統(tǒng)計(jì)學(xué)試題和答案1.單選題（每題4分，共40分）1.1某市交通部門連續(xù)30天記錄早高峰時(shí)段某路口的車流量（單位：輛/分鐘），數(shù)據(jù)經(jīng)箱線圖檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)上須外僅出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)。下列說法正確的是A.該點(diǎn)一定是異常值，必須刪除B.該點(diǎn)可能是極端值，但刪除需結(jié)合業(yè)務(wù)背景C.箱線圖的異常值判定標(biāo)準(zhǔn)對(duì)樣本量不敏感D.若改用99%的Z分?jǐn)?shù)閾值，則該點(diǎn)一定被保留答案：B解析：箱線圖默認(rèn)用1.5×IQR規(guī)則標(biāo)記“潛在異常值”，但“異?！眱H相對(duì)于樣本分布形態(tài)而言，未必代表數(shù)據(jù)錯(cuò)誤；是否剔除需結(jié)合產(chǎn)生機(jī)制。Z分?jǐn)?shù)閾值隨置信水平變化，99%對(duì)應(yīng)約±2.58，未必保留該點(diǎn)，故D錯(cuò)。1.2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若E(X2)=6，則λ=A.1B.2C.3D.4答案：B解析：泊松分布E(X)=λ，Var(X)=λ，故E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=λ+λ2=6，解得λ=2。1.3對(duì)同一總體進(jìn)行兩次獨(dú)立抽樣，樣本容量分別為n?=100，n?=400，樣本均值分別為x??=50，x??=52。若總體方差已知為σ2=100，則合并兩樣本后，x?的抽樣分布標(biāo)準(zhǔn)誤為A.0.5B.0.4C.0.447D.0.316答案：C解析：合并均值x?=(n?x??+n?x??)/(n?+n?)=51.6，但其標(biāo)準(zhǔn)誤只與總樣本量有關(guān)，σ/√(n?+n?)=10/√500≈0.447。1.4在線性回歸y=β?+β?x+ε中，若解釋變量x的樣本方差增大，其他條件不變，則β?的OLS估計(jì)量的方差將A.增大B.減小C.不變D.先增后減答案：B解析：Var(β??)=σ2/Σ(xi?x?)2，分母隨x方差增大而增大，故方差減小。1.5某假設(shè)檢驗(yàn)的p值為0.03，若顯著性水平α=0.05，則下列說法正確的是A.原假設(shè)錯(cuò)誤的概率為3%B.拒絕原假設(shè)后犯第一類錯(cuò)誤的概率為3%C.若重復(fù)實(shí)驗(yàn)100次，大約3次會(huì)得到|t|≥觀測值D.檢驗(yàn)功效等于97%答案：C解析：p值指“在原假設(shè)成立時(shí)，得到當(dāng)前或更極端結(jié)果”的概率頻率解釋，C正確。A、B把p值當(dāng)成“假設(shè)為真的概率”或“錯(cuò)誤概率”，屬常見誤解。功效與備擇分布有關(guān)，無法由p值直接推出。1.6對(duì)一組右偏數(shù)據(jù)取自然對(duì)數(shù)后，新數(shù)據(jù)的偏度A.一定為負(fù)B.一定為正C.更接近0D.不變答案：C解析：對(duì)數(shù)變換可壓縮右尾，降低偏度，但未必改變方向，故“更接近0”最嚴(yán)謹(jǐn)。1.7在單因素方差分析中，若組間均方MSB=120，組內(nèi)均方MSE=30，則F統(tǒng)計(jì)量的值為A.3B.4C.5D.6答案：B解析：F=MSB/MSE=120/30=4。1.8設(shè)X~N(0,1)，Y~N(0,4)且獨(dú)立，令Z=X/Y，則Z的分布為A.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)B.柯西C.t(1)D.F(1,1)答案：B解析：柯西分布定義為兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量之比，其中分母均值為0，故Z~Cauchy(0,1)。1.9對(duì)某二項(xiàng)分布B(n,p)進(jìn)行極大似然估計(jì)，若觀測到k次成功，則p的MLE為A.k/nB.(k+1)/(n+1)C.(k+1)/(n+2)D.(k+2)/(n+4)答案：A解析：似然函數(shù)L(p)=C(n,k)p^k(1?p)^(n?k)，對(duì)數(shù)求導(dǎo)得p?=k/n。1.10若事件A、B滿足P(A∪B)=0.7，P(A)=0.4，P(B)=0.5，則P(A∩B)=A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案：B解析：由加法公式P(A∩B)=P(A)+P(B)?P(A∪B)=0.4+0.5?0.7=0.2。2.多選題（每題5分，共30分，每題至少有兩個(gè)正確答案，多選少選均不得分）2.1下列關(guān)于中心極限定理（CLT）的描述正確的有A.樣本量足夠大時(shí)，樣本均值的分布趨近正態(tài)B.總體必須為正態(tài)分布CLT才成立C.若總體高度偏斜，所需樣本量更大D.樣本量固定時(shí)，增大總體方差會(huì)減緩收斂速度E.CLT可推廣到樣本方差的分布答案：A、C、D解析：B錯(cuò)，CLT核心在于“總體不必正態(tài)”；E錯(cuò)，CLT針對(duì)樣本均值，樣本方差收斂到卡方分布需另依Delta方法或Slutsky定理。2.2在多元線性回歸中，若出現(xiàn)多重共線性，可能導(dǎo)致A.OLS估計(jì)量不再無偏B.個(gè)別系數(shù)顯著性下降C.系數(shù)符號(hào)與理論相反D.模型R2大幅降低E.方差膨脹因子VIF增大答案：B、C、E解析：多重共線性不破壞無偏性，A錯(cuò)；R2可能仍高，D錯(cuò)；VIF增大、標(biāo)準(zhǔn)誤膨脹導(dǎo)致t值下降，符號(hào)可能反轉(zhuǎn)。2.3關(guān)于Bootstrap置信區(qū)間，下列說法正確的有A.無需對(duì)總體分布作假設(shè)B.基本思想是“用樣本分布模擬抽樣分布”C.百分位法區(qū)間總是對(duì)稱D.樣本量很小時(shí)，覆蓋率可能低于名義水平E.平滑Bootstrap可改善離散數(shù)據(jù)下的表現(xiàn)答案：A、B、D、E解析：C錯(cuò)，百分位法區(qū)間形狀完全由重抽樣經(jīng)驗(yàn)分布決定，可不對(duì)稱。2.4以下哪些圖適合展示兩個(gè)數(shù)值型變量的相關(guān)性A.散點(diǎn)圖B.Q-Q圖C.熱力圖D.平行坐標(biāo)圖E.氣泡圖答案：A、C、E解析：Q-Q圖用于分布比較；平行坐標(biāo)圖適合高維，非專用于兩變量相關(guān)性。2.5貝葉斯推斷中，若先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)，則A.后驗(yàn)分布與先驗(yàn)屬于同一族B.計(jì)算后驗(yàn)期望更簡單C.必須采用無信息先驗(yàn)D.隨著樣本量增加，先驗(yàn)影響減弱E.后驗(yàn)分布的方差一定小于先驗(yàn)方差答案：A、B、D解析：C錯(cuò)，共軛先驗(yàn)可信息豐富；E錯(cuò)，若數(shù)據(jù)極離散，后驗(yàn)方差可能暫時(shí)更大。2.6下列屬于非參數(shù)檢驗(yàn)的方法有A.Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)B.Kruskal-Wallis檢驗(yàn)C.Mann-WhitneyU檢驗(yàn)D.符號(hào)檢驗(yàn)E.卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)答案：A、B、C、D解析：卡方檢驗(yàn)雖無嚴(yán)格分布假設(shè)，但針對(duì)列聯(lián)表或分類數(shù)據(jù)，通常歸為“分布自由”而非“非參數(shù)秩檢驗(yàn)”。3.填空題（每空3分，共30分）3.1設(shè)X~N(μ,9)，抽取n=25的樣本，得x?=12，則μ的95%雙側(cè)置信區(qū)間為（11.824，____）。答案：12.176解析：σ=3，標(biāo)準(zhǔn)誤=3/5=0.6，z?.???=1.96，區(qū)間=12±1.96×0.6。3.2若隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)為M_X(t)=exp(2t+3t2)，則E(X)=____，Var(X)=____。答案：2；6解析：MGF形式對(duì)應(yīng)N(2,6)，因MGF正態(tài)為exp(μt+σ2t2/2)，對(duì)比得σ2=6。3.3在線性回歸中，若決定系數(shù)R2=0.81，則解釋變量與響應(yīng)變量的樣本相關(guān)系數(shù)r=____。答案：0.9或?0.9解析：簡單線性回歸R2=r2，r符號(hào)與回歸系數(shù)一致。3.4對(duì)某時(shí)間序列擬合ARIMA(1,1,1)模型，若經(jīng)差分后序列的自相關(guān)圖在滯后1階后截尾，則模型中的MA部分階數(shù)q=____。答案：1解析：ACF滯后1截尾提示MA(1)。3.5若X?,…,X_n獨(dú)立同分布于Exp(λ)，則λ的矩估計(jì)量為____。答案：1/x?解析：E(X)=1/λ，令樣本均值等于期望得λ?=1/x?。3.6設(shè)X~Bin(10,0.2)，則P(X≥2)=____（保留三位小數(shù)）。答案：0.624解析：1?P(X=0)?P(X=1)=1?0.81??10×0.2×0.8?≈0.624。3.7在假設(shè)檢驗(yàn)中，若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=2.5，自由度df=20，雙側(cè)p值約為____（t分布表查得P(|T|≥2.5)=0.021）。答案：0.021解析：直接查表。3.8對(duì)某總體進(jìn)行分層抽樣，總樣本量n=100，兩層權(quán)重分別為W?=0.4，W?=0.6，若兩層樣本量按內(nèi)曼分配，且層標(biāo)準(zhǔn)差S?=5，S?=10，則n?=____。答案：25解析：n?=n×(W?S?)/(W?S?+W?S?)=100×2/(2+6)=25。3.9若X~Geo(p)，則P(X>k)=____。答案：(1?p)^k解析：幾何分布無記憶性，尾部概率直接為(1?p)^k。3.10給定5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)：3,5,7,9,11，其樣本中位數(shù)為____，四分位距IQR=____。答案：7；4解析：排序后中位數(shù)即第3點(diǎn)；Q?=4，Q?=8，IQR=8?4=4。4.計(jì)算與證明題（共100分）4.1（15分）設(shè)X?,…,X_n獨(dú)立同分布于U(0,θ)，θ>0未知。(1)求θ的矩估計(jì)量θ?_M；(2)求θ的極大似然估計(jì)量θ?_ML；(3)比較兩者的均方誤差MSE（提示：先求E(θ?_ML)與Var(θ?_ML)）。答案與解析：(1)E(X)=θ/2，令x?=θ/2，得θ?_M=2x?。(2)似然函數(shù)L(θ)=θ^(?n)I_{x_(n)≤θ}，其中x_(n)=max{X_i}，顯然L在θ=x_(n)處取最大，故θ?_ML=x_(n)。(3)先求θ?_ML分布：P(x_(n)≤t)=(t/θ)^n，0<t<θ，密度f(t)=nt^(n?1)/θ^n。于是E(x_(n))=∫?^θt·nt^(n?1)/θ^ndt=nθ/(n+1)，E(x_(n)2)=∫?^θt2·nt^(n?1)/θ^ndt=nθ2/(n+2)，Var(x_(n))=nθ2/(n+2)?[nθ/(n+1)]2=nθ2/[(n+2)(n+1)2]。MSE(θ?_ML)=Var+(Bias)2=nθ2/[(n+2)(n+1)2]+[θ?nθ/(n+1)]2=2θ2/[(n+1)(n+2)]。對(duì)矩估計(jì)：E(θ?_M)=2E(x?)=θ，無偏；Var(θ?_M)=4Var(x?)=4θ2/(12n)=θ2/(3n)。故MSE(θ?_M)=θ2/(3n)。比較：當(dāng)n≥2時(shí)，2/[(n+1)(n+2)]<1/(3n)恒成立，因此θ?_ML的MSE更小，效率更高。4.2（15分）某電商平臺(tái)想評(píng)估新版頁面（B）是否提升轉(zhuǎn)化率。隨機(jī)抽取1000名用戶，其中600名進(jìn)入A組（舊版），400名進(jìn)入B組（新版）。結(jié)果A組成交90單，B組成交84單。(1)建立假設(shè)檢驗(yàn)，判斷B是否顯著優(yōu)于A（α=0.05）；(2)計(jì)算檢驗(yàn)p值，并給出業(yè)務(wù)建議；(3)若希望檢出比例提升2個(gè)百分點(diǎn)的功效達(dá)到80%，試估算所需樣本量（兩組等量分配）。答案與解析：(1)設(shè)p_A、p_B為兩組真實(shí)轉(zhuǎn)化率，H?:p_B≤p_A，H?:p_B>p_A（單側(cè)）。樣本轉(zhuǎn)化率p?_A=90/600=0.15，p?_B=84/400=0.21。合并比例p?=(90+84)/1000=0.174。Z=(p?_B?p?_A)/√[p?(1?p?)(1/n_A+1/n_B)]=(0.06)/√[0.174×0.826×(1/600+1/400)]≈0.06/0.024≈2.50。臨界值z?.??=1.645，2.50>1.645，拒絕H?，認(rèn)為B顯著優(yōu)于A。(2)p值=P(Z≥2.50)=0.0062，遠(yuǎn)小于0.05，證據(jù)強(qiáng)。業(yè)務(wù)建議：新版頁面顯著提升轉(zhuǎn)化，可推廣全量，但需持續(xù)監(jiān)控長期效應(yīng)及用戶體驗(yàn)副作用。(3)功效計(jì)算：設(shè)p_A=0.15，p_B=0.17，Δ=0.02，α=0.05（單側(cè)），功效=0.8。用Lehr公式近似：n=[z_{1?α}√(2p?(1?p?))+z_{1?β}√(p_A(1?p_A)+p_B(1?p_B))]2/Δ2，其中p?=(0.15+0.17)/2=0.16，z?.??=1.645，z?.?=0.84，n≈[1.645√(2×0.16×0.84)+0.84√(0.15×0.85+0.17×0.83)]2/0.0004≈(1.645×0.519+0.84×0.522)2/0.0004≈(1.62)2/0.0004≈6560每組，總13120。結(jié)論：若要檢測2%小幅提升，需約1.3萬樣本，遠(yuǎn)高于當(dāng)前1000，說明小改進(jìn)需大流量。4.3（20分）某工廠生產(chǎn)鋼絲，其抗拉強(qiáng)度X~N(μ,σ2)?，F(xiàn)抽取n=25的樣本，得x?=260MPa，s=10MPa。(1)求μ的95%單側(cè)置信下限；(2)檢驗(yàn)σ是否顯著小于12MPa（α=0.05）；(3)若實(shí)際σ=8MPa，求(2)中檢驗(yàn)的功效；(4)畫出σ的似然函數(shù)曲線（示意），并標(biāo)出MLE。答案與解析：(1)用t分布：μ_L=x??t?.??,??·s/√n=260?1.711×10/5=260?3.422=256.578MPa。(2)H?:σ≥12，H?:σ<12，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2=(n?1)s2/σ?2=24×100/144=16.67，臨界值χ2?.??,??=13.848，16.67>13.848，不拒絕H?，無充分證據(jù)表明σ<12。(3)功效=P(χ2<13.848|σ=8)，非中心參數(shù)無，直接計(jì)算：新統(tǒng)計(jì)量分布為(24×64)/144=10.67，功效=P(χ2<13.848|df=24,scale=64/144)=F_χ2(13.848;24)=約0.30（查表或軟件），即功效僅30%，檢驗(yàn)靈敏度低。(4)似然L(σ)∝σ^(?n)exp(?(n?1)s2/(2σ2))，在σ2=s2=100處取最大，MLE=10MPa。曲線在σ=10處峰最高，兩側(cè)快速下降，圖略。4.4（20分）考慮隨機(jī)向量X=(X?,X?)?服從二維正態(tài)，均值μ=(0,0)?，協(xié)方差Σ=[[1,ρ],[ρ,1]]，|ρ|<1。(1)求條件分布X?|X?=x?；(2)證明偏相關(guān)ρ_{12·3}在二維情況下等于ρ；(3)設(shè)ρ=0.8，生成1000組樣本，寫出估計(jì)ρ的兩種方法及R代碼片段；(4)若實(shí)際觀測到樣本相關(guān)系數(shù)r=0.75，求Fisherz變換后的95%置信區(qū)間。答案與解析：(1)多元正態(tài)條件分布公式：X?|X?=x?~N(μ?+Σ??Σ??^(?1)(x??μ?),Σ???Σ??Σ??^(?1)Σ??)，代入得X?|X?=x?~N(ρx?,1?ρ2)。(2)二維情況下無第三個(gè)變量，偏相關(guān)即簡單相關(guān)，故ρ_{12·3}=ρ。(3)方法一：直接樣本相關(guān)系數(shù)cor(x1,x2)；方法二：基于MLE解方程r=ρ（數(shù)值優(yōu)化）。R代碼：```rlibrary(MASS)rho<0.8;Sigma<matrix(c(1,rho,rho,1),2,2)dat<mvrnorm(1000,c(0,0),Sigma)cor(dat)[1,2]#方法1方法2：MLE等價(jià)于樣本cor，故數(shù)值相同```(4)z=0.5·ln((1+r)/(1?r))≈0.973，標(biāo)準(zhǔn)誤=1/√(n?3)=1/√997≈0.0317，95%區(qū)間：z±1.96×0.0317→(0.911,1.035)，反變換：r=(e^(2z)?1)/(e^(2z)+1)，得(0.723,0.776)。4.5（15分）某城市出租車公司想預(yù)測日均訂單量Y（千單），收集連續(xù)30天的數(shù)據(jù)，建立線性模型：Y=β?+β?X?+β?X?+ε，其中X?為平均氣溫(°C)，X?為節(jié)假日dummy（1=節(jié)假日）。輸出如下表：|系數(shù)|估計(jì)|標(biāo)準(zhǔn)誤|t值|Pr(>|t|)||----|----|----|----|----||β?|10.2|1.1|9.27|<0.001||β?|0.40|0.08|5.00|<0.001||β?|3.5|0.9|3.89|<0.001|殘差標(biāo)準(zhǔn)誤=2.1，R2=0.72，F(xiàn)檢驗(yàn)p<0.001。(1)寫出回歸方程，并解釋系數(shù)含義；(2)預(yù)測氣溫30°C且為節(jié)假日時(shí)的訂單量及95%置信區(qū)間；(3)檢驗(yàn)β?是否顯著大于0.25（α=0.05，單側(cè)）；(4)若發(fā)現(xiàn)殘差呈現(xiàn)“周末效應(yīng)”波動(dòng)，提出改進(jìn)模型方案。答案與解析：(1)?=10.2+0.40X?+3.5X?。β?：氣溫每升高1°C，訂單量平均增加0.4千單；β?：節(jié)假日比工作日多3.5千單。(2)點(diǎn)預(yù)測=10.2+0.4×30+3.5=25.7千單。標(biāo)準(zhǔn)誤：se_pred=√[σ?2·(1+n^(?1)+(x?x?)?(X?X)^(?1)(x?x?))]，假設(shè)x??≈20，Var(β?)≈0.082，Cov忽略，近似se_pred≈2.1×√(1+1/30+(30?20)2·0.082/0.42)≈2.1×1.12≈2.35，95%區(qū)間：25.7±1.96×2.35→(21.1,30.3)千單。(3)t=(0.