小學(xué)奧數(shù)周長(zhǎng)專項(xiàng)練習(xí)題解析在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)旅程中，周長(zhǎng)的概念與計(jì)算是幾何入門(mén)的重要基石。而在奧數(shù)的范疇里，周長(zhǎng)問(wèn)題則更具趣味性與挑戰(zhàn)性，它不僅要求孩子們熟練掌握基本公式，更需要靈活運(yùn)用各種解題技巧，甚至具備一定的空間想象能力。本次專項(xiàng)練習(xí)，我們將一同探索幾道典型的周長(zhǎng)題目，希望能幫助同學(xué)們拓寬思路，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。一、基礎(chǔ)知識(shí)回顧在深入奧數(shù)題目前，我們先來(lái)簡(jiǎn)單回顧一下周長(zhǎng)的基本概念與核心公式：*周長(zhǎng)的定義：封閉圖形一周的長(zhǎng)度，就是它的周長(zhǎng)。*核心公式：*長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)×2*正方形周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4*圓形周長(zhǎng)=π×直徑(或2×π×半徑)——此為拓展知識(shí)，小學(xué)奧數(shù)中較少涉及復(fù)雜圓周長(zhǎng)計(jì)算，但需了解概念。對(duì)于規(guī)則圖形，直接套用公式即可。但奧數(shù)題目往往不會(huì)如此“straightforward”，它常常會(huì)通過(guò)圖形的組合、變形或隱藏部分條件來(lái)考察我們的觀察力與思維能力。二、典型例題解析例題一：巧用平移，化繁為簡(jiǎn)題目：一個(gè)不規(guī)則的多邊形，如下圖所示（此處請(qǐng)自行腦補(bǔ)一個(gè)由多個(gè)小正方形或長(zhǎng)方形組成的“臺(tái)階”狀圖形，或類似“凹”、“凸”字形的簡(jiǎn)單組合圖形），請(qǐng)計(jì)算它的周長(zhǎng)。（假設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1厘米）思路分析：初見(jiàn)這類不規(guī)則圖形，孩子們可能會(huì)覺(jué)得無(wú)從下手，線段繁多，似乎難以一一丈量。這時(shí)，我們常用的一種技巧就是“平移法”。仔細(xì)觀察圖形，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，很多看似“突出”或“凹陷”的部分，其水平方向和垂直方向的線段，通過(guò)平移，可以“補(bǔ)齊”成一個(gè)我們熟悉的長(zhǎng)方形或正方形。解答過(guò)程：我們嘗試將圖形中那些橫向的短線段向上或向下平移，縱向的短線段向左或向右平移。（此處可配合簡(jiǎn)單文字描述如何平移，例如：“將圖形頂部的小臺(tái)階向右平移，與右側(cè)對(duì)齊；將右側(cè)的凹陷部分向上平移，與頂部對(duì)齊”）。經(jīng)過(guò)這樣的平移操作后，我們驚喜地發(fā)現(xiàn)，這個(gè)不規(guī)則圖形竟然可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)為[具體數(shù)字]厘米，寬為[具體數(shù)字]厘米的長(zhǎng)方形。（此處數(shù)字需根據(jù)假設(shè)的圖形而定，例如一個(gè)3x2的臺(tái)階形，平移后可能是長(zhǎng)3寬2的長(zhǎng)方形，但實(shí)際周長(zhǎng)計(jì)算時(shí)要注意是否有額外的邊）哦，對(duì)了，在平移過(guò)程中，我們要特別注意，是否所有的邊都被包含進(jìn)了新的長(zhǎng)方形中，有沒(méi)有遺漏某些短小的邊。如果是標(biāo)準(zhǔn)的“臺(tái)階”或“凹凸”模型，通常平移后正好構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方形，其周長(zhǎng)就等于這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。所以，該圖形的周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)×2=([具體數(shù)字]+[具體數(shù)字])×2=[計(jì)算結(jié)果]厘米。點(diǎn)睛之筆：平移法的核心在于“變不規(guī)則為規(guī)則”，“化曲為直”（此處“曲”指曲折），它能極大地簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，是解決不規(guī)則圖形周長(zhǎng)問(wèn)題的“利器”。例題二：組合圖形的周長(zhǎng)陷阱題目：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米，寬是5厘米。如果在這個(gè)長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)邊中間，剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的小正方形（小正方形的一條邊與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊重合，且居中），求剩下圖形的周長(zhǎng)。思路分析：這道題很容易讓人“想當(dāng)然”。有些同學(xué)可能會(huì)認(rèn)為，剪掉一個(gè)小正方形，周長(zhǎng)就等于原長(zhǎng)方形周長(zhǎng)減去小正方形兩條邊的長(zhǎng)度（因?yàn)橛袃蓷l邊重合了）。但事實(shí)果真如此嗎？我們不妨畫(huà)個(gè)圖來(lái)仔細(xì)看看。原長(zhǎng)方形剪掉一個(gè)小正方形后，圖形確實(shí)變得不規(guī)則了。我們可以嘗試用“平移法”來(lái)分析，或者更直接一點(diǎn)，把剩下圖形的每一條邊都找出來(lái)，算一算總長(zhǎng)度。解答過(guò)程：原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為(8+5)×2=26厘米。當(dāng)我們從長(zhǎng)邊中間剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的小正方形時(shí)，原來(lái)長(zhǎng)方形的那條長(zhǎng)邊被分成了三段：(8-2)÷2=3厘米，即左右各3厘米，中間被剪掉了2厘米。此時(shí)，剩下圖形的周長(zhǎng)，除了原長(zhǎng)方形大部分的邊之外，還多出了小正方形的另外兩條邊（因?yàn)榧舻粜≌叫魏?，原本?nèi)部的兩條邊露了出來(lái)）。我們來(lái)具體數(shù)一數(shù)：上下兩條長(zhǎng)邊：上面的長(zhǎng)邊變成了3+3=6厘米，但同時(shí)，小正方形頂部還有一條2厘米的邊。下面的長(zhǎng)邊依然是完整的8厘米。左右兩條寬邊：依然是完整的5厘米。另外，小正方形還有兩條豎直的邊，各2厘米。所以總周長(zhǎng)=上面的6厘米+小正方形頂部2厘米+下面的8厘米+左右兩條寬邊5厘米×2+小正方形內(nèi)部?jī)蓷l豎邊2厘米×2。我們來(lái)計(jì)算一下：6+2+8+10+4=30厘米?；蛘撸覀円部梢赃@樣思考：原周長(zhǎng)26厘米，剪掉小正方形后，減少了小正方形的一條邊（2厘米，因?yàn)榕c長(zhǎng)方形重合的那條邊不再是周長(zhǎng)的一部分），但同時(shí)又增加了小正方形的三條邊（2厘米×3）。所以新周長(zhǎng)=26-2+2×3=26-2+6=30厘米。（這種思路更快捷）點(diǎn)睛之筆：遇到“剪切”或“拼接”類的周長(zhǎng)問(wèn)題，一定要仔細(xì)分析圖形的變化，不能簡(jiǎn)單地加減。有時(shí)候，剪掉一個(gè)部分，周長(zhǎng)反而會(huì)增加，這就是所謂的“周長(zhǎng)陷阱”。畫(huà)圖和細(xì)致觀察是避免掉坑的關(guān)鍵。例題三：利用“弦圖”或“對(duì)稱”巧求周長(zhǎng)題目：（此類題目稍難，可選用“弦圖”背景或具有對(duì)稱性的圖形）例如：一個(gè)大正方形內(nèi)有一個(gè)小正方形，四個(gè)角用斜邊相連，形成四個(gè)全等的直角三角形。已知直角三角形的兩條直角邊分別是a厘米和b厘米，求大正方形的周長(zhǎng)。思路分析：這類題目如果直接去求大正方形的邊長(zhǎng)可能會(huì)有些困難，但如果我們能發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏的對(duì)稱關(guān)系，或者理解“弦圖”的構(gòu)造原理，就能迎刃而解。我們可以觀察到大正方形的邊長(zhǎng)與直角三角形的兩條直角邊之間存在某種聯(lián)系。解答過(guò)程：通過(guò)觀察圖形的對(duì)稱性，我們可以發(fā)現(xiàn)，大正方形的邊長(zhǎng)其實(shí)等于直角三角形的兩條直角邊之和（a+b）。（或者，如果小正方形在中間，大正方形邊長(zhǎng)也可能是a-b，具體要看圖形構(gòu)造和已知條件）。因此，大正方形的周長(zhǎng)=4×(a+b)=[計(jì)算結(jié)果]厘米。點(diǎn)睛之筆：對(duì)于具有對(duì)稱性的圖形，或者經(jīng)典的幾何模型（如弦圖、燕尾模型等），熟悉其特性往往能快速找到解題的突破口。平時(shí)多積累一些經(jīng)典模型的知識(shí)，對(duì)提升解題速度大有裨益。例題四：跑道問(wèn)題與周長(zhǎng)題目：學(xué)校操場(chǎng)有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的400米跑道（此處可簡(jiǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方形兩邊各接一個(gè)半圓的組合圖形，即“操場(chǎng)跑道”模型），其中直道部分長(zhǎng)80米，求跑道的寬度（即兩個(gè)半圓的半徑之差，或內(nèi)圈與外圈半徑之差，假設(shè)只跑一圈，相鄰跑道起跑線相差的距離）。思路分析：這道題將周長(zhǎng)問(wèn)題與生活實(shí)際相結(jié)合。跑道通常由兩個(gè)直道和兩個(gè)半圓形彎道組成。400米指的是內(nèi)圈跑道的周長(zhǎng)。如果題目問(wèn)的是跑道寬度，通常會(huì)涉及到內(nèi)外圈周長(zhǎng)差的問(wèn)題。解答過(guò)程：我們知道，跑道的周長(zhǎng)=兩個(gè)直道的長(zhǎng)度+兩個(gè)半圓形彎道的長(zhǎng)度之和。兩個(gè)半圓形彎道合起來(lái)就是一個(gè)整圓的周長(zhǎng)。設(shè)內(nèi)圈半圓的半徑為r，則內(nèi)圈周長(zhǎng)=2×80米+2×π×r=160米+2πr。題目告知內(nèi)圈周長(zhǎng)為400米，所以160+2πr=400，可解得2πr=240米（這是內(nèi)圈兩個(gè)彎道的總長(zhǎng)度）。如果跑道寬度為d，那么外圈半圓的半徑就是r+d。外圈周長(zhǎng)=2×80米+2×π×(r+d)=160米+2πr+2πd。內(nèi)外圈周長(zhǎng)差=外圈周長(zhǎng)-內(nèi)圈周長(zhǎng)=(160+2πr+2πd)-(160+2πr)=2πd。所以，如果題目給出相鄰跑道起跑線相差的距離（即這個(gè)周長(zhǎng)差），我們就可以求出d=周長(zhǎng)差/(2π)。（如果題目只是求內(nèi)圈半徑，也可由2πr=240解得r=240/(2π)=120/π≈[數(shù)值]米）點(diǎn)睛之筆：解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵在于理解組合圖形的構(gòu)成，將復(fù)雜的跑道分解為熟悉的直道和圓形彎道，再分別計(jì)算。三、方法總結(jié)與技巧點(diǎn)撥通過(guò)以上幾道例題的分析，我們可以總結(jié)出解決奧數(shù)中周長(zhǎng)問(wèn)題的一些常用方法和注意事項(xiàng)：1.夯實(shí)基礎(chǔ)，牢記公式：長(zhǎng)方形、正方形等基本圖形的周長(zhǎng)公式是解決一切周長(zhǎng)問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。2.仔細(xì)審題，觀察圖形：拿到題目后，不要急于動(dòng)筆，先仔細(xì)觀察圖形的特點(diǎn)，是規(guī)則圖形、不規(guī)則圖形還是組合圖形？有沒(méi)有特殊的標(biāo)記或隱藏條件？3.善用“平移”與“轉(zhuǎn)化”：這是對(duì)付不規(guī)則圖形周長(zhǎng)的“法寶”。通過(guò)平移線段，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（如長(zhǎng)方形、正方形），再利用公式計(jì)算。轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思想。4.警惕“陷阱”，考慮周全：對(duì)于有剪切、拼接、重疊等情況的題目，要仔細(xì)分析周長(zhǎng)的變化，不要漏算或多算邊長(zhǎng)?？梢酝ㄟ^(guò)畫(huà)圖、標(biāo)注邊長(zhǎng)等方式輔助思考。5.結(jié)合生活，理解模型：像跑道問(wèn)題、鏡框問(wèn)題等，都是周長(zhǎng)在生活中的應(yīng)用。將數(shù)學(xué)問(wèn)題與生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，能讓抽象的問(wèn)題變得更具體。6.多做練習(xí)，歸納總結(jié)：奧數(shù)的解題能力是在不斷練習(xí)中提升的。做完題目后，要及時(shí)總結(jié)反思，看看用了什么方法，有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的思路，同類題目有什么共性。四、鞏固練習(xí)題1.基礎(chǔ)鞏固：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是7厘米，它的周長(zhǎng)是多少？如果把這個(gè)正方形分成兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？2.圖形轉(zhuǎn)化：計(jì)算一個(gè)“凸”字形圖形的周長(zhǎng)（可自行畫(huà)出或參考課本習(xí)題，給出各邊長(zhǎng)度）。3.挑戰(zhàn)提升：一個(gè)長(zhǎng)10厘米，寬6厘米的長(zhǎng)方形紙片，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形，求剩下圖形的周長(zhǎng)。4.生活應(yīng)用：一個(gè)長(zhǎng)方形花壇，長(zhǎng)15米，寬10米，要在花壇四周圍上柵欄，柵欄至少需要多少米？如果花壇一面靠墻，柵欄至少需要多少米？（練習(xí)題答案及簡(jiǎn)要提示可附在文末，供同學(xué)們自查）五、結(jié)語(yǔ)周長(zhǎng)問(wèn)題，看似簡(jiǎn)單，實(shí)則變化萬(wàn)千。它不僅考察孩子們的計(jì)算能力，更考驗(yàn)他們的空間想象能力、邏輯思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。希望通過(guò)本次專項(xiàng)解析，同學(xué)們能夠?qū)χ荛L(zhǎng)問(wèn)題有更深刻的理解，掌握更多解題技巧。記住，數(shù)學(xué)的世界充滿樂(lè)趣，每解決一道難題，都是一次思維的飛躍。勤思考，多動(dòng)手