第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年湖南省長沙市高二（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.鄭國渠是秦王嬴政命鄭國修建的著名水利工程，先人用智慧和勤勞修筑了一道道堅(jiān)固的堤壩.如圖是一道堤壩的示意圖，堤壩斜面與底面的交線記為l，點(diǎn)A，B分別在堤壩斜面與地面上，過點(diǎn)A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為C，D，若AC=CD=BD=3，二面角A?l?B的大小為120°，則AB=(

)A.3 B.3C.3D.62.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,?4,2)且a⊥b，bA.22 B.3 C.103.過點(diǎn)P(?1,?2)的直線l可表示為m(x+1)+n(y+2)=0，若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條4.設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my+1=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx?y?m?2=0交于點(diǎn)P，則下列說法正確的是(

)A.點(diǎn)P的軌跡是一條線段 B.|PA|+|PB|的最大值為2

C.|PA||PB|的最大值為4 D.點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為25.已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線與雙曲線E的右支交于A，BA.378 B.?376.已知無窮數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(?1)n?14n(2n?1)(2n+1)，其前n項(xiàng)和為TnA.(?∞,1) B.{1} C.(45,7.在數(shù)列{an}中，若an=A.32023?22023 B.3×220238.已知直線l為曲線f(x)=ex?1與g(x)=lnx+1的公共切線，則直線l的方程可以為A.y=x?1 B.y=x+1 C.y=ex?1 D.y=ex+1二、多選題：本題共2小題，共12分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知方程C：x2m?1+y23?mA.若方程C表示橢圓，則1<m<3

B.若m=4，則方程C表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

C.存在m=73，方程C表示的曲線的離心率為22

D.“10.已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(?1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M(x,y)，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之和是2，則下列說法正確的有(

)A.點(diǎn)M的軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱 B.點(diǎn)M的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.若x>0且x≠1，則y<x恒成立 D.若x>0且x≠1，則y>lnx恒成立三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。11.已知向量a=(9,9,6),b=(1,1,0)，則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為

．12.如圖，“愛心”圖案是由函數(shù)f(x)=?x2+k的圖象的一部分及其關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形組成.若該圖案經(jīng)過點(diǎn)(?6,0)，點(diǎn)M是該圖案上一動(dòng)點(diǎn)，N是其圖象上點(diǎn)M關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)，連接13.已知無窮數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1>1，對(duì)任意正整數(shù)m，n，滿足am+n=aman，記Gn四、解答題：本題共5小題，共83分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題15分)

若數(shù)列A：a1，a2，…，an(n≥3)中ai∈N?(1≤i≤n)且對(duì)任意的2≤k≤n?1，ak+1+ak?1>2ak恒成立，則稱數(shù)列A為“U?數(shù)列”．

(1)若數(shù)列1，x，y，7為“U?數(shù)列”，寫出所有可能的x，y；

(2)若“U?數(shù)列”A：a1，a2，…，an中，a1=1，an=2081，求n的最大值；

(3)設(shè)n0為給定的偶數(shù)，對(duì)所有可能的“U?數(shù)列”A：a115.(本小題17分)

四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，PA=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點(diǎn)．

(1)若過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的平面交PC于點(diǎn)G，求PGGC的值；

(2)在棱PC上取一點(diǎn)H，使得PD⊥平面AHF，求面AFH與面EFH夾角的余弦值．16.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,0)，B(3,0)，|PB|=2|PA|

(1)求點(diǎn)P所在的曲線C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線2x?y?4=0上，若過點(diǎn)Q存在直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn)，使得M為線段QN的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍．17.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}為無窮數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn．

(1)若a1=1，Sn=an+1，求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在等差數(shù)列{an18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(x?1)lnx+(a?1)(x2?2x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

(1)求a的取值范圍；

(2)記x1，x2為f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：參考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.D

6.B

7.C

8.C

9.ABC

10.BC

11.(9,9,0)

12.2513.[2,+∞)

14.解：(1)依題意，因?yàn)閿?shù)列1，x，y，7為“U?數(shù)列”，

則1+y>2xx+7>2y，注意到x，y∈N?，

故所有可能的x，y為x=1y=2或x=1y=3或x=2y=4；

(2)n的最大值為66，理由如下：

因?yàn)閍k+1+ak?1>2ak?ak+1?ak>ak?ak?1，對(duì)任意的1≤i≤n?1，

令bi=ai+1?ai，則bi∈Z且bk>bk?1(2≤k≤n?1)，

故bk≥bk?1+1對(duì)任意的2≤k≤n?1恒成立，

當(dāng)a1=1，an=2081時(shí)，注意到b1=a2?a1≥1?1=0，

得bi=(bi?bi?1)+(bi?1?bi?2)+?+(b2?b1)+b1≥i?1(2≤i≤n?1)，

此時(shí)an?a1=b1+b2+?+bn?1≥0+1+2+?+n?2=12(n?1)(n?2)，

即12(n?1)(n?2)≤2081?1，解得：?63≤n≤66，故n=66；

另一方面，取b15.解：(1)由G∈直線PC，設(shè)AG=λAP+(1?λ)AC=λAP+(1?λ)AB+(1?λ)AD，

又G∈面AEF，

點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點(diǎn)，

設(shè)AG=xAE+yAF=xAB+x2AD+y2AD+y2AP=xAB+(x2+y2)AD+y2AP，

得λ=y21?λ=x2+y21?λ=x，解得λ=13，

所以PGGC=2；

(2)以A為原點(diǎn)，AB為x軸，垂直于直線AB所在的直線為y軸，AP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

H在PC上，設(shè)PH=tPC(0≤t≤1)，

由題設(shè)A(0,0,0)，D(1,3,0)，P(0,0,2)，E(52,32,0)，F(xiàn)(12,32,1)，AH=(3t,3t,2?2t)，

可得DP=(?1,?3,2)，

16.解：(1)設(shè)P(x,y)，由題知|PB|=2|PA|，A(0,0)，B(3,0)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得|PB|=(x?3)2+(y?0)2=2|PA|=2(x?0)2+(y?0)2，整理得(x?3)2+y2=2x2+y2，

等式兩邊同時(shí)平方可得(x?3)2+y2=4(x2+y2)，

即得點(diǎn)P所在的曲線C的方程為(x+1)2+y2=4．

(2)點(diǎn)Q在直線2x?y?4=0上，可設(shè)Q(t,2t?4)，

若過點(diǎn)Q存在直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn)，使得M為線段QN的中點(diǎn)，設(shè)M(x0,y0)，

可得N(2x0?t,2y0?(2t?4))，∵M(jìn)，N17.解：(1)若a1=1，Sn=an+1，可得S1=a1=a2=1，

當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=an+1，可得Sn?1=an，相減可得an=an+1?an，

即an+1=2an，即數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起是公比為2的等比數(shù)列，

則an=1,n=12n?2,n≥2；

(2)不存在等差數(shù)列{an}，使Sn<an+1．

理由：假設(shè)存在等差數(shù)列{an}，使Sn<an+1，

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，可得na1+12n(n?1)d<a1+nd，

化為12dn2+(a1?32d)n?a1<0，n∈N?，

設(shè)f(n)=12dn2+(a1?32d)n?a1，

若d>0，即d2>0，二次函數(shù)開口向上，當(dāng)n→+∞，f(n)→+∞，無法滿足f(n)<0恒成立；

若d=0，f(n)=na1?a1，由f(1)=0，f(2)=a1，也不滿足f(n)<0恒成立；

若d<0，即d2<0，二次函數(shù)開口向下，當(dāng)n→+∞，f(n)→?∞，

f(1)=d2+(a1?32d)?a1=?d>0，也不滿足f(n)<0恒成立；

綜上，可得不存在等差數(shù)列{an}，使Sn<an+1．

(3)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q(q≠1)，且滿足18.解：(1)由題意得f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

由已知得f′(x)=lnx+1?1x+2(a?1)(x?1)，f′(1)=0，

設(shè)g(x)=f′(x)=lnx+1?1x+2(a?1)(x?1)，

可得g′(x)=1x+1x2+2(a?1)，

由反比例函數(shù)性質(zhì)得y=1x在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

由冪函數(shù)性質(zhì)得y=1x2在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

則g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

當(dāng)a>1時(shí)，g′(x)>0，f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

由于f′(1)=0，故x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(1)=1?a<0，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，y=xlnx+1e，y′=lnx+1，

當(dāng)x∈(0,e?1)時(shí)，y′<0，當(dāng)x∈(e?1,1)時(shí)，y′>0，

所以函數(shù)y=xlnx+1e在區(qū)間(0,e?1)上單調(diào)遞減，再區(qū)間(e?1,1)上單調(diào)遞增，

所以x=e?1時(shí)，函數(shù)y=xlnx+1e有最小值，即y=xlnx+1e≥e?1lne?1+1e=0，

因?yàn)閥=x2?2x+1在區(qū)間(0,1)上恒為正，而a?1>0，

所以(x?1)lnx+(a?1)(x2?2x)+(lnx+a?1+1e)

=xlnx+(a?1)(x2?2x+1)+1e>0，

即f(x)=(x?1)lnx+(a?1)(x2?2x)>?lnx?(a?1)?1e，

取x0=e1?a?1e∈(0,1)，則f(x0)>0，存在x1∈(x0,1)，使f(x1)=0，

可得f(2)=ln2>0，存在x2∈(1,2)，使f(x2)=0，符合題意；

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=(x?1)lnx有且只有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)a=0時(shí)，g′(x)=(1x+2)(1x?1)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)>0，f′(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)<0，f′(x)單調(diào)遞減，f′(x)≤f′(1)=0，

此時(shí)f(x)單調(diào)遞減，不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)；