相似三角形中的輔助線專題訓(xùn)練相似三角形是平面幾何中的核心內(nèi)容之一，其應(yīng)用廣泛，貫穿于各類幾何問題的求解過程。而輔助線的添加，則是破解相似三角形難題的關(guān)鍵鑰匙。許多同學(xué)在面對復(fù)雜圖形時，往往因無法恰當(dāng)添加輔助線而感到束手無策。本文旨在系統(tǒng)梳理相似三角形中常見的輔助線添加策略，并通過典型例題的解析，幫助同學(xué)們領(lǐng)悟輔助線的“奧秘”，提升解題能力。一、遇比例，作平行——構(gòu)造“A”型或“X”型相似當(dāng)題目中出現(xiàn)比例線段，或需要證明線段成比例時，過某一點作某條直線的平行線，構(gòu)造出“A”型（或稱“金字塔”型）或“X”型（或稱“沙漏”型）的相似基本圖形，是最常用的輔助線添加方法之一。這種方法的核心在于，通過平行線截得的對應(yīng)線段成比例，將未知比例與已知條件聯(lián)系起來。例題解析：已知：在△ABC中，點D在AB上，且AD:DB=1:2，點E在AC上，連接DE，若AE:EC=1:2，求證：DE∥BC。分析與輔助線：要證DE∥BC，根據(jù)相似三角形的預(yù)備定理（平行線分線段成比例定理的推論），只需證AD/AB=AE/AC即可。但題目給出的是AD:DB=1:2和AE:EC=1:2，我們可以直接計算。不過，若從輔助線的角度思考，假設(shè)DE與BC不平行，過D作DF∥BC交AC于F，則可構(gòu)造“A”型相似△ADF∽△ABC，從而有AD/AB=AF/AC。由AD:DB=1:2知AD/AB=1/3，故AF/AC=1/3，即AF:FC=1:2。又已知AE:EC=1:2，所以點E與點F重合，因此DE∥BC。證明：（略，可按上述思路寫出）小結(jié)：此例雖可直接計算比例，但“作平行”的思想是相通的。當(dāng)需要轉(zhuǎn)移比例、構(gòu)造相似時，平行線是首選工具。關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件和圖形特點，選擇合適的點和方向作平行線。二、遇中點（或等分點），常延長——倍長中線與構(gòu)造相似在三角形中，若已知中點或線段的等分點，延長過該點的線段（如中線、角平分線、普通線段等），往往能構(gòu)造出全等三角形或相似三角形，從而實現(xiàn)線段或角的轉(zhuǎn)移與等量代換。特別是“倍長中線法”，不僅在全等三角形中常用，在相似三角形中也能發(fā)揮重要作用。例題解析：已知：在△ABC中，D是BC的中點，E是AD上一點，且AE:ED=1:2，連接BE并延長交AC于F。求AF:FC的值。分析與輔助線：題目中D是BC中點，E是AD上的一個三等分點。要找AF與FC的比，直接在△AFC中看并不明顯。考慮到D是中點，我們可以延長AD至G，使DG=AD，連接BG（或CG），構(gòu)造全等三角形。但此處更直接的或許是過D點作AC的平行線，交BF于點G。這樣，在△AFE和△DGE中，由于DG∥AF，△AFE∽△DGE，且相似比為AE:ED=1:2，所以AF:DG=1:2。又因為D是BC中點，DG∥FC，所以DG是△BCF的中位線，DG=1/2FC。從而AF:(1/2FC)=1:2，故AF:FC=1:4。證明：（簡述）過D作DG∥AC交BF于G。∵DG∥AC，∴△AFE∽△DGE?！逜E:ED=1:2，∴AF/DG=AE/ED=1/2，即DG=2AF?！逥是BC中點，DG∥FC，∴G是BF中點，DG是△BCF的中位線?！郉G=1/2FC?！?AF=1/2FC，∴AF/FC=1/4。小結(jié)：本題通過過中點（或等分點）作平行線，構(gòu)造了相似三角形和中位線基本圖形，將所求比例AF:FC轉(zhuǎn)化為可求的AE:ED和中位線與第三邊的關(guān)系。延長線段（倍長）也是一種思路，若延長BE至G使EG=BE，連接AG，也可構(gòu)造相似或利用三角形重心性質(zhì)求解，同學(xué)們不妨嘗試一下。三、遇直角，巧作高——構(gòu)造直角三角形相似與射影定理當(dāng)題目中涉及直角三角形時，作出斜邊上的高，能得到兩個與原三角形相似的小直角三角形，這是直角三角形中一個非常重要的性質(zhì)。射影定理便是基于此產(chǎn)生的。巧妙運用這一輔助線，可以解決與直角三角形邊長、面積、比例等相關(guān)的諸多問題。例題解析：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，若AD=4，BD=9，求CD的長及AC:BC的值。分析與輔助線：題目本身已經(jīng)給出了斜邊上的高CD，這就是最關(guān)鍵的輔助線。根據(jù)直角三角形射影定理（或相似三角形的性質(zhì)），我們有CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB。這些關(guān)系式直接由△ACD∽△ABC∽△CBD得到。解答：∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，∴△ACD∽△CBD（AA相似）?！郈D/AD=BD/CD，即CD2=AD·BD=4×9=36，∴CD=6（CD>0）。又∵△ACD∽△ABC，∴AC/AB=AD/AC，即AC2=AD·AB=AD·(AD+BD)=4×(4+9)=4×13。同理，BC2=BD·AB=9×13?！郃C2/BC2=(4×13)/(9×13)=4/9，∴AC/BC=2/3（AC,BC>0）。小結(jié)：對于直角三角形，斜邊上的高是天然的輔助線，它能將一個直角三角形分割成兩個相似的小直角三角形，從而得出一系列比例線段關(guān)系。射影定理是這些關(guān)系的直接體現(xiàn)，要熟練掌握并靈活運用。四、遇角平分線，巧利用——構(gòu)造對稱與相似角平分線不僅平分角，其性質(zhì)（角平分線上的點到角兩邊距離相等）也為我們添加輔助線提供了思路。有時，通過在角的兩邊截取相等線段或向角兩邊作垂線，可以構(gòu)造出全等三角形；而有時，則可以通過延長角平分線或利用角平分線構(gòu)造出相似三角形。例題解析：已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，求證：AB/AC=BD/DC。（角平分線分線段成比例定理）分析與輔助線：這是一個經(jīng)典的定理。要證明AB/AC=BD/DC，即證明兩條線段的比等于另兩條線段的比。我們可以考慮過點C作CE∥AD，交BA的延長線于點E。這樣，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，可以得到AC=AE，從而將AB/AC轉(zhuǎn)化為AB/AE，再利用△BDA∽△BCE，得出AB/AE=BD/DC。證明：過點C作CE∥AD，交BA的延長線于點E?！逤E∥AD，∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE?！逜D是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD?！唷螮=∠ACE，∴AE=AC?！逤E∥AD，∴△BDA∽△BCE?！郆A/BE=BD/BC，即BA/(BA+AE)=BD/(BD+DC)。由合比性質(zhì)可得：BA/AE=BD/DC。∵AE=AC，∴AB/AC=BD/DC。小結(jié)：本題通過過角的一邊上的點作角平分線的平行線，構(gòu)造了等腰三角形和相似三角形，巧妙地證明了角平分線分線段成比例定理。這體現(xiàn)了輔助線在溝通已知與未知、實現(xiàn)轉(zhuǎn)化方面的重要作用。五、輔助線添加的一般思路與總結(jié)通過以上幾種典型類型的探討，我們可以看出，添加輔助線的目的在于：構(gòu)造基本圖形（如“A”型、“X”型相似）、轉(zhuǎn)移線段或角、集中分散的條件、建立已知與未知的聯(lián)系。在具體解題時，我們可以遵循以下思路：1.明確目標(biāo)：要證什么？要求什么？（線段相等、角相等、比例式、乘積式等）2.分析條件：已知哪些條件？圖形有什么特點？（中點、中線、角平分線、直角、比例線段等）3.聯(lián)想模型：這些條件和目標(biāo)與哪些基本圖形、定理（如相似的判定定理、性質(zhì)定理）相關(guān)？4.嘗試構(gòu)造：如何添加一條或幾條輔助線，將圖形補(bǔ)全或分割，使其符合某個基本模型，從而運用相應(yīng)定理解決問題。溫馨提示：*靈活性：輔助線的添加沒有固定的模式，要根據(jù)具體題目靈活應(yīng)變。同一種題目，也可能有多種不同的輔助線作法。*經(jīng)驗積累：多做練習(xí)，多總結(jié)反思，積累常見輔助線的添加方法和技巧。*從簡單入手：