1/2專(zhuān)題13數(shù)列的綜合大題（含知識(shí)融合）目錄第一部分考向速遞洞察考向，感知前沿第二部分題型歸納梳理題型，突破重難題型01數(shù)列不等式的證明題型02不等式放縮題型03數(shù)列最值題型04參數(shù)求解題型05與三角函數(shù)綜合題型06與概率綜合題型07與導(dǎo)數(shù)綜合題型08與解析綜合題型09數(shù)列新定義第三部分分層突破固本培優(yōu)，精準(zhǔn)提分A組·基礎(chǔ)保分練B組·重難提升練1．（數(shù)列不等式）（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使得不等式成立的的值.2．（數(shù)列不等式的證明）（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)）記和分別為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知為等差數(shù)列，，且.(1)求的通項(xiàng)公式.(2)證明：.3．（數(shù)列最值）（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，滿(mǎn)足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，若，求的最大值．4．（參數(shù)求解）（2025·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．（參數(shù)求解）（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，數(shù)列滿(mǎn)足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（參數(shù)求解）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿(mǎn)足，不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.7．（與概率綜合）（2025·浙江溫州·一模）每天鍛煉一小時(shí)，幸福生活一輩子.小明每天都會(huì)在游泳和跑步中選擇一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行鍛煉.如果當(dāng)天選擇游泳，則第二天選擇游泳的概率為；如果當(dāng)天選擇跑步，則第二天選擇游泳的概率為.已知小明第一天選擇游泳，記小明第n天選擇游泳的概率為.(1)求，；(2)求的表達(dá)式.8．（與概率綜合）（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）在足球訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球訓(xùn)練．每次傳球按以下規(guī)則轉(zhuǎn)移：當(dāng)球在甲腳下時(shí)，他有的概率繼續(xù)控球（不傳給別人），的概率傳給乙；當(dāng)球在乙腳下時(shí)，他有的概率回傳給甲，的概率傳給丙；當(dāng)球在丙腳下時(shí)，他有的概率傳給甲，的概率傳給乙．初始時(shí)球在甲處，每次傳球是相互獨(dú)立的．(1)求兩次傳球后球在乙處的概率，以及三次傳球后球在丙處的概率；(2)記次傳球后，球在甲處的概率為，在乙處的概率為．（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求和的通項(xiàng)公式．9．（與概率綜合）（2025·山西臨汾·二模）乒乓球體育俱樂(lè)部計(jì)劃進(jìn)行單打比賽，采用單淘汰制進(jìn)行比賽，即每名選手負(fù)一次即被淘汰出局.現(xiàn)有8名乒乓球單打運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)編號(hào)到對(duì)陣位置，所有運(yùn)動(dòng)員在任何一場(chǎng)比賽中獲勝的概率均為.現(xiàn)有甲?乙兩位孿生兄弟參賽.(1)求甲?乙在第一輪比賽過(guò)程中相遇的概率；(2)求甲?乙在比賽過(guò)程中相遇的概率；(3)為使得甲?乙兩人在比賽過(guò)程中相遇的概率小于0.01，俱樂(lè)部計(jì)劃增加運(yùn)動(dòng)員人數(shù)到名，對(duì)陣圖和上圖類(lèi)似.（i）求甲、乙兩人在第3輪比賽中相遇的概率（用含的式子表示）；（ii）求的最小值.10．（與導(dǎo)數(shù)綜合）（25-26高三上·河南·期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍；(3)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．11．（與導(dǎo)數(shù)綜合）（2025·四川遂寧·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的積為，求證：.12．（與解析綜合）（2025·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，再過(guò)作斜率為的直線(xiàn)交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，以此類(lèi)推一直作下去，設(shè)．(1)求t的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍；(3)求的面積．13．（與解析綜合）（2025·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的離心率．(2)設(shè)，分別為的左、右頂點(diǎn)，，為上異于，的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)的斜率恒為直線(xiàn)的斜率的5倍．①當(dāng)?shù)闹荡_定時(shí)，證明：直線(xiàn)過(guò)軸上的定點(diǎn)；②按下面方法構(gòu)造數(shù)列：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)為，且，證明：14．（數(shù)列新定義）（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知是無(wú)窮正整數(shù)數(shù)列，定義操作為刪除數(shù)列中除以余數(shù)為的項(xiàng)，剩下的項(xiàng)按原先后順序不變得到新數(shù)列.若，，進(jìn)行操作后剩余項(xiàng)組成新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求；(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.01數(shù)列不等式的證明15．（2025·吉林長(zhǎng)春·三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)判斷是否為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)遞增的等差數(shù)列滿(mǎn)足，且、、成等比數(shù)列．設(shè)，證明：．16．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：．17．（2025·安徽·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對(duì)任意正整數(shù)，均有.(1)求和；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.18．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．19．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，記的零點(diǎn)為.(1)求；(2)求數(shù)列中的最小項(xiàng)；(3)證明：.20．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，對(duì)于，，，成等差數(shù)列，其公差為．(1)判斷是否成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；(2)證明：，，成等比數(shù)列；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．21．（2025·安徽滁州·二模）在數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求；(2)若，（?。┣髷?shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（ⅱ）若，數(shù)列滿(mǎn)足，，求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有．02不等式放縮22．（2025·廣東汕尾·一模）記為遞增數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記的前項(xiàng)和為，證明：.23．如果函數(shù)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件，我們就稱(chēng)函數(shù)為型函數(shù).①對(duì)任意的，有；②對(duì)于任意的，若，則.求證：(1)是型函數(shù)；(2)型函數(shù)在上為增函數(shù)；(3)對(duì)于型函數(shù)，有（為正整數(shù)）.24．（2025·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，．(1)求，的值；(2)設(shè)，證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(3)證明：．03數(shù)列最值25．（24-25高二上·廣西玉林·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若，求使取得最大值時(shí)的的值.26．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿(mǎn)足，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和，(3)求的最大值和最小值．27．（2025·天津河西·二模）已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，.(1)當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求的通項(xiàng)公式及；(2)當(dāng)在單調(diào)遞增時(shí)，設(shè)，求的值；(3)當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列且為擺動(dòng)數(shù)列時(shí)，設(shè)，求的最大值和最小值.28．（2025·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足，數(shù)列前n項(xiàng)和為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求證：；(3)若，求滿(mǎn)足條件的最大整數(shù)n.04參數(shù)求解29．（2025·山東濟(jì)南·三模）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)若成立，求實(shí)數(shù)k的最小值．30．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且依次成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)于任意，求實(shí)數(shù)的取值范圍.31．（2025·廣東江門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)證明：是等比數(shù)列．(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．(3)若，求的取值范圍．32．（2025·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．33．（2025·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足．設(shè)．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．34．（2025·河南鄭州·三模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．05與三角函數(shù)綜合35．（2025·貴州·三模）在數(shù)列中，，，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：；(3)證明：.36．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，且的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將所有的正零點(diǎn)按從小到大順序排列得到數(shù)列，求數(shù)列的前30項(xiàng)和.37．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，函數(shù)，的所有大于0的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列．(1)寫(xiě)出的前6項(xiàng)；(2)記的所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．38．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）若存在正實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使得，則稱(chēng)函數(shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”.(1)已知函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”，求；(2)證明:函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”;(3)證明:.39．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）記.(1)判斷并證明的奇偶性；(2)將的最小值記為，（i）求數(shù)列，（ii）若恒成立，求的最小整數(shù)值.06與概率綜合40．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三人進(jìn)行玩具傳遞游戲，每次拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳遞方式，當(dāng)玩具在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，甲將玩具傳給乙；若骰子點(diǎn)數(shù)不大于4，甲保留玩具；當(dāng)玩具在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，乙將玩具傳給甲；若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，乙傳給丙；當(dāng)玩具在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于2，丙將玩具傳給甲；若骰子點(diǎn)數(shù)不大于2，丙傳給乙.初始時(shí)，玩具在甲手中.(1)設(shè)前三次拋擲骰子后，玩具在甲手中的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)拋擲次骰子后，玩具在乙手中的概率為，求的通項(xiàng)公式；(3)求證：.012341．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）馬路上有盞連續(xù)排列的燈，每盞燈亮的概率均為，記存在至少連續(xù)盞燈亮的概率為，已知．(1)寫(xiě)出；(2)設(shè)為連續(xù)亮的燈數(shù)最大值，求時(shí)的期望；(3)求的值．42．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）近年來(lái)，全球數(shù)字化進(jìn)程持續(xù)加速，人工智能（ArtificialIntelligence，簡(jiǎn)稱(chēng)AI）已然成為科技變革的核心驅(qū)動(dòng)力，有媒體稱(chēng)DeepSeek開(kāi)啟了我國(guó)AI新紀(jì)元，某高校擬與某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)合作組織學(xué)生參加與AI知識(shí)有關(guān)的網(wǎng)絡(luò)答題活動(dòng)，為了解男女學(xué)生參與答題意愿的差異，作比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法在全體學(xué)生中抽取100人，設(shè)事件A=“學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)”，B=“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)(1)根據(jù)已知條件，完成下列列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷該校學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？性別男生女生合計(jì)報(bào)名參加答題活動(dòng)未報(bào)名參加答題活動(dòng)合計(jì)100(2)網(wǎng)絡(luò)答題規(guī)則：答題活動(dòng)不限時(shí)間，不限輪次，答多少輪由選手自行確定；每輪均設(shè)置道題，選手參與該輪答題，則至少答一道題，一旦答對(duì)一題，則其本輪答題結(jié)束，答錯(cuò)則繼續(xù)答題，直到第道題答完，本輪答題結(jié)束．已知甲同學(xué)報(bào)名參加答題活動(dòng)，假設(shè)甲每道題回答是否正確相互獨(dú)立，且每次答對(duì)的概率均為①求甲在一輪答題過(guò)程中答題數(shù)量的數(shù)學(xué)期望；②假設(shè)甲同學(xué)每輪答題對(duì)前兩題中的一道，本輪答題得2分，否則得1分．記甲答題累計(jì)得分為的概率為，求的最大值．參考公式與數(shù)據(jù)：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82843．（2025·福建廈門(mén)·三模）在一個(gè)不透明的口袋中裝有大小、形狀完全相同的n個(gè)小球，將它們分別編號(hào)為．每次從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄編號(hào)后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．記總的摸球次數(shù)為，其期望為．(1)求與；(2)求；(3)證明：．附：①若隨機(jī)變量的可能取值為，則②若隨機(jī)變量，則．44．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）在高三年級(jí)排球聯(lián)賽中，兩支隊(duì)進(jìn)入到了比賽決勝局．該局比賽規(guī)則如下：上一球得分的隊(duì)發(fā)球，贏球方獲得1分，直到有一方得分達(dá)到或超過(guò)15分，且此時(shí)分?jǐn)?shù)超過(guò)對(duì)方2分時(shí)，該隊(duì)獲得決勝局的勝利．假定該局比分已經(jīng)達(dá)到了，此后每球比賽記為第球，隊(duì)在第球比賽中得分的概率為，且；從第2球起，若隊(duì)發(fā)球，則此球隊(duì)得分的概率為，若隊(duì)發(fā)球，則此球隊(duì)得分的概率為．(1)若，求隊(duì)以的比分贏得比賽的概率；(2)若，數(shù)列滿(mǎn)足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；(3)當(dāng)時(shí)，若，有，求的取值范圍．07與導(dǎo)數(shù)綜合45．（2025·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且.(1)求;(2)已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意的，均有；(3)證明：對(duì)任意的，均有.46．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上的最小值為0(1)求實(shí)數(shù)的值：(2)對(duì)任意的，數(shù)列滿(mǎn)足，且，證明：當(dāng)大于1時(shí)，也大于1：(3)在（2）的條件下，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：47．（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；(2)若對(duì)任意，恒有.（i）求的取值范圍;（ii）證明:對(duì)任意的正整數(shù)，.48．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足.(1)當(dāng)時(shí)，分別求的值，并猜想此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式（直接寫(xiě)結(jié)論）；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，求的最大值.49．（2025·安徽·一模）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)證明：；(2)若函數(shù)，請(qǐng)判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，.50．（2025·天津紅橋·二模）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;(2)證明:恒成立；(3)證明:51．（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，記，若滿(mǎn)足，則稱(chēng)是上的“可控函數(shù)”．由“可控函數(shù)”的定義可得：若函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，則函數(shù)也是上的“可控函數(shù)”，其中，例如．(1)判斷函數(shù)是否為上的“可控函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，且的最大值為．（i）求函數(shù)的解析式；（ii）若數(shù)列滿(mǎn)足，是數(shù)列的前項(xiàng)和．求證：．08與解析綜合52．（2025·陜西渭南·一模）已知雙曲線(xiàn)．點(diǎn)在上．按如下方式構(gòu)造點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)與的下支交于點(diǎn)．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．記點(diǎn)的坐標(biāo)為(1)求的值：(2)記．證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)記的面積為．證明：是定值．53．（24-25高三上·山東威?！て谀┮阎獟佄锞€(xiàn)，點(diǎn)在上，為常數(shù)，，按如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)為.記的坐標(biāo)為.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：為定值.54．（2025·江西贛州·二模）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，M的軌跡為C．點(diǎn)在C上，過(guò)作斜率為的直線(xiàn)交C于另一點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)作斜率為的直線(xiàn)交C于另一點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，……，以此類(lèi)推，設(shè)．(1)求C的方程；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：；(3)求的面積．55．（2025·安徽·三模）記拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O作斜率為1的直線(xiàn)l，l與E交于另一點(diǎn)，取的中點(diǎn)，直線(xiàn)與E交于另一點(diǎn)，取的中點(diǎn)，以此類(lèi)推，記直線(xiàn)的斜率為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)證明：是遞減數(shù)列；(3)記的面積為，證明：．56．（2024·河北·二模）已知橢圓的離心率.(1)若橢圓過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線(xiàn)均過(guò)點(diǎn)且互相垂直，直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，設(shè).①求；②記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.57．（2025·四川·三模）已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為．過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)和，交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)，交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；再過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)和，交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)，交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，以這樣的方式構(gòu)造下去，可以得到一列定點(diǎn)、、、、．(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若、，記的面積為，證明：．58．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線(xiàn)，（，），當(dāng)變化時(shí)得到一系列的橢圓，我們把它稱(chēng)為“2~1橢圓群”.

(1)若“2~1橢圓群”中的兩個(gè)橢圓、，對(duì)應(yīng)的分別為、（），如圖所示，若直線(xiàn)能與橢圓、依次交于，，，四點(diǎn)，證明：；(2)當(dāng)（）時(shí)，直線(xiàn)與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別為，設(shè).（i）求證：為等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；（ii）令數(shù)列，求證.09數(shù)列新定義59．（2025·河南·二模）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.60．（2025·貴州·二模）對(duì)于數(shù)列，記區(qū)間內(nèi)偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，則稱(chēng)數(shù)列為的偶數(shù)列．(1)若數(shù)列為數(shù)列的偶數(shù)列，求．(2)若數(shù)列為數(shù)列的偶數(shù)列，證明：數(shù)列為等比數(shù)列．(3)在（2）的前提下，若數(shù)列為等差數(shù)列的偶數(shù)列，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．61．（24-25高三下·甘肅白銀·月考）定義“窄度數(shù)列”：若一個(gè)數(shù)列中任意兩項(xiàng)的差均小于，則稱(chēng)該數(shù)列為“窄度數(shù)列”.(1)試問(wèn)數(shù)列是否為“1000窄度數(shù)列”？（無(wú)需說(shuō)明理由）(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列為“1窄度數(shù)列”.(3)若數(shù)列為等比數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明為“窄度數(shù)列”.62．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)），數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(1)寫(xiě)出數(shù)列的前6項(xiàng)；(2)試判斷與是否為數(shù)列中的項(xiàng)，并說(shuō)明理由；(3)證明：數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)有無(wú)數(shù)多個(gè).63．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代許多著名的數(shù)學(xué)家對(duì)推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻甍多、芻童垛等的公式．我們把公差不為0的等差數(shù)列稱(chēng)為“一階等差數(shù)列”，若數(shù)列是“一階等差數(shù)列”，則稱(chēng)數(shù)列是“二階等差數(shù)列”．定義：若數(shù)列是“階等差數(shù)列”，則稱(chēng)原數(shù)列為“階等差數(shù)列”．例如：數(shù)列，它的后項(xiàng)與前項(xiàng)之差組成新數(shù)列，新數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列為二階等差數(shù)列．(1)若數(shù)列滿(mǎn)足，，且，求證：數(shù)列為二階等差數(shù)列；(2)若三階等差數(shù)列的前項(xiàng)依次為，求的前項(xiàng)和；64．（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于有限正整數(shù)數(shù)列，若存在連續(xù)子列和符號(hào)序列，，使得，其中，則稱(chēng)數(shù)列存在平衡連續(xù)子列．(1)寫(xiě)出數(shù)列2，1，2，3的一個(gè)平衡連續(xù)子列；(2)設(shè)對(duì)任意正整數(shù)，定義函數(shù)為滿(mǎn)足的非負(fù)整數(shù)，其中為奇數(shù)，令．證明：數(shù)列不存在平衡連續(xù)子列；(3)設(shè)數(shù)列的每一項(xiàng)均為不大于的正整數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，存在平衡連續(xù)子列．65．（2025·山東臨沂·三模）定義：若數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”.(1)若，，判斷數(shù)列，是否為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”？(2)若等差數(shù)列為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”，且，求的公差的取值范圍；(3)若數(shù)列為共4項(xiàng)的“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”，滿(mǎn)足，求所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù).1．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，為等差數(shù)列，，．(1)直接寫(xiě)出的值；(2)求的通項(xiàng)；(3)求證：．2．（2025·浙江嘉興·一模）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得的的最小值.3．（2025·貴州黔南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：．4．（2025·四川攀枝花·三模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)令，求數(shù)列的最大項(xiàng)．5．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，其中．(1)寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．6．（2025·安徽合肥·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．（2025·寧夏吳忠·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)記，證明：．(3)記（），證明：．8．（2025·湖南·一模）張明在暑假為了鍛煉身體，制定了一項(xiàng)堅(jiān)持晨跑的計(jì)劃：30天晨跑訓(xùn)練．規(guī)則如下：張明從第1天開(kāi)始晨跑，若第天