專題05概率與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)交匯問題典型例題例題1．（2022·上海市高橋中學(xué)高三階段練習(xí)）奧密克戎BA.5變異毒株的潛伏期又縮短了，但具體到個人，感染后潛伏期的長短還是有個體差異的．潛伏期是指已經(jīng)感染了奧密克戎變異株，但未出現(xiàn)臨床癥狀的和體征的一段時期，奧密克戎潛伏期做核算檢測可能為陰性，建議可以多做幾次核算檢測，有助于明確診斷．某研究機(jī)構(gòu)對某地1000名患者進(jìn)行了調(diào)查和統(tǒng)計，得到如下表：潛伏期：（單位：天）人數(shù)80210310250130155(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均值．(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95％的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)．潛伏期天潛伏期天總計50歲以上（含50）15050歲以下85總計300(3)為了做好防疫工作，各個部門、單位抓緊將各項細(xì)節(jié)落到實處，對“確診”、“疑似”、“無法明確排除”和“確診密接者”等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人．若在排查期間，某小區(qū)有5人被確認(rèn)為“確診患者的密接接觸”，現(xiàn)醫(yī)護(hù)人員要對這5人進(jìn)行逐一“單人單管”核酸檢測，只要出現(xiàn)一例陽性，則該小區(qū)將被劃為“封控區(qū)”．假設(shè)每人被確診的概率為且相互獨立，若當(dāng)時，至少檢測了4人該小區(qū)就被劃為“封控區(qū)”的概率取得最大值，求．附：，其中【答案】(1)(2)沒有的把握認(rèn)為潛伏期與年齡有關(guān)(3)（1）解：根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，計算平均數(shù)為（天）；（2）解：依題意潛伏期不超過天的抽取人，超過天的抽取人，所以可得列聯(lián)表如下：潛伏期天潛伏期天總計50歲以上（含50）955515050歲以下8565150總計180120300根據(jù)列聯(lián)表計算，所以沒有的把握認(rèn)為潛伏期與年齡有關(guān)；（3）解：至少檢測4人該小區(qū)被測定為“封控區(qū)”包含兩種情況：①檢測4次被確定，②檢測5次被確定．則至少檢測了4人該小區(qū)被確定為“封控區(qū)”的概率為．設(shè)，，，當(dāng)時，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時函數(shù)取得極大值即最大值，當(dāng)時，最大，．感悟升華（核心秘籍）1、則至少檢測了4人該小區(qū)被確定為“封控區(qū)”的概率為,設(shè).2、要求的最大值，這是一個高次函數(shù)，可以通過求導(dǎo)求最大值.3、求導(dǎo)4、因式分解5、，當(dāng)時，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時函數(shù)取得極大值即最大值例題2．（2022·廣東·東莞四中高三階段練習(xí)）足球是一項大眾喜愛的運(yùn)動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.(1)為了解喜愛足球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到22列聯(lián)表如下：喜愛足球運(yùn)動不喜愛足球運(yùn)動合計男性6040100女性2080100合計80120200依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)?(2)校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（i）求（直接寫出結(jié)果即可）；（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。敬鸢浮?1)喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)(2)（i）；（ii）證明見解析，甲的概率大（1）假設(shè)：喜愛足球運(yùn)動與性別獨立，即喜愛足球運(yùn)動與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001．（2）（i）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為，故．（ii）第次觸球者是甲的概率記為，則當(dāng)時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則，從而，又，是以為首項，公比為的等比數(shù)列．則，∴，，，故第19次觸球者是甲的概率大感悟升華（核心秘籍）1、第（2）問中設(shè)：第次觸球者是甲的概率記為，則當(dāng)時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，2、如果第觸球者是甲，則第次不可能是甲；如果第第次觸球者不是甲，則第觸球者為甲的概率為；3、這樣第次觸球者是甲的概率記為可以表示為：根據(jù)遞推關(guān)系求證4、化簡：，又，是以為首項，公比為的等比數(shù)列．則題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．平均溫度x/℃21232527293133平均產(chǎn)卵數(shù)y/個7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8(1)根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，（計算結(jié)果精確到0.01）(2)根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達(dá)到28℃以上時紅鈴蟲會造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，假設(shè)該地每年平均溫度達(dá)到28℃以上的概率為p．若當(dāng)時，該地今后5年中恰好有3年需要人工防治的概率最大，求的值．參考數(shù)據(jù)52151771371781.33.6附：回歸方程，，．【答案】(1)適宜作為卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型，關(guān)于的回歸方程為；(2)當(dāng)時，.（1）解：由散點圖可以判斷，適宜作為卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型.對兩邊取自然對數(shù)，得，令，，，則，由數(shù)據(jù)得，，，所以，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，則關(guān)于的回歸方程為；（2）由得，因為，令得，解得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一的極大值為，也是最大值；所以當(dāng)時，.2．（2022·江蘇江蘇·高三階段練習(xí)）今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病例，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多.9月19日，中國疾控中心發(fā)布了我國首例“輸入性猴痘病例”的溯源公告．我國作為為人民健康負(fù)責(zé)任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護(hù)力．據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察21天．在醫(yī)學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大．對該國家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗3060接種天花疫苗2090(1)是否有99%的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率．現(xiàn)從該國所有結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：(3)該國現(xiàn)有一個中風(fēng)險村莊，當(dāng)?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進(jìn)行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員逐一進(jìn)行猴痘病毒檢測．每名成員進(jìn)行檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立．記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當(dāng)為何值時，最大？附：0.10.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)沒有(2)(3)時最大（1）假設(shè)：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無關(guān)，依題意有，故假設(shè)不成立，∴沒有99%的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)（2）由題意得，該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的4人中至多有1人感染病毒為事件A，則，（3）記事件為：檢測了2名成員確定為“感染高危家庭”；事件為：檢測了3名成員確定為“感染高危家庭”；則則令則（舍去）隨著的變化，的變化如下表：0遞增極大值遞減綜上，當(dāng)時，最大．3．（2022·河南·安陽一中高三階段練習(xí)（理））根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有個孩子的概率模型為：1230概率其中.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件表示一個家庭有個孩子，事件表示一個家庭的男孩比女孩多（例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多）.(1)若，求和；(2)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育?醫(yī)療福利的增加等）.①若希望增大，如何調(diào)控的值？②是否存在的值使得，請說明理由.【答案】(1)，；(2)①增加p的取值；②不存在，理由見解析.（1）由題意得：，所以，．由全概率公式，得，又，則；（2）①由，得，記，，則，記，則，故在單調(diào)遞減．∵，∴，∴，在單調(diào)遞減．因此增加p的取值，會減小，增大，即增大．②假設(shè)存在p使，又，將上述兩式相乘，得，化簡得，，設(shè)，則，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的最小值為，∴不存在使得．4．（2022·江蘇省高郵中學(xué)高三開學(xué)考試）今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病例，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多．我國目前為止尚無猴痘病例報告．我國作為為人民健康負(fù)責(zé)任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控提前做出部署．同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護(hù)力．據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察21天．在醫(yī)學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大．對該國家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗3060接種天花疫苗2090(1)是否有99%的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率．現(xiàn)從該國所有結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率：(3)該國現(xiàn)有一個中風(fēng)險村莊，當(dāng)?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進(jìn)行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員逐一進(jìn)行猴痘病毒檢測．每名成員進(jìn)行檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立．記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當(dāng)為何值時，最大?附：0.10.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)沒有99%的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)(2)(3)當(dāng)時，最大（1）假設(shè)：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無關(guān)，依題意有，故假設(shè)不成立，∴沒有99%的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；（2）由題意得，該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的4人中至多有2人感染病毒為事件A，則；（或）；（3），則，令，則（舍去），隨著的變化，的變化如下表：p0↗極大值↘綜上，當(dāng)時，最大．5．（2022·山東濰坊·高三階段練習(xí)）學(xué)?；@球隊30名同學(xué)按照1，2，…，30號站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球首先由1號傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第號同學(xué)得到球后傳給號同學(xué)的概率為，傳給號同學(xué)的概率為，直到傳到第29號（投籃練習(xí)）或第30號（投籃練習(xí)）時，認(rèn)定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號同學(xué)投籃命中的概率為，30號同學(xué)投籃命中的概率為，設(shè)傳球傳到第號的概率為．(1)求的值；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)比較29號和30號投籃命中的概率大小．【答案】(1)(2)證明見解析(3)29號投籃命中概率大于30號投籃命中概率．【詳解】（1）解：依題意，籃球傳到4號有以下三種途徑：1號傳2號傳3號傳4號其概率為；1號傳2號傳4號其概率為；1號傳3號傳4號其概率為，因此．（2）解：依題意籃球傳到第號，再傳給號其概率為；籃球傳到第號，再傳給號其概率為，因此有，可得，且，所以是首先為，公比為的等比數(shù)列．（3）解：，，，，，，由累加法，可得，所以，，所以號投籃命中的概率為號投籃命中的概率為，因為，所以29號投籃命中概率大于30號投籃命中概率．6．（2022·福建·上杭一中高三階段練習(xí)）汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素．我國近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到7下面的統(tǒng)計表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷量萬輛1012172026(1)統(tǒng)計表明銷量與年份代碼有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)心隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)200位購車車主的購車情況作為樣本其中男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有名，購置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統(tǒng)燃油汽車．①若，將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計總體，試用（1）中的線性回歸方程預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設(shè)每位車主只購買一輛汽車，結(jié)果精確到千人）；②設(shè)男性車主中購置新能源汽車的概率為，老吉將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有男性車主中隨機(jī)抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為，求當(dāng)為何值時，最大．附：為回歸方程，，．【答案】(1)，2028年(2)①萬人；②（1）解：由題意得，，，．所以，．所以關(guān)于的線性回歸方程為，令，得，所以最小的整數(shù)為12，，所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．（2）解：①由題意知，該地區(qū)200名購車者中女性有名，故其中購置新能源汽車的女性車主的有名．所購置新能源汽車的車主中，女性車主所占的比例為．所以該地區(qū)購置新能源汽車的車主中女性車主的概率為．預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的銷量為33萬輛，因此預(yù)測該地區(qū)2020年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)為萬人②由題意知，，則當(dāng)時，知所以函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)時，知所以函數(shù)單調(diào)遞減所以當(dāng)取得最大值．此時，解得，所以當(dāng)時取得最大值．7．（2022·云南·昆明一中高三開學(xué)考試）甲?乙兩人參加一個游戲，該游戲設(shè)有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.(1)若，則乙應(yīng)該得多少獎金；(2)記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎金的概率，并判斷當(dāng)時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機(jī)事件為小概率事件）【答案】(1)252（元）(2)事件A是小概率事件，理由見解析.（1）設(shè)游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去X局乙贏得全部獎金，則最后一局必然乙贏.由題知，當(dāng)時，乙以贏，所以，當(dāng)時，乙以贏，所以，當(dāng)時，乙以贏，所以，當(dāng)時，乙以贏，所以，所以乙贏得全部獎金的概率為，所以乙應(yīng)該得多少獎金為（元）.（2）設(shè)游戲繼續(xù)進(jìn)行Y局甲獲得全部獎金，則最后一局必然甲贏.由題知，當(dāng)時，甲以贏，所以，當(dāng)時，甲以贏，所以，甲獲得全部獎金的概率，所以，所以，，，在上單調(diào)遞減，所以，故事件A是小概率事件.8．（2022·遼寧·大連二十四中模擬預(yù)測）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(2)經(jīng)計算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50，根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為的近似值），現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標(biāo)有數(shù)字0?1?2?3?……?20）移動，若遙控車最終停在“勝利大本營”（第19格），則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元；若遙控車最終停在“微笑大本營”（第20格），則沒有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是，遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次：若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到；若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到“勝利大本營”或“微笑大本營”時，游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值（精確到萬元）.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析，參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為萬元.（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值為：；（2）∵，∴.（3）由題可知，遙控車移到第格有兩種可能：①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，∴，∴時，，又∵，∴當(dāng)時，數(shù)列首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，以上各式相加，得，∴時，，∴到達(dá)“勝利大本營”的概率，∴設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，則或0，∴的期望，∴參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為萬元9．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測）2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇．(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大?。敬鸢浮?1)分布列見解析，(2)①證明見解析；②（1）解析1：分布列與期望依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123P期望．（1）解析2：二項分布依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，易知，，．X的分布列為：X0123P期望．（2）解析：遞推求解①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，從而，又，∴是以為首項．公比為的等比數(shù)列．②由①可知，，，故．10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型．為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了患該疾病的病人進(jìn)行調(diào)查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人數(shù)占男性性別病人的，女性患Ⅰ型病的人數(shù)占女性性別病人的．(1)若在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，求男性患者至少有多少人？(2)某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團(tuán)隊來研發(fā)此疾病的治療藥物．兩個團(tuán)隊各至多安排2個接種周期進(jìn)行試驗．甲團(tuán)隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次花費元，每人每次接種每個周期至多接種3次，第一個周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體則終止本接種周期進(jìn)入第二個接種周期，否則需依次接種至第一周期結(jié)束，再進(jìn)入第二周期：第二接種周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體則終止試驗，否則需依次接種至至試驗結(jié)束；乙團(tuán)隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次花費元，每個周期接種3次，每個周期必須完成3次接種，若一個周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗，否則進(jìn)入第二個接種周期，假設(shè)兩個研發(fā)團(tuán)隊每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨立．當(dāng)，時，從兩個團(tuán)隊試驗的平均花費考慮，公司應(yīng)選擇哪個團(tuán)隊？(3)乙團(tuán)隊為獎勵參與研發(fā)的工作人員，特地給參與本次研發(fā)的工作人員每人發(fā)放價值1000元的購物卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎”的活動．規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…第30格共31個方格．棋子開始在第0格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中）．若擲出正面，將棋子向前移動一格（從k到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從k到）．重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第29格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈送1000元購物卡；若這枚棋子最終停在第30格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束．設(shè)棋子移到第n格的概率為，若某員工參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較一名員工闖關(guān)成功和失敗的概率，并說明理由．附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)18人(2)該公司選擇乙團(tuán)隊進(jìn)行藥品研發(fā)(3)該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率，理由見解析（1）設(shè)男性患者有a人，則女性患者有人，列聯(lián)表如下：Ⅰ型病Ⅱ型病合計男a女合計要使在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，則，解得．∵，，∴a的最小整數(shù)值為18，因此．男性患者至少有18人（2）設(shè)甲研發(fā)團(tuán)隊試驗總花費為元，則的可能取值為、、，∵，，，∴，函數(shù)在遞減，∴，設(shè)乙研發(fā)團(tuán)隊試驗總花費為Y元，則Y的可能取值為、，∴，，∴，設(shè)，，函數(shù)在遞減，，∴恒成立，所以，該公司選擇乙團(tuán)隊進(jìn)行藥品研發(fā)（3）棋子開始在第0格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為，．棋子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：棋子先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；棋子先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，所以，即，且，所以當(dāng)時，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列．則，，，…，，以上各式相加，得，所以．所以闖關(guān)成功（即這枚棋子最終停在第29格）的概率為，闖關(guān)失?。催@枚棋子最終停在第30格）的概率為．所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率．11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第站、第站、第站、、第站，共站，設(shè)棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數(shù)點，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第站（獲勝）或第站（失?。r，游戲結(jié)束（骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標(biāo)有點數(shù)、、、、、）．(1)求、、，并根據(jù)棋子跳到第站的情況，試用和表示；(2)求證：為等比數(shù)列；(3)求玩該游戲獲勝的概率．【答案】(1)，，，且.(2)證明見解析(3)(1)解：棋子開始在第站是必然事件，所以，棋子跳到第站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為，所以；棋子跳到第站，包括兩種情形，①第一次擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率為；②前兩次擲骰子都出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為，所以；棋子跳到第站，包括兩種情形，①棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率為；②棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為，故，棋子跳到站只有一種情況，棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率為，所以，.(2)證明：由（1）可得且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為.(3)解：由（2）可知，所以，.所以，玩該游戲獲勝的概率為.【點睛】方法點睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法：（1）當(dāng)出現(xiàn)時，構(gòu)造等差數(shù)列；（2）當(dāng)出現(xiàn)時，構(gòu)造等比數(shù)列；（3）當(dāng)出現(xiàn)時，用累加法求解；（4）當(dāng)出現(xiàn)時，用累乘法求解.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國某芯片企業(yè)使用新技術(shù)對一款芯片進(jìn)行試產(chǎn)，設(shè)試產(chǎn)該款芯片的次品率為p（0＜p＜1），且各個芯片的生產(chǎn)互不影響．(1)試產(chǎn)該款芯片共有兩道工序，且互不影響，其次品率依次為，．①求p；②現(xiàn)對該款試產(chǎn)的芯片進(jìn)行自動智能檢測，自動智能檢測為次品（注：合格品不會被誤檢成次品）的芯片會被自動淘汰，然后再進(jìn)行人工抽檢已知自動智能檢測顯示該款芯片的合格率為96%，求人工抽檢時，抽檢的一個芯片是合格品的概率．(2)視p為概率，記從試產(chǎn)的芯片中隨機(jī)抽取n個恰含m（n＞m）個次品的概率為，求證：在時取得最大值．【答案】(1)①，②(2)證明見解析（1）①因為兩道生產(chǎn)工序互不影響，法一：所以．法二：所以．答：該款芯片的次品率為；②記該款芯片自動智能檢測合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，且．則人工抽檢時，抽檢的一個芯片恰是合格品的概率：．答：人工抽檢時，抽檢的一個芯片恰是合格品的概率為；（2）因為各個芯片的生產(chǎn)互不影響，所以，所．令，得，所以當(dāng)時，為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，為單調(diào)減函數(shù)，所以，當(dāng)時，取得最大值．13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））地球上兩個生物種群之間通常會存在三種關(guān)系：相互競爭、相互依存、弱肉強(qiáng)食.已知某兩個生物種群A、B在地球上會以約500年為一個周期，從一個關(guān)系逐漸過渡到另一種關(guān)系，設(shè)、、分別表示相互競爭、相互依存、弱肉強(qiáng)食關(guān)系，研究發(fā)現(xiàn)，該生物種群A、B的過渡概率如圖所示，比如生物種群A、B從關(guān)系經(jīng)過一個周期逐漸過渡到關(guān)系的概率為，經(jīng)去