專題01集合、常用邏輯用語、復(fù)數(shù)目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯】題型01元素與集合的關(guān)系題型02集合的包含關(guān)系求參數(shù)題型03集合的混合運算題型04集合中的創(chuàng)新問題題型05充分條件、必要條件題型06全稱量詞命題、存在量詞命題題型07復(fù)數(shù)【解答題破譯】題型01集合的新定義第二部分綜合鞏固整合應(yīng)用，模擬實戰(zhàn)題型01元素與集合的關(guān)系【例1-1】設(shè)，A是M的子集，且滿足條件：當(dāng)時，，則A中元素個數(shù)的最大值為（

）A．1862 B．1866 C．1868 D．1870【例1-2】定義，已知，則集合中所有元素乘積為．求集合交、并、補集的2種方法：（1）定義法：若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)交、并、補集的定義直接觀察或用圖表示出集合運算的結(jié)果．（2）數(shù)形結(jié)合法：若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時要注意當(dāng)端點不在集合中時，應(yīng)用“空心點”表示．【變式1-1】（2026高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，集合，集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-2】（25-26高三上·江蘇常州·期中）已知集合是質(zhì)數(shù)，，則（

）A． B．{2} C．{3} D．【變式1-3】（2025·全國·模擬預(yù)測）已知集合滿足，且當(dāng)時，，則中元素的個數(shù)至多為.題型02集合的包含關(guān)系求參數(shù)【例2-1】（2026高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，若，則實數(shù)的取值集合為（）A． B．C． D．【例2-2】（25-26高三上·上?！て谥校┮阎?，，若，則滿足條件的集合個數(shù)為（

）A．408 B．409 C．410 D．411根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)時，要明確集合中的元素，對含參數(shù)的集合是否為空集進行分類討論，做到不漏解.①若集合中的元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解，此時注意集合中元素的互異性.②若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組）求解，此時注意檢驗端點值能否取到【變式2-1】已知集合，，若,則a的值是（

）A．1 B． C．1或 D．或【變式2-2】（2025高三上·湖北·專題練習(xí)）已知集合，.若則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【變式2-3】（25-26高三上·湖南邵陽·期中）已知函數(shù)（），若非空集合，且，則下列說法中正確的是（

）A．n的取值與m有關(guān) B．n為定值C． D．題型03集合的混合運算【例3-1】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【例3-2】（25-26高三上·上海徐匯·期中）已知集合，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．集合的運算求參數(shù)的方法（1）與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值的取舍.（2）若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系，再列方程（組）求解.［注意］在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗證（滿足集合中元素的互異性）.【變式3-1】（25-26高三上·北京·月考）已知集合．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（25-26高三上·河北·期中）（多選）已知全集，集合，若，，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．【變式3-3】設(shè)全集，，，若，則實數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合為；題型04集合中的創(chuàng)新問題【例4-1】設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數(shù)為（

）A．15 B．35 C．40 D．45【例4-2】不等式的解集為N，不等式的解集為M，則解集M與N的關(guān)系是()A． B． C． D．解決以集合為背景的新定義問題的關(guān)鍵點（1）準確轉(zhuǎn)化：解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求進行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.（2）方法選?。簩τ谛露x問題，可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解.【變式4-1】（25-26高三上·山東臨沂·期中）置換是抽象代數(shù)的一種基本變換，對于有序數(shù)組，有序數(shù)組，定義“間距置換”：，，.已知有序數(shù)組，經(jīng)過一次“間距置換”后得到新的有序數(shù)組，且中所有數(shù)之和為2026，則（

）A．1004 B．1007 C．1010 D．1013【變式4-2】（25-26高三上·上?！て谥校┮阎?，非空集合，且滿足:對任意，均存在，使.記符合要求的的個數(shù)為.則對于正整數(shù)，.【變式4-3】若集合滿足，則稱為集合的一個分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)時，與為同一種分拆，則集合的不同分拆種數(shù)為（

）A． B． C． D．題型05充分條件、必要條件【例5-1】（2025·遼寧丹東·模擬預(yù)測）已知向量，，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【例5-2】（2026高三·全國·專題練習(xí)）已知，，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是．充分條件、必要條件的應(yīng)用一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（組）求解.（2）要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易漏解或增解.【變式5-1】（25-26高三上·河北滄州·期中）已知為虛數(shù)單位，則“”是“”為純虛數(shù)的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件C．充分不必要條件 D．既不充分又不必要條件【變式5-2】（25-26高三上·江蘇南通·期中）設(shè)函數(shù)的定義域為R，對于任意的，，且，則“”是“是增函數(shù)”的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式5-3】（2026高三·全國·專題練習(xí)）已知為兩個隨機事件，，則“相互獨立”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件題型06全稱量詞命題、存在量詞命題【例6-1】若“”是假命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例6-2】（2025高三上·湖北黃岡·專題練習(xí)）若“，”為假命題，則的取值范圍為.根據(jù)命題的真假求參數(shù)的值（范圍）的思路與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)的取值范圍問題，本質(zhì)是恒成立問題或有解問題.解決此類問題時，可以直接求解，也可以利用等價命題將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或不等式（組），再通過解方程（組）或不等式（組）求出參數(shù)的值或范圍.【變式6-1】（2025·安徽·模擬預(yù)測）若“恒成立”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是.【變式6-2】若命題“，使”為真命題，實數(shù)的取值范圍為.【變式6-3】命題，命題若命題?一真一假，則實數(shù)的取值范圍為.題型07復(fù)數(shù)【例7-1】（25-26高三上·江蘇南通·期中）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【例7-2】（2026高三·全國·專題練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，且，則的最大值是．復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算的策略【變式7-1】（2025·甘肅武威·模擬預(yù)測）（多選）已知復(fù)數(shù)，，其中，則（

）A．存在，使得 B．存在，使得C．存在，使得 D．存在，使得【變式7-2】（25-26高三上·安徽·期中）（多選）設(shè)，均為非零復(fù)數(shù)，下列命題中正確的有（

）A．B．C．若，則D．若，則【變式7-3】（2025·河南·模擬預(yù)測）（多選）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)至處，若旋轉(zhuǎn)角為，則（

）A．的坐標為B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，以為圓心，為半徑的圓中劣弧的長為D．的坐標為題型01集合的新定義問題【例1-1】（25-26高三上·山東淄博·期中）已知一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立，設(shè)滿足條件的的取值集合為.(1)求集合；(2)對于兩非空集合，定義：，若，求.【例1-2】（25-26高三上·山東·月考）已知有限實數(shù)集，定義集合.(1)若集合，求集合；(2)是否存在有限實數(shù)集，使得，說明理由；(3)若集合中有個元素，求集合中元素個數(shù)的最大值.【變式1-1】（25-26高一上·湖北武漢·月考）已知實數(shù)集，定義.(1)若，求；(2)若均為正數(shù)，，求的元素個數(shù)的取值范圍；(3)若，求集合.【變式1-2】（25-26高三上·北京通州·期中）設(shè)有序數(shù)陣，集合，（其中）．若滿足：①；②，則稱為集合的覆蓋數(shù)陣．(1)若為的覆蓋數(shù)陣，求的值；(2)當(dāng)時，寫出所有的的取值，使得為的覆蓋數(shù)陣．(3)設(shè)有序數(shù)陣的個數(shù)為，若為的覆蓋數(shù)陣，求證：．【變式1-3】對于實數(shù)集中的兩個非空有限子集和，定義和集．記符號表示集合中的元素個數(shù)．當(dāng)時，設(shè)是集合中按從小到大排列的所有元素，記集合.(1)已知集合，若，求集合，并求出的值(2)已知，記集合或．（i）當(dāng)時，證明的充要條件是；（ii）若，求的所有可能取值．一、單選題1．（25-26高三上·江蘇鹽城·月考）已知命題，，則（

）A．，，且是真命題B．，，且是真命題C．，，且是假命題D．，，且是假命題2．（25-26高三上·廣西南寧·月考）若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域為的“同族函數(shù)”包含的函數(shù)個數(shù)為（

）A．3 B．6 C．9 D．273．（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）函數(shù)在上單調(diào)遞增的必要不充分條件為（

）A． B． C． D．4．（25-26高三上·河北·期中）已知，均為整數(shù)，且，，則集合的真子集的個數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（25-26高三上·上?！て谥校┯邢旅嫒齻€命題：命題1：若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)；命題2：已知定義在上的函數(shù)，若對任意的，均有，則函數(shù)為偶函數(shù)；命題3：已知定義在上的偶函數(shù)在上嚴格增，則存在函數(shù)在上嚴格減.則真命題有（

）個.A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題6．（25-26高三上·河南·期中）設(shè)為任意的兩個非空數(shù)集，定義集合且為的笛卡爾積，記為的任何子集都稱為到的關(guān)系，特別地，當(dāng)時，稱為上的關(guān)系．在平面上用實心圓點分別標出中元素的點（稱為結(jié)點），如果，那么用實心圓點標出中元素的點即可．若，則自結(jié)點至結(jié)點作一條有向邊，箭頭指向，若，則結(jié)點到?jīng)]有有向邊連接，采用這種方法連接起來的圖稱為的關(guān)系圖．若均為到的關(guān)系，則定義存在滿足，且．設(shè)集合，現(xiàn)給出如下5個上的關(guān)系，的關(guān)系圖，其中，則（

）

A．B．共有512個子集C．D．三、填空題7．對于，命題“”為真命題的充要條件是.8．定義，已知，則集合中所有元素乘積為．9．（2026高三·全國·專題練習(xí)）1＝121＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……根據(jù)以上事實寫出含有量詞的全稱量詞命題為10．已知為個互不相等的正整數(shù)，滿足，，若集合有個元素，則的最大值為..四、解答題11．（25-26高一上·北京·月考）已知集合為非空數(shù)集，定義