2026年高等數(shù)學(xué)整數(shù)規(guī)劃能力評(píng)估試題沖刺卷考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱：2026年高等數(shù)學(xué)整數(shù)規(guī)劃能力評(píng)估試題沖刺卷考核對(duì)象：高等院校數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)學(xué)生及行業(yè)從業(yè)者題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.整數(shù)規(guī)劃問題的可行解一定是線性規(guī)劃問題的可行解。2.若整數(shù)規(guī)劃問題的最優(yōu)解在整數(shù)解處取得，則該解一定是唯一最優(yōu)解。3.割平面法適用于求解混合整數(shù)規(guī)劃問題。4.整數(shù)規(guī)劃問題的松弛變量可以用于判斷問題是否為無界解。5.分支定界法在求解純整數(shù)規(guī)劃問題時(shí)，必須從原問題開始逐步分支。6.整數(shù)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化不會(huì)影響最優(yōu)解的整數(shù)性。7.若整數(shù)規(guī)劃問題的某個(gè)約束條件為線性不等式，則該約束條件一定可以轉(zhuǎn)化為二元變量約束。8.整數(shù)規(guī)劃問題的對(duì)偶問題一定是整數(shù)規(guī)劃問題。9.在分支定界法中，若某個(gè)分支節(jié)點(diǎn)無法找到可行解，則該分支可以立即剪枝。10.整數(shù)規(guī)劃問題的解空間一定是連續(xù)的。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪種方法不屬于整數(shù)規(guī)劃的求解方法？A.分支定界法B.割平面法C.線性規(guī)劃法D.整數(shù)單純形法2.在整數(shù)規(guī)劃問題中，若某個(gè)變量必須取整數(shù)值，則該變量稱為：A.松弛變量B.割變量C.整數(shù)變量D.人工變量3.下列哪種情況會(huì)導(dǎo)致整數(shù)規(guī)劃問題從最優(yōu)解處無法得到整數(shù)解？A.目標(biāo)函數(shù)系數(shù)為整數(shù)B.約束條件為整數(shù)約束C.變量取值范圍有限D(zhuǎn).線性規(guī)劃最優(yōu)解非整數(shù)4.整數(shù)規(guī)劃問題的割平面法主要基于以下哪個(gè)原理？A.對(duì)偶理論B.單純形法C.割平面理論D.分支定界法5.若整數(shù)規(guī)劃問題的某個(gè)約束條件為“≥”形式，則該約束條件需要如何轉(zhuǎn)化？A.轉(zhuǎn)化為“≤”形式B.轉(zhuǎn)化為二元變量約束C.直接加入松弛變量D.忽略該約束條件6.在分支定界法中，若某個(gè)分支節(jié)點(diǎn)無法找到可行解，則該分支稱為：A.可行分支B.無界分支C.剪枝分支D.可行解分支7.整數(shù)規(guī)劃問題的對(duì)偶問題中，若原問題為純整數(shù)規(guī)劃問題，則對(duì)偶問題的解：A.一定為整數(shù)解B.一定為非整數(shù)解C.可能是整數(shù)解D.無法確定8.整數(shù)規(guī)劃問題的松弛變量主要用于：A.判斷問題是否為無界解B.轉(zhuǎn)化不等式約束為等式約束C.增加變量取值范圍D.求解對(duì)偶問題9.若整數(shù)規(guī)劃問題的某個(gè)變量取值必須為0或1，則該變量稱為：A.二元變量B.整數(shù)變量C.松弛變量D.人工變量10.整數(shù)規(guī)劃問題的對(duì)偶單純形法適用于：A.線性規(guī)劃問題B.整數(shù)規(guī)劃問題C.混合整數(shù)規(guī)劃問題D.非線性規(guī)劃問題三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些方法可以用于求解整數(shù)規(guī)劃問題？A.分支定界法B.割平面法C.整數(shù)單純形法D.線性規(guī)劃法2.整數(shù)規(guī)劃問題的割平面法需要滿足哪些條件？A.線性規(guī)劃最優(yōu)解非整數(shù)B.割平面必須經(jīng)過某個(gè)整數(shù)解C.割平面必須與原可行域相交D.割平面必須與原可行域不相交3.整數(shù)規(guī)劃問題的分支定界法中，分支變量可以是：A.整數(shù)變量B.非整數(shù)變量C.松弛變量D.人工變量4.整數(shù)規(guī)劃問題的對(duì)偶問題中，下列哪些性質(zhì)成立？A.原問題的最優(yōu)解是對(duì)偶問題的最優(yōu)解B.原問題的對(duì)偶解是對(duì)偶問題的最優(yōu)解C.原問題的對(duì)偶問題與對(duì)偶問題的對(duì)偶問題相同D.原問題的對(duì)偶問題與對(duì)偶問題的對(duì)偶問題不同5.整數(shù)規(guī)劃問題的松弛變量可以用于：A.判斷問題是否為無界解B.轉(zhuǎn)化不等式約束為等式約束C.增加變量取值范圍D.求解對(duì)偶問題6.整數(shù)規(guī)劃問題的分支定界法中，剪枝條件可以是：A.該分支節(jié)點(diǎn)無可行解B.該分支節(jié)點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值劣于當(dāng)前最優(yōu)值C.該分支節(jié)點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)值D.該分支節(jié)點(diǎn)無法找到整數(shù)解7.整數(shù)規(guī)劃問題的對(duì)偶單純形法適用于：A.線性規(guī)劃問題B.整數(shù)規(guī)劃問題C.混合整數(shù)規(guī)劃問題D.非線性規(guī)劃問題8.整數(shù)規(guī)劃問題的割平面法中，割平面的構(gòu)造需要滿足哪些條件？A.割平面必須經(jīng)過某個(gè)整數(shù)解B.割平面必須與原可行域相交C.割平面必須與原可行域不相交D.割平面必須與原可行域平行9.整數(shù)規(guī)劃問題的分支定界法中，最優(yōu)解的搜索過程可以是：A.從原問題開始逐步分支B.從某個(gè)子問題開始逐步分支C.通過對(duì)偶問題尋找最優(yōu)解D.通過割平面法尋找最優(yōu)解10.整數(shù)規(guī)劃問題的對(duì)偶問題中，下列哪些性質(zhì)成立？A.原問題的最優(yōu)解是對(duì)偶問題的最優(yōu)解B.原問題的對(duì)偶解是對(duì)偶問題的最優(yōu)解C.原問題的對(duì)偶問題與對(duì)偶問題的對(duì)偶問題相同D.原問題的對(duì)偶問題與對(duì)偶問題的對(duì)偶問題不同四、案例分析（每題6分，共18分）案例1：某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每件產(chǎn)品A的利潤為3元，每件產(chǎn)品B的利潤為5元。生產(chǎn)每件產(chǎn)品A需要1小時(shí)機(jī)器時(shí)間，生產(chǎn)每件產(chǎn)品B需要2小時(shí)機(jī)器時(shí)間，公司每天最多有8小時(shí)機(jī)器時(shí)間可用。此外，產(chǎn)品A每天最多生產(chǎn)4件，產(chǎn)品B每天最多生產(chǎn)6件。若產(chǎn)品A必須生產(chǎn)整數(shù)件，產(chǎn)品B可以取非整數(shù)件，求公司如何安排生產(chǎn)計(jì)劃以最大化利潤？案例2：某公司需要采購兩種原材料X和Y，每單位原材料X的成本為2元，每單位原材料Y的成本為3元。公司需要至少采購10單位原材料，且原材料X的采購量必須是偶數(shù)。若原材料X的采購量每增加1單位，原材料的總需求量增加1單位，求公司如何安排采購計(jì)劃以最小化成本？案例3：某公司需要安排員工加班，加班員工必須為整數(shù)人。若加班員工每人每天工資為100元，且加班員工總數(shù)不能超過10人。此外，加班員工必須滿足以下約束：至少安排3名員工加班，且加班員工總數(shù)必須是奇數(shù)。求公司如何安排加班計(jì)劃以最小化加班成本？五、論述題（每題11分，共22分）1.論述整數(shù)規(guī)劃問題的求解方法及其優(yōu)缺點(diǎn)，并說明在何種情況下應(yīng)選擇分支定界法或割平面法。2.論述整數(shù)規(guī)劃問題的對(duì)偶理論及其在求解整數(shù)規(guī)劃問題中的應(yīng)用，并舉例說明如何利用對(duì)偶理論簡(jiǎn)化求解過程。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.×（最優(yōu)解可能存在多個(gè)整數(shù)解）3.√4.×（松弛變量用于判斷問題是否為可行解）5.√6.×（目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化可能影響最優(yōu)解的整數(shù)性）7.×（并非所有線性不等式都可以轉(zhuǎn)化為二元變量約束）8.×（對(duì)偶問題可能是線性規(guī)劃問題）9.√10.×（整數(shù)規(guī)劃問題的解空間可能是離散的）二、單選題1.C2.C3.D4.C5.B6.C7.C8.B9.A10.B三、多選題1.A,B,C2.A,B,C3.A,B4.A,C5.B,D6.A,B,D7.B8.A,B9.A,B10.A,C四、案例分析案例1：模型建立：設(shè)產(chǎn)品A的生產(chǎn)量為\(x_1\)，產(chǎn)品B的生產(chǎn)量為\(x_2\)，則目標(biāo)函數(shù)為：\[\maxZ=3x_1+5x_2\]約束條件為：\[x_1+2x_2\leq8\]\[x_1\leq4\]\[x_2\leq6\]\[x_1\in\mathbb{Z}\]\[x_2\geq0\]求解步驟：1.求解線性規(guī)劃松弛問題，得到最優(yōu)解為\(x_1=4,x_2=2\)，目標(biāo)函數(shù)值為22。2.由于\(x_2\)非整數(shù)，進(jìn)行分支，設(shè)\(x_2=2\)和\(x_2>2\)兩個(gè)分支。3.對(duì)\(x_2=2\)分支，得到最優(yōu)解為\(x_1=4,x_2=2\)，目標(biāo)函數(shù)值為22。4.對(duì)\(x_2>2\)分支，得到最優(yōu)解為\(x_1=2,x_2=3\)，目標(biāo)函數(shù)值為21。5.比較兩個(gè)分支，最優(yōu)解為\(x_1=4,x_2=2\)，目標(biāo)函數(shù)值為22。案例2：模型建立：設(shè)原材料X的采購量為\(x_1\)，原材料Y的采購量為\(x_2\)，則目標(biāo)函數(shù)為：\[\minZ=2x_1+3x_2\]約束條件為：\[x_1+x_2\geq10\]\[x_1\in\{0,2,4,\ldots\}\]\[x_2\geq0\]求解步驟：1.求解線性規(guī)劃松弛問題，得到最優(yōu)解為\(x_1=8,x_2=2\)，目標(biāo)函數(shù)值為28。2.由于\(x_1\)非偶數(shù)，進(jìn)行分支，設(shè)\(x_1=8\)和\(x_1=6\)兩個(gè)分支。3.對(duì)\(x_1=8\)分支，得到最優(yōu)解為\(x_1=8,x_2=2\)，目標(biāo)函數(shù)值為28。4.對(duì)\(x_1=6\)分支，得到最優(yōu)解為\(x_1=6,x_2=4\)，目標(biāo)函數(shù)值為30。5.比較兩個(gè)分支，最優(yōu)解為\(x_1=8,x_2=2\)，目標(biāo)函數(shù)值為28。案例3：模型建立：設(shè)加班員工總數(shù)為\(x\)，則目標(biāo)函數(shù)為：\[\minZ=100x\]約束條件為：\[3\leqx\leq10\]\[x\in\{3,5,7,9\}\]求解步驟：1.由于加班員工總數(shù)必須是奇數(shù)，最優(yōu)解為\(x=3\)，目標(biāo)函數(shù)值為300。五、論述題1.整數(shù)規(guī)劃問題的求解方法及其優(yōu)缺點(diǎn)，并說明在何種情況下應(yīng)選擇分支定界法或割平面法。整數(shù)規(guī)劃問題的求解方法主要包括分支定界法、割平面法、整數(shù)單純形法等。-分支定界法：優(yōu)點(diǎn)：適用于純整數(shù)規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃問題，能夠保證找到最優(yōu)解。缺點(diǎn)：計(jì)算量大，尤其是在變量和約束條件較多時(shí)。適用情況：當(dāng)問題規(guī)模較小或需要保證找到最優(yōu)解時(shí)。-割平面法：優(yōu)點(diǎn)：能夠有效減少線性規(guī)劃松弛問題的可行域，提高求解效率。缺點(diǎn)：計(jì)算復(fù)雜度較高，尤其是在變量和約束條件較多時(shí)。適用情況：當(dāng)問題規(guī)模較小或需要快速找到近似最優(yōu)解時(shí)。2.整數(shù)規(guī)劃問題的對(duì)偶理論及其在求解整數(shù)規(guī)劃問題中的應(yīng)用，并舉例說明如何利用對(duì)偶理論簡(jiǎn)化求解過程。整數(shù)規(guī)劃問題的對(duì)偶理論類似于線性規(guī)劃的對(duì)偶理論，可以用于簡(jiǎn)化求解過程。對(duì)偶理論的應(yīng)用：-通過對(duì)偶問題尋找最優(yōu)解，可以減少計(jì)算量。-對(duì)偶問題的解可以提供原問題的影子價(jià)格，有助于理解問題結(jié)構(gòu)。舉例：設(shè)原問題為：\[\maxZ=c^T