中考數(shù)學(xué)第9題和第15題專題訓(xùn)練同學(xué)們，中考數(shù)學(xué)中，第9題和第15題往往是承上啟下的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，它們不像最后兩道大題那樣需要復(fù)雜的綜合論證，但也絕不是一眼就能看出答案的送分題。這兩道題的考點(diǎn)相對集中，卻又常常帶有一些“小陷阱”或是需要巧妙的解題技巧。拿下這兩道題，不僅能穩(wěn)定中上游的分?jǐn)?shù)段，更能為解決后面的難題樹立信心。今天，我們就針對這兩道題，好好琢磨琢磨，爭取做到穩(wěn)準(zhǔn)狠，不失分。一、第9題——選擇題中的“小綜合”第9題通常不會是單一知識點(diǎn)的直接考查，它更偏向于幾個(gè)基礎(chǔ)知識點(diǎn)的小型綜合應(yīng)用，或者是對某個(gè)知識點(diǎn)的深度挖掘和靈活運(yùn)用。常見的題型包括但不限于：函數(shù)圖像與性質(zhì)的辨析、幾何圖形的性質(zhì)與判定的結(jié)合、動(dòng)態(tài)幾何初步、代數(shù)與幾何的簡單交匯，以及一些需要巧思的應(yīng)用題。解題小貼士：1.審題是“第一要?jiǎng)?wù)”：務(wù)必逐字逐句讀題，圈點(diǎn)關(guān)鍵詞，明確已知條件和所求結(jié)論。特別注意題目中的“不正確的是”、“錯(cuò)誤的是”等反向提問，避免因慣性思維而答非所問。2.“排除法”是利器：對于選擇題，尤其是選項(xiàng)具有迷惑性時(shí)，排除法往往能起到事半功倍的效果。通過對每個(gè)選項(xiàng)的分析，逐步縮小范圍，最終鎖定正確答案。3.“特殊值法”與“代入驗(yàn)證法”：對于一些代數(shù)或函數(shù)題，若直接求解困難，可以嘗試代入符合條件的特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，或者將選項(xiàng)代入題干進(jìn)行驗(yàn)證。4.數(shù)形結(jié)合，直觀感知：涉及函數(shù)圖像、幾何圖形的題目，一定要?jiǎng)邮之嬕划嫴輬D，哪怕是簡單勾勒，也能幫助你更直觀地理解題意，發(fā)現(xiàn)解題線索。5.沉著冷靜，不慌不忙：遇到看似復(fù)雜的題目，先深呼吸，告訴自己“我能行”。嘗試分解題目，將大問題拆分成小問題，逐個(gè)擊破。例題感悟（假想考點(diǎn)：函數(shù)圖像與幾何圖形結(jié)合）（此處可插入一道典型例題，例如：已知某個(gè)函數(shù)表達(dá)式，其圖像與某幾何圖形（如三角形、四邊形）有交點(diǎn)，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)或圖形面積等。）*思路點(diǎn)撥：拿到這類題，首先要明確函數(shù)的類型（一次、二次、反比例等），回憶其圖像特征。然后，根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，找出關(guān)鍵點(diǎn)或特殊位置。將兩者結(jié)合起來，通過分析函數(shù)的增減性、最值，以及幾何圖形的邊界條件，來判斷交點(diǎn)情況或計(jì)算面積。必要時(shí)，可以通過解方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)。針對訓(xùn)練方向：*一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合辨析。*三角形、四邊形的基本性質(zhì)與判定的簡單綜合。*利用勾股定理、相似三角形、銳角三角函數(shù)解決簡單的計(jì)算問題。*簡單動(dòng)態(tài)問題中的變量關(guān)系分析。二、第15題——填空題的“攔路虎”與“分水嶺”第15題作為填空題的最后一道，往往是同學(xué)們比較頭疼的一道題。它的難度通常會比第9題略高一些，更側(cè)重于考查學(xué)生的思維靈活性、綜合運(yùn)用知識的能力以及一定的解題技巧。常見的題型有：幾何綜合計(jì)算（如線段長度、角度大小、圖形面積）、動(dòng)態(tài)幾何中的最值問題、規(guī)律探究題、代數(shù)與幾何結(jié)合的求值問題等。解題錦囊：1.“模型思想”很重要：平時(shí)學(xué)習(xí)中要積累一些常見的幾何模型，如“一線三垂直”、“手拉手模型”、“半角模型”、“將軍飲馬模型”等，這些模型在解決特定問題時(shí)能提供清晰的思路。2.“轉(zhuǎn)化與化歸”是核心：將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題。例如，求不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差；求線段長度轉(zhuǎn)化為利用勾股定理、相似比或三角函數(shù)等。3.“輔助線”是鑰匙：對于幾何題，巧妙地添加輔助線往往是解題的關(guān)鍵。常見的輔助線有：作高、作平行線、作垂線、連接中點(diǎn)、截長補(bǔ)短、構(gòu)造全等或相似三角形等。要敢于嘗試，但也不能盲目亂作。4.“分類討論”不可少：當(dāng)題目條件不唯一，或圖形位置關(guān)系不確定時(shí)，一定要考慮分類討論，避免漏解。例如，點(diǎn)的位置、圖形的形狀、運(yùn)動(dòng)的方向等都可能需要分類。5.“最值問題”尋突破：遇到最值問題，要聯(lián)想到相關(guān)的定理和方法，如“兩點(diǎn)之間線段最短”、“垂線段最短”、“三角形三邊關(guān)系”、“二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)”等，并能靈活運(yùn)用。6.“規(guī)律探究”重歸納：對于數(shù)字或圖形的規(guī)律探究題，要從簡單情況入手，通過觀察、比較、歸納，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律，進(jìn)而推廣到一般情況。例題感悟（假想考點(diǎn)：幾何動(dòng)態(tài)最值）（此處可插入一道典型例題，例如：在某個(gè)幾何圖形中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在定直線或定圓上運(yùn)動(dòng)，求另一個(gè)相關(guān)點(diǎn)到某定點(diǎn)距離的最小值或最大值。）*思路剖析：解決這類最值問題，關(guān)鍵是要找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，明確其約束條件。然后，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”等基本原理，將所求距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化。有時(shí)需要通過對稱變換（如作對稱點(diǎn)）將折線轉(zhuǎn)化為直線，從而找到最值點(diǎn)。針對訓(xùn)練方向：*與圓有關(guān)的計(jì)算（半徑、弦長、圓心角、圓周角、切線性質(zhì)等）。*涉及全等三角形、相似三角形的復(fù)雜幾何計(jì)算。*利用二次函數(shù)或基本不等式解決代數(shù)或幾何中的最值問題。*結(jié)合旋轉(zhuǎn)、平移、對稱等圖形變換的幾何題。*數(shù)列或圖形排列的規(guī)律探究。三、專題訓(xùn)練建議1.真題演練，把握方向：將近三年的重慶中考數(shù)學(xué)真題仔細(xì)做一遍，重點(diǎn)研究第9題和第15題，體會命題人的考查意圖和題型特點(diǎn)。2.錯(cuò)題整理，查漏補(bǔ)缺：建立錯(cuò)題本，將做錯(cuò)的第9題和第15題分類整理，分析錯(cuò)誤原因，是知識點(diǎn)不清、審題失誤還是方法不當(dāng)，并定期回顧。3.專項(xiàng)突破，強(qiáng)化技巧：找一些針對這兩道題的專項(xiàng)練習(xí)題，集中訓(xùn)練，總結(jié)各類題型的解題方法和技巧。4.限時(shí)訓(xùn)練，提升速度：在平時(shí)練習(xí)時(shí)，給自己設(shè)定時(shí)間限制，模擬考試情境，提高解題速度和準(zhǔn)確率。5.勤于思考，善于總結(jié)：做題不在于多，而在于精。每做一道題，都要思考其考查的知識點(diǎn)、用到的方法、是否有其他解法，以及從中能學(xué)到什么。同學(xué)們，第9題和第1