第1頁/共1頁2026北京通州初三（上）期末數(shù)學(xué)2026年1月考生須知1．本試卷共8頁，共三道大題，28個(gè)小題，滿分為100分，考試時(shí)間為120分鐘．2．請(qǐng)?jiān)谠嚲砗痛痤}卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級(jí)、姓名．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.已知⊙O的半徑為，點(diǎn)P到圓心O的距離為，則點(diǎn)P（）A.在圓內(nèi) B.在圓上 C.在圓外 D.在圓O上或圓O外2.如圖，是上的四點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）．A. B. C. D.3.如圖，在中，，若，，則的值為（）A. B. C. D.4.如圖，是河堤橫斷面的迎水坡，堤高，坡比是，則坡面的長度為（）A. B. C. D.5.在中，都是銳角，且，則的形狀是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形6.已知反比例函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.函數(shù)圖象分布在第二、四象限 B.圖象經(jīng)過點(diǎn)C.若，則 D.在各自象限內(nèi)，y的值隨x的增大而減小7.如圖，點(diǎn)是圓形舞臺(tái)上的一點(diǎn)，舞臺(tái)的圓心為，在點(diǎn)安裝的一臺(tái)某種型號(hào)的燈光裝置，其照亮的區(qū)域如圖中陰影所示，該裝置可以繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，邊界的兩條光線分別與圓交于，兩點(diǎn)，并且夾角保持不變，該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，以下結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)到弦所在直線的距離存在最大值 B.弦的大小改變C.弦與的長度之和不變 D.圖中陰影部分的面積不變8.如圖，在“探索二次函數(shù)（）的系數(shù)a，b，c對(duì)函數(shù)圖象的影響”活動(dòng)中，老師給出了坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：，，，．同學(xué)們分別畫出了經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的若干個(gè)二次函數(shù)圖象，當(dāng)取得最大值時(shí)，圖象經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)中的（）A. B. C. D.二、填空題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）9.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______．10.如圖是一架人字梯及其側(cè)面示意圖，已知，，，，則的長為_____．11.如圖，E是□ABCD的邊BA延長線上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)F，圖中______對(duì)相似三角形．12.如圖，已知點(diǎn)P為反比例函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橫軸的垂線，垂足為M，則的面積為_______．13.中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為，曲線終點(diǎn)為，過點(diǎn)，的兩條切線相交于點(diǎn)，列車在從到行駛的過程中轉(zhuǎn)角為．若圓曲線的半徑，則這段圓曲線的長為________．14.如圖，拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則關(guān)于x的方程的解為_______．15.四邊形具有不穩(wěn)定性，如圖，將面積為5的矩形“推”成面積為4的平行四邊形，則的值為__________．

16.如圖，以為圓心，半徑為6的圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作垂直直線于點(diǎn)H，連接，則弦的長度為______，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長度的最大值為______．三、解答題（本題共68分，第17題4分；第18－21題每題5分；第22－26題每題6分；第27、28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.計(jì)算：．18.如圖，在中，，，．（1）求的長；（2）求的值．19.下面是小立設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：及圓上一點(diǎn)．求作：直線，使得為的切線，為切點(diǎn)．作法：如圖，①連接并延長到點(diǎn)；②分別以點(diǎn)，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)（點(diǎn)在直線上方）；③以點(diǎn)為圓心，長為半徑作；④連接并延長，交于點(diǎn)，作直線．直線就是所求作的直線．根據(jù)小立設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，完成下面的證明．（說明：括號(hào)里填推理的依據(jù)）證明：連接．∵①∴點(diǎn)在上，∴是的直徑．∴②．（③）∴④．∵是的半徑，∴是的切線．（⑤）20.如圖，中，，點(diǎn)D在上，．若，，求的長．21.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求該函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值都小于的值，直接寫出m的取值范圍．22.下表是二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的自變量x和函數(shù)值y．x…012345…y…8300m8…（1）觀察表格，______________；（2）求此二次函數(shù)的表達(dá)式，并畫出該函數(shù)的圖象；（3）該二次函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，若，直接寫出n的取值范圍．23.港珠澳大橋是連接香港、珠海、澳門的跨海橋隧工程，全長55千米，2018年通車，以“三地三檢”模式助力粵港澳大灣區(qū)互聯(lián)互通，創(chuàng)下多項(xiàng)世界之最．港珠澳大橋主橋?yàn)槿罂缍蠕摻Y(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風(fēng)帆”，寓意“揚(yáng)帆起航”，某校九年級(jí)學(xué)生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，在距B處160米的C處看塔頂A，仰角為30°，求該主塔的高度．24.如圖，點(diǎn)F在平行四邊形的對(duì)角線上，，連結(jié)，使得平分，（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長．25.如圖，為的直徑，點(diǎn)C在上，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作的切線交的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）連接，若，，求的長．26.平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與y軸的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作直線l垂直于y軸．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的式子表示）；（2）若點(diǎn)都在拋物線上，則的大小關(guān)系為______（用“＜”連接）（3）將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G．點(diǎn)為圖形G上任意兩點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，畫出圖形G，并結(jié)合圖形判斷，當(dāng)時(shí)，與的大小關(guān)系；②若對(duì)于，都有，直接寫出m的取值范圍．27.如圖，中，于點(diǎn)D，點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P，連結(jié)，Q為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)P重合），且滿足．（1）用等式表示線段的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）連結(jié)，取的中點(diǎn)E，連接，判斷與的位置關(guān)系，并證明．28.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于線段，直線m和圖形M給出如下定義：線段關(guān)于直線m的對(duì)稱線段為（分別是P，Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．若與均與圖形M（包括內(nèi)部和邊界）有公共點(diǎn)，則稱線段為圖形M關(guān)于直線m的“像—關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖1，已知的半徑是3，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段，，中，關(guān)于直線的“像—關(guān)聯(lián)線段”的是______；（2）如圖2，已知點(diǎn)，A，B，，若線段是關(guān)于直線的“像—關(guān)聯(lián)線段”，求k的取值范圍；（3）已知的半徑為r，點(diǎn)，線段的長度為1．若對(duì)于任意過點(diǎn)的直線m，都存在線段為關(guān)于直線m的“像—關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出r的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．題號(hào)12345678答案ABCCADAC二、填空題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）9.【答案】(0，-2)【分析】拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(0，k)，從而可得答案．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-2)，故答案為：(0，-2)．10.【答案】【分析】本題考查平行線分線段成比例，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，進(jìn)而代值求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得，故答案為：．11.【答案】3【分析】由□ABCD可得，，再由平行線性質(zhì)推導(dǎo)而證明△AFE∽△CFD∽△BCE，從而完成求解．【詳解】∵□ABCD∴，∴，∵∴∵，∴△CFD∽△BCE∴△AFE∽△CFD∽△BCE故答案為：3．12.【答案】2【詳解】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得：S△OPM=k=213.【答案】##【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長，根據(jù)題意得出，將已知數(shù)據(jù)代入弧長公式，即可求解．【詳解】解：∵過點(diǎn)，的兩條切線相交于點(diǎn)，列車在從到行駛的過程中轉(zhuǎn)角為．∴，∴，∴圓曲線的長為故答案為：．14.【答案】【分析】本題主要考查了通過函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．根據(jù)拋物線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)及解析式，得出方程的解即可．【詳解】解：根據(jù)拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及解析式得，方程的解為，故答案為：．15.【答案】【分析】本題考查解直角三角形，矩形，平行四邊形，關(guān)鍵是由矩形、平行四邊形的面積推出．由矩形、平行四邊形的面積得到，即可求出的值，【詳解】解：如圖，作于，∵，，∴，∴，令，，∴，∴=，故答案為：16.【答案】①.②.##【分析】本題考查了圓的綜合問題，涉及垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確確定點(diǎn)的軌跡．連接，由題意得，，先由勾股定理求解，然后根據(jù)垂徑定理得到，連接，取中點(diǎn)，連接，確定點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則，由等腰三角形的性質(zhì)得到，則，再由，得到，故當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且在延長線上時(shí)，取得最大值為．【詳解】解：連接由題意得，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，連接，取中點(diǎn)，連接，∵，∴，∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴，∵，為中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且在延長線上時(shí)，取得最大值為故答案為：，．三、解答題（本題共68分，第17題4分；第18－21題每題5分；第22－26題每題6分；第27、28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.【答案】【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，解題的關(guān)鍵熟記特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入求值即可．【詳解】解：．18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)余弦等于鄰邊除以斜邊代入求出，再結(jié)合勾股定理即可得到答案；（2）根據(jù)正弦等于對(duì)邊除以斜邊代入求解解即可得到答案；【小問1詳解】解：在中，，∴，∴【小問2詳解】解：∵在中，，，，∴；19.【答案】；；直徑所對(duì)的圓周角是直角；；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】根據(jù)畫法得，則點(diǎn)C在上，即是的直徑即可得，即可得，根據(jù)是的半徑即可得證．【詳解】證明：如圖，連接，∵，∴點(diǎn)C在上，∴是的直徑．∴．（直徑所對(duì)的圓周角是直角）∴．∵是的半徑，∴是的切線．（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．故答案為：；；直徑所對(duì)的圓周角是直角；；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．20.【答案】【分析】在中，由三角函數(shù)求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函數(shù)求得的長即可．【詳解】解：∵在中，，，，，，，∴的長度為．21.【答案】（1）（2）【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，求反比例函數(shù)解析式，正確求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限和原點(diǎn)，此時(shí)必定不滿足題意；當(dāng)，可求出關(guān)于x的不等式的解集為，根據(jù)當(dāng)時(shí)不等式要成立得到，據(jù)此求解即可．【小問1詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴該函數(shù)的表達(dá)式為；【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限和原點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的圖象在第一象限，故此時(shí)不能滿足當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值都小于的值，當(dāng)，且時(shí)，則，∴，∴，∵當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值都小于的值，∴，∴，∴；綜上所述，．22.【答案】（1）3（2），圖象見解析（3）【分析】（1）由表格可求出該拋物線的對(duì)稱軸，從而即可求出m的值；（2）根據(jù)表格結(jié)合（1）可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故可設(shè)該拋物線解析式為．再將，代入，即可求出a的值，即得出其解析式，最后描點(diǎn)畫圖即可；（3）根據(jù)該二次函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，結(jié)合圖象可知．再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，即點(diǎn)A到直線的距離和點(diǎn)B到直線的距離相等．最后根據(jù)，得出點(diǎn)B到直線的距離，即時(shí)，滿足，結(jié)合表格即可知．【小問1詳解】由表格可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線．∴當(dāng)時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相等．∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，即．故答案為：3；【小問2詳解】由（1）知該拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴可設(shè)該拋物線解析式為．∵當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，∴該拋物線解析式為．該二次函數(shù)的圖象如圖，小問3詳解】∵該二次函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，∴．由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，即點(diǎn)A到直線的距離和點(diǎn)B到直線的距離相等．∵，∴點(diǎn)B到直線的距離．∴當(dāng)，即時(shí)，滿足．∴．綜上可知．23.【答案】米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，設(shè)米，在中，利用三角函數(shù)值得，進(jìn)而得，在中，利用三角函數(shù)值得，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，設(shè)米，由題意得，，，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，答：該主塔的高度為米．24.【答案】【小問1詳解】證明：∵，∴四邊形是平行四邊形，，，∵平分，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；【小問2詳解】解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，如圖所示：由（1）得：四邊形是菱形，，∵，，∴，，∵平行四邊形，∴，∴，，在中，，∴．25.【答案】【小問1詳解】證明：連接，如圖：∵∴又為圓O的切線∴，∵，∴∴∴；【小問2詳解】解：如圖，∵是直徑，∴，∵∴，∴，∵，過圓心，∴，∴．26.【答案】【小問1詳解】解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：∵關(guān)于對(duì)稱，開口向上，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，y值越大，∵，，∴，故答案為：；【小問3詳解】解：①當(dāng)時(shí)，圖形G如圖所示：為圖形G上任意兩點(diǎn)．觀察圖形發(fā)現(xiàn)y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，；②若對(duì)于，都有，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)，對(duì)于，都有，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，都有，由①知，當(dāng)時(shí)，；∴對(duì)于，都有，m的取值范圍是．27.【答案】（1）；見解析（2），見解析【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，確定線段、角度之間的數(shù)量關(guān)系．（1）連接，過點(diǎn)A作，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，確定，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，即可確定結(jié)果；（2）作交于K，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，再由線段垂直平分線的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果【小問1詳解】證明：連接，過點(diǎn)A作，如圖所示：∵點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：，證明如下：如圖，作交于K，∴，∴E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P，∴，∴，∴垂直平分，∴，∴．28.【答案】（1），（2）或（3）【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系；（1）根據(jù)“像—關(guān)聯(lián)線段”的定義，線段本身和關(guān)于直線的對(duì)稱線段都要與的圓周或圓的內(nèi)部有公共點(diǎn)，據(jù)此通過畫圖判斷即可；（2）分類討論：①當(dāng)直線平分時(shí)，線段關(guān)于直線的對(duì)稱線段會(huì)剛好落在邊上，求出；②當(dāng)直線平分時(shí)，線段關(guān)于直線的對(duì)稱線段會(huì)剛好落在邊上，求出；所以當(dāng)或時(shí)，線段是關(guān)于