統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識第2章試題及答案1.（單選）某企業(yè)2023年各月銷售額（萬元）依次為：320，335，318，342，356，371，365，358，347，339，325，314。若采用“首尾折半法”計(jì)算全年月平均銷售額，結(jié)果應(yīng)保留一位小數(shù)，其數(shù)值為A.342.5B.343.7C.344.9D.345.2答案：B解析：首尾折半法公式為x代入數(shù)據(jù)：=注意首尾折半后分子為3573，分母為11，得324.8，但題目問的是“全年月平均”，需把結(jié)果還原到12個(gè)月尺度，即324.8故選B。2.（單選）在抽樣調(diào)查中，若總體大小N=1200，樣本量n=60，采用不重復(fù)簡單隨機(jī)抽樣，樣本均值的方差公式為A.B.·C.·D.答案：B解析：有限總體修正系數(shù)為，故選B。3.（單選）某高校新生體檢，測得男生身高服從N(175,62)。若隨機(jī)抽取一人，其身高超過188cm的概率約為A.1.5%B.2.5%C.3.5%D.4.5%答案：A解析：Z=(188-175)/6=2.17，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得P(Z>2.17)=0.0150，即1.5%。4.（單選）下列關(guān)于眾數(shù)的說法，正確的是A.一組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一B.眾數(shù)一定大于中位數(shù)C.眾數(shù)不受極端值影響D.眾數(shù)必為原始數(shù)據(jù)中的某個(gè)值答案：C解析：眾數(shù)可以多個(gè)，也可不存在；A錯(cuò)。眾數(shù)與中位數(shù)無固定大小關(guān)系；B錯(cuò)。眾數(shù)只與頻次有關(guān)，極端值不改變頻次分布時(shí)不受影響；C正確。分組數(shù)據(jù)眾數(shù)可用插值公式，未必是原始值；D錯(cuò)。5.（單選）若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E(X2)等于A.λB.λ2C.λ+λ2D.λ2?λ答案：C解析：泊松分布Var(X)=λ，E(X)=λ，由Var(X)=E(X2)?[E(X)]2得E(X2)=λ+λ2。6.（單選）對同一總體，若置信水平由95%提高到99%，則置信區(qū)間的寬度將A.變窄B.不變C.變寬D.可能變寬也可能變窄答案：C解析：置信水平↑→臨界值↑→區(qū)間半寬↑→寬度↑。7.（單選）在假設(shè)檢驗(yàn)中，若減小顯著性水平α，則A.第一類錯(cuò)誤概率減小，第二類錯(cuò)誤概率減小B.第一類錯(cuò)誤概率減小，第二類錯(cuò)誤概率增大C.第一類錯(cuò)誤概率增大，第二類錯(cuò)誤概率減小D.兩類錯(cuò)誤概率均增大答案：B解析：α↓→第一類錯(cuò)誤↓，但接受域變寬→第二類錯(cuò)誤↑。8.（單選）對兩組獨(dú)立樣本進(jìn)行t檢驗(yàn)，若兩組樣本量均為10，顯著性水平0.05（雙側(cè)），則臨界t值約為A.2.101B.2.228C.2.086D.2.576答案：A解析：自由度df=10+10?2=18，查t分布表得t?.???,18=2.101。9.（單選）若兩變量X與Y的樣本相關(guān)系數(shù)r=?0.85，則下列說法正確的是A.X與Y存在因果B.每增加1個(gè)單位X，Y一定減少0.85單位C.回歸直線斜率必為負(fù)D.決定系數(shù)為?0.7225答案：C解析：r為負(fù)僅說明線性關(guān)系方向，斜率b=r·(Sy/Sx)符號與r一致；C正確。A無法推出因果；B混淆相關(guān)與回歸系數(shù)；D決定系數(shù)為r2=0.7225，非負(fù)。10.（單選）在單因素方差分析中，若組間均方MSB=240，組內(nèi)均方MSE=60，則F值與結(jié)論為（α=0.05）A.4.0，拒絕原假設(shè)B.0.25，不拒絕C.4.0，不拒絕D.0.25，拒絕答案：A解析：F=MSB/MSE=240/60=4.0，查F表臨界值小于4.0（典型df），故拒絕。11.（單選）某時(shí)間序列預(yù)測模型為=120+0.6A.131B.133C.135D.137答案：B解析：=120+0.6×13512.（單選）若隨機(jī)變量X服從B(n=8,p=0.4)，則P(X=3)等于A.0.124B.0.232C.0.278D.0.356答案：C解析：=5613.（單選）對某批產(chǎn)品進(jìn)行不放回抽檢，每次抽1件，直到出現(xiàn)次品停止。若批次中次品率p=0.05，則期望抽檢件數(shù)E(N)為A.20B.21C.22D.23答案：A解析：幾何分布E(N)=1/p=20。14.（單選）若X~N(0,1)，Y~χ2(10)且獨(dú)立，則T=X/√(Y/10)服從A.t(10)B.t(9)C.N(0,1)D.χ2(10)答案：A解析：t分布定義。15.（單選）在回歸模型Y=β?+β?X+ε中，若ε~N(0,σ2)，則β?的最小二乘估計(jì)b?的抽樣分布為A.N(β?,σ2/Σx2)B.N(β?,σ2/Σ(x?x?)2)C.t(n?2)D.χ2(n?2)答案：B解析：Var(b?)=σ2/Σ(x?x?)2，且b?正態(tài)。16.（單選）若將一組數(shù)據(jù)全部乘以常數(shù)k（k≠0），則其標(biāo)準(zhǔn)差將A.不變B.乘以kC.乘以k2D.增加k答案：B解析：σ_new=|k|σ。17.（單選）對同一數(shù)據(jù)，若分別計(jì)算皮爾遜相關(guān)系數(shù)r與斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)ρ，當(dāng)數(shù)據(jù)嚴(yán)格單調(diào)增非線性時(shí)A.r=ρB.r>ρC.r<ρD.無法確定大小答案：A解析：嚴(yán)格單調(diào)變換不改變秩，ρ只依賴秩，r與ρ相等。18.（單選）在指數(shù)平滑預(yù)測中，平滑系數(shù)α越大，則A.預(yù)測序列越平滑B.對新數(shù)據(jù)反應(yīng)越遲緩C.預(yù)測方差越小D.對新數(shù)據(jù)反應(yīng)越靈敏答案：D解析：α↑→權(quán)重衰減慢→近期權(quán)重高→靈敏。19.（單選）若X~Exp(λ)，則P(X>1/λ)等于A.e?1B.1?e?1C.λe?1D.1?λe?1答案：A解析：P(X>t)=e^(?λt)，代入t=1/λ得e?1。20.（單選）對正態(tài)總體均值進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)，若樣本量n→∞，則t分布趨近于A.χ2B.FC.N(0,1)D.t保持不變答案：C解析：df→∞時(shí)t→N(0,1)。21.（多選）下列哪些統(tǒng)計(jì)量具有“無偏性”A.樣本均值作為總體均值的估計(jì)B.樣本方差s2=Σ(x?x?)2/(n?1)作為總體方差σ2的估計(jì)C.樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計(jì)D.樣本比例p?作為總體比例p的估計(jì)E.樣本極差R作為總體極差估計(jì)答案：ABD解析：s2與x?、p?無偏；s有偏；極差估計(jì)總體極差亦有偏。22.（多選）關(guān)于中心極限定理，以下說法正確的是A.要求總體必須正態(tài)B.樣本均值分布隨n增大趨近正態(tài)C.樣本量足夠大時(shí)，樣本均值分布的均值等于總體均值D.樣本均值分布的方差為σ2/nE.適用于任意分布的總體答案：BCDE解析：A錯(cuò)，總體無需正態(tài)。23.（多選）若兩變量X與Y的協(xié)方差為0，則A.X與Y一定獨(dú)立B.X與Y無線性相關(guān)C.回歸系數(shù)b?必為0D.相關(guān)系數(shù)r必為0E.E(XY)=E(X)E(Y)答案：BCDE解析：協(xié)方差為0僅保證線性無關(guān)，不蘊(yùn)含獨(dú)立，除非聯(lián)合正態(tài)；BCDE均成立。24.（多選）下列哪些方法可用于檢驗(yàn)正態(tài)性A.Q-Q圖B.Shapiro-Wilk檢驗(yàn)C.Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)D.Anderson-Darling檢驗(yàn)E.Levene檢驗(yàn)答案：ABCD解析：Levene檢驗(yàn)用于方差齊性。25.（多選）在多元線性回歸中，若出現(xiàn)多重共線性，則A.回歸系數(shù)估計(jì)方差增大B.t檢驗(yàn)容易失效C.判定系數(shù)R2必然很小D.VIF>10通常認(rèn)為嚴(yán)重E.可通過主成分分析緩解答案：ABDE解析：共線性使系數(shù)不穩(wěn)定，但R2仍可很高；C錯(cuò)。26.（填空）若一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為42，下四分位數(shù)Q?=35，上四分位數(shù)Q?=50，則其四分位距IQR=____。答案：15解析：IQR=Q??Q?=50?35=15。27.（填空）設(shè)X~N(μ,σ2)，若P(X≤μ+0.52σ)=0.70，則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的70%分位數(shù)約為____。（保留兩位小數(shù)）答案：0.52解析：題設(shè)直接給出。28.（填空）對某總體進(jìn)行重復(fù)抽樣，樣本量n=49，樣本均值x?=28.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=3.5，則總體均值的95%置信區(qū)間為[____,____]。（保留一位小數(shù)）答案：[27.5,29.5]解析：σ未知，n大，用z?.???=1.96，SE=3.5/√49=0.5，28.5±1.96×0.5→[27.5,29.5]。29.（填空）若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=2x,0≤x≤1，則E(X)=____。答案：2/3解析：E(X)=∫?1x·2xdx=2∫?1x2dx=2/3。30.（填空）在單因素方差分析中，若組數(shù)為4，每組樣本量為5，則誤差自由度為____。答案：16解析：df_error=N?k=20?4=16。31.（計(jì)算）某市調(diào)查居民月網(wǎng)購支出，隨機(jī)抽取100戶，得樣本均值x?=1850元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=420元。（1）求總體均值μ的99%置信區(qū)間；（2）若希望估計(jì)誤差不超過50元，置信水平95%，求所需最小樣本量。答案與解析：（1）大樣本，z?.???=2.576，SE=420/√100=42，1850±2.576×42→[1741.8,1958.2]元。（2）E=50，z?.???=1.96，n=(z2s2)/E2=(1.962×4202)/502=3.8416×176400/2500≈271，向上取整272戶。32.（計(jì)算）某生產(chǎn)線產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，歷史σ=5g。現(xiàn)抽取16件，測得x?=248g，檢驗(yàn)H?:μ=250vsH?:μ≠250，α=0.05。（1）寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算；（2）給出結(jié)論。答案與解析：（1）Z=(x??μ?)/(σ/√n)=(248?250)/(5/4)=?1.6。（2）雙側(cè)臨界值±1.96，|?1.6|<1.96，故不拒絕H?，無充分證據(jù)表明均值偏離250g。33.（計(jì)算）為比較兩種肥料對作物產(chǎn)量的影響，隨機(jī)分配10塊地，得數(shù)據(jù)（kg/畝）：A肥：82，85，78，86，89，84，87，83，85，86B肥：79，84，82，80，83，81，84，82，85，80假定方差齊且正態(tài)，檢驗(yàn)H?:μA=μBvsH?:μA≠μB，α=0.05。答案與解析：n?=n?=10，x?A=84.5，x?B=81.0，s_A2=7.17，s_B2=3.33，合并方差s_p2=(9×7.17+9×3.33)/18=5.25，s_p=2.29，SE=2.29×√(1/10+1/10)=1.025，t=(84.5?81.0)/1.025=3.41，df=18，臨界值±2.101，3.41>2.101，拒絕H?，A肥顯著增產(chǎn)。34.（計(jì)算）某電商記錄日訂單量Y（百單）與推廣費(fèi)X（萬元）數(shù)據(jù)，得：Σx=120，Σy=180，Σx2=2200，Σy2=4800，Σxy=3100，n=10。（1）求回歸方程；（2）當(dāng)X=15萬元時(shí)，預(yù)測訂單量；（3）求判定系數(shù)R2。答案與解析：x?=12，y?=18，S_xx=2200?10×122=2200?1440=760，S_xy=3100?10×12×18=3100?2160=940，S_yy=4800?10×182=4800?3240=1560，b?=940/760=1.237，b?=18?1.237×12=3.156，回歸方程：?=3.156+1.237X。X=15，?=3.156+1.237×15=21.71（百單）。R2=(S_xy)2/(S_xxS_yy)=9402/(760×1560)=0.883，即88.3%變異被解釋。35.（綜合）某工廠質(zhì)檢部門連續(xù)30天記錄每日缺陷件數(shù)：3，5，2，4，6，1，0，2，5，7，4，3，2，6，5，4，3，1，0，2，4，5，3，6，4，2，3，5，4，2。（1）繪制頻數(shù)分布表（組距2）；（2）計(jì)算均值、方差；（3）以α=0.05檢驗(yàn)缺陷數(shù)是否服從泊松分布。答案與解析：（1）分組：[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8]頻數(shù)：5，11，12，2（2）均值x?=Σx/n=90/30=3.0，方差s2=Σ(x?x?)2/(n?1)=138/29≈4.76。（3）泊松擬合：λ?=3.0，理論概率：P(X=0)=e?3=0.0498，P(X=1)=0.1494，P(X=2)=0.2240，P(X=3)=0.2240，P(X=4)=0.1680，P(X=5)=0.1008，P(X=6)=0.0504，P(X≥7)=0.0386，合并尾段確保期望≥5，得期望頻數(shù)：[0,1]：5.97，[2]：6.72，[3]：6.72，[4]：5.04，[5]：3.02，[6,∞]：2.52，再合并為四組：5.97，6.72，6.72，10.59，χ2=Σ(O?E)2/E=(5?5.97)2/5.97+…≈2.18，df=4?1?1=2，臨界值5.99，2.18<5.99，不拒絕，可認(rèn)為近似泊松。36.（證明）設(shè)X?,…,X_n獨(dú)立同分布，E(X_i)=μ，Var(X_i)=σ2，證明樣本方差S2=Σ(X_i?X?)2/(n?1)是σ2的無偏估計(jì)。答案與解析：E[Σ(X_i?X?)2]=E[ΣX_i2?nX?2]=nE(X?2)?nE(X?2)，E(X?2)=σ2+μ2，E(X?2)=Var(X?)+[E(X?)]2=σ2/n+μ2，代入得n(σ2+μ2)?n(σ2/n+μ2)=nσ2?σ2=(n?1)σ2，故E(S2)=σ2，無偏得證。37.（證明）若X~N(0,1)，Y~N(0,1)且獨(dú)立，證明Z=X/Y服從柯西分布。答案與解析：聯(lián)合密度f(x,y)=1/(2π)e^(?(x2+y2)/2)，令Z=X/Y，W=Y，雅可比|J|=|w|，邊緣密度f_Z(z)=∫_{-∞}^{∞}|w|f(zw,w)dw=∫_{-∞}^{∞}|w|1/(2π)e^(?w2(z2+1)/2)dw=2∫?^{∞}w/(2π)e^(?w2(z2+1)/2)dw=1/π·1/(z2+1)，即柯西密度。38.（應(yīng)用）某城市交通部門欲估計(jì)早高峰時(shí)段公交車平均載客量，已知?dú)v史σ≈18人。若希望估計(jì)誤差不超過3人，置信水平95%，求最小樣本量。若采用分層抽樣，將線路分為快速、普通、支線三層，層內(nèi)方差分別為122、162、222，層權(quán)重0.3、0.5、0.2，求奈曼分配下所需總樣本量及各層樣本量。答案與解析：簡單隨機(jī)：n=(1.96×18/3)2=138.3→139輛。分層奈曼：總方差分解，S_w2=ΣW_hS_h2=0.3×144+0.5×256+0.2×484=43.2+128+96.8=268，n?=(z2S_w2)/E2=1.962×268/9≈114.2，有限總體修正忽略，總n=115，各層：n_h=n·(W_hS_h)/Σ(W_hS_h)，分母=0.3×