2026屆福建省莆田二十五中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，若與的展開式中的常數(shù)項(xiàng)相等，則（）A.1 B.3C.6 D.92．如圖，在單位正方體中，以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)取最大時(shí)的值為（）A. B.C. D.4．如果在一實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得的四組數(shù)值分別是，則y與x之間的回歸直線方程是（）A. B.C. D.5．在某市第一次全民核酸檢測(cè)中，某中學(xué)派出了8名青年教師參與志愿者活動(dòng)，分別派往2個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)需4名志愿者，其中志愿者甲與乙要求在同一組，志愿者丙與丁也要求在同一組，則這8名志愿者派遣方法種數(shù)為（）A.20 B.14C.12 D.66．某次生物實(shí)驗(yàn)6個(gè)小組的耗材質(zhì)量（單位：千克）分別為1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.657．已知雙曲線的離心率為2，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．經(jīng)過點(diǎn)，且被圓所截得的弦最短時(shí)的直線的方程為（）A. B.C. D.9．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，，與分別交于，則直線過定點(diǎn)（）A. B.C. D.10．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，，，，…構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則的值為（）A. B.C. D.11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.12．在平面直角坐標(biāo)系中，線段的兩端點(diǎn)，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動(dòng)，若圓上存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則線段長度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為_________14．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.15．在中，若面積，則______16．圓關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.18．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求的最大值.19．（12分）已知點(diǎn)及圓，點(diǎn)P是圓B上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線l交半徑于點(diǎn)T，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)T的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，，它們與曲線E分別交于點(diǎn)C、D、M、N，且四邊形是菱形，求該菱形周長的最大值20．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)（1）求直線和曲線的普通方程；（2）直線與軸交于點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求21．（12分）閱讀本題后面有待完善的問題，在下列三個(gè)條件：①，②，③中選擇一個(gè)作為條件，補(bǔ)充在題中橫線處，使問題完善，并解答你構(gòu)造的問題.（如果選擇多個(gè)關(guān)系并分別解答，在不出現(xiàn)邏輯混亂的情況下，按照第一個(gè)解答給分）.問題：已知命題，，命題___________，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)使得數(shù)列{an}成等比數(shù)列.條件1：數(shù)列{f（an）}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列；條件2：數(shù)列{f（an）}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求出【詳解】的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，而的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，所以，又，所以故選：B2、A【解析】設(shè)平面的法向量是，，，由可求得法向量.【詳解】在單位正方體中，以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.3、B【解析】由已知條件及等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求基本量，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷取最大時(shí)的值.【詳解】令公差為，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：B4、B【解析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求樣本中心點(diǎn)，由樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，將其代入各選項(xiàng)的回歸方程驗(yàn)證即可.【詳解】由題設(shè)，，因?yàn)榛貧w直線方程過樣本點(diǎn)中心，A：，排除；B：，滿足；C：，排除；D：，排除.故選：B5、B【解析】分（甲乙）、（丙?。┰偻唤M和不在同一組兩種情況討論，按照分類、分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意甲乙丙丁四人再同一組，有種；（甲乙），（丙?。┎辉谕唤M，先從其余4人選2人與甲乙作為一組，另外2人與丙丁作為一組，再安排到兩個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，則有種，綜上可得一共有種安排方法，故選：B6、D【解析】將已有數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)的定義確定該組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】由題設(shè)，將數(shù)據(jù)從小到大排序可得：，∴中位數(shù)為.故選：D.7、B【解析】求出焦點(diǎn)，則可得出，即可求出漸近線方程.【詳解】由橢圓可得焦點(diǎn)為，則設(shè)雙曲線方程為，可得，則離心率，解得，則，所以漸近線方程為.故選：B.8、C【解析】當(dāng)是弦中點(diǎn)，她能時(shí)，弦長最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)被圓所截得的弦最短，此時(shí)，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長問題的關(guān)鍵9、A【解析】由橢圓方程可求得坐標(biāo)，由此求得拋物線方程；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，根據(jù)可得，由此構(gòu)造方程求得，根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得定點(diǎn).【詳解】由橢圓方程知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又拋物線焦點(diǎn)，，解得：，則拋物線的方程為，由題意知：直線斜率不為，可設(shè)，由得：，則，即，設(shè)，，則，，，，，解得：或；又與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，，，當(dāng)時(shí)，，直線恒過定點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)直線方程；④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.10、B【解析】根據(jù)楊輝三角可得數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累加法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式與.【詳解】由已知可得數(shù)列的遞推公式為，且，且，故，，，，，等式左右兩邊分別相加得，，故選：B.11、B【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出其執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】由程序框圖的邏輯，執(zhí)行步驟如下：1、：執(zhí)行循環(huán)，，；2、：執(zhí)行循環(huán)，，；3、：執(zhí)行循環(huán)，，；4、：執(zhí)行循環(huán)，，；5、：執(zhí)行循環(huán)，，；6、：不成立，跳出循環(huán).∴輸出的值為.故選：B.12、C【解析】首先求點(diǎn)的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點(diǎn)，即根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有交點(diǎn)，所以，，即，解得：，所以線段長度的最小值為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用對(duì)稱條件求出圓心C的坐標(biāo)，借助直線被圓所截弦長求出圓半徑即可寫出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的圓心，依題意，，解得，即圓心，點(diǎn)C到直線的距離，因圓截直線所得弦AB長為6，于是得圓C的半徑所以圓的方程為：.故答案為：14、【解析】根據(jù)充分性和必要性，求得參數(shù)取值范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閜：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，故集合為集合的真子集，故只需.故答案為：.15、##【解析】結(jié)合三角形面積公式與余弦定理得，進(jìn)而得答案.【詳解】解：由三角形的面積公式得，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以故答案為?6、【解析】根據(jù)題意可得圓心坐標(biāo)為，半徑為1，利用平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱特征可得所求的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，設(shè)圓關(guān)于y軸對(duì)稱的圓為，所以，半徑為1，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值，從而求得的值.【小問1詳解】由，得，令，得或；令，得.∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】∵，∴.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.∴的極小值為，極大值為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又∵函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)的值為.18、（1）（2），45【解析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)列出方程組，得出通項(xiàng)公式；（2）先得出，再由二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值.【小問1詳解】由，解得，即【小問2詳解】，二次型函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為，則當(dāng)或時(shí)，有最大值45.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出，即可（2）設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及弦長公式，求得，，運(yùn)用菱形和橢圓的對(duì)稱性可得，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合菱形的對(duì)角線垂直和向量數(shù)量積為0，可得，設(shè)菱形的周長為，運(yùn)用基本不等式，計(jì)算可得所求最大值【小問1詳解】點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，又，曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，和為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓設(shè)曲線的方程為，，，曲線的方程為【小問2詳解】設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，聯(lián)立可得，由可得，化簡(jiǎn)可得，①，，，同理可得，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以且，所以，，，，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，可得，即，即，即，可得，化?jiǎn)可得，設(shè)菱形的周長為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，滿足①，所以菱形的周長的最大值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在處理此類直線與橢圓相交問題中，一般先設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理得出，，再具體問題具體分析，一般涉及弦長計(jì)算問題，運(yùn)算比較繁瑣，需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力，屬于難題。20、（1），（2）4【解析】（1）根據(jù)，即可將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；消參數(shù)，即可求出曲線的普通方程；（2）由題意易知，求出直線的參數(shù)方程，將其代入曲線的普通方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，即可求出結(jié)果【小問1詳解】解：直線極坐標(biāo)方程為，即，又，可得的普通方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)，消參數(shù)，所以曲線的普通方程為【小問2詳解】解：在中令得，，傾斜角，的參數(shù)方程可設(shè)為，即（為參數(shù)），將其代入，得，，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，，異號(hào)，.21、【解析】分別在、和的情況下得命題對(duì)應(yīng)的集合；選條件后可求得命題對(duì)應(yīng)的集合；根據(jù)充分不必要條件的定義可知，分別在、和的情況下得到結(jié)果.【詳解】由得：，當(dāng)時(shí)，不等式解集；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；是的充分不必