幾何平行線性質(zhì)習(xí)題及解析在平面幾何的學(xué)習(xí)中，平行線的性質(zhì)占據(jù)著舉足輕重的地位。它不僅是我們理解圖形位置關(guān)系的基礎(chǔ)，也是后續(xù)解決復(fù)雜幾何問題的重要工具。掌握平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于深刻理解并能靈活運(yùn)用“同位角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等”以及“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”這三大核心結(jié)論。下面，我們通過幾道典型習(xí)題來鞏固這些知識(shí)，并一同探索解題的思路與方法。一、基礎(chǔ)應(yīng)用篇例題1：如圖，已知直線AB與CD平行，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)G、H。若∠AGH=50°，求∠GHD的度數(shù)。解析：拿到題目，首先我們要明確已知條件：AB∥CD，EF是截線，∠AGH=50°。要求的是∠GHD的度數(shù)。我們觀察圖形，∠AGH和∠GHD是直線AB、CD被EF所截形成的角。因?yàn)锳B∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，我們需要判斷這兩個(gè)角屬于哪一類角?！螦GH位于AB的上方，EF的左側(cè)；∠GHD位于CD的上方，EF的右側(cè)。它們的位置關(guān)系是“交錯(cuò)”的，分別在兩條被截直線的內(nèi)側(cè)，且在截線的兩旁。由此可以判斷，∠AGH與∠GHD是一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角。根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。所以，∠GHD=∠AGH=50°。因此，∠GHD的度數(shù)為50°。例題2：如圖，直線a∥b，直線c與a、b分別交于點(diǎn)M、N。若∠1=120°，求∠2的度數(shù)，并說明理由。解析：題目給出a∥b，c為截線，∠1=120°，求∠2。首先，我們需要在圖中準(zhǔn)確找到∠1和∠2的位置。通常，∠1和∠2這類標(biāo)記會(huì)在圖中明確標(biāo)出，假設(shè)∠1是∠AMN（具體依圖而定，此處以常見情況為例，即∠1與∠2是同旁內(nèi)角或同位角）。為了更清晰，我們可以假設(shè)∠1是直線a上方，截線c左側(cè)的角，那么∠2如果是直線b上方，截線c右側(cè)的角，且與∠1在截線的同旁，在被截線的同側(cè)，那么∠1和∠2可能是同位角嗎？或者，如果∠2與∠1是直線a、b被c所截形成的同旁內(nèi)角呢？不，我們?cè)僮屑?xì)分析。若∠1是∠AMN，那么它的鄰補(bǔ)角∠NMB就等于180°-∠1=180°-120°=60°。因?yàn)閍∥b，∠NMB與∠2是直線a、b被c所截形成的同位角（均在直線上方，截線右側(cè)）。根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，所以∠2=∠NMB=60°?；蛘?，如果∠2與∠1是同旁內(nèi)角，那么∠1+∠2=180°，則∠2=60°，這也是可能的。具體取決于∠2的位置。但無論如何，核心是準(zhǔn)確判斷角的類型。最直接的，如果∠1和∠2是同旁內(nèi)角，那么根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，∠1+∠2=180°，所以∠2=180°-∠1=180°-120°=60°。因此，∠2的度數(shù)為60°。關(guān)鍵在于根據(jù)圖形準(zhǔn)確識(shí)別角的關(guān)系，再應(yīng)用相應(yīng)的平行線性質(zhì)。二、綜合提升篇例題3：如圖，已知AB∥CD∥EF，直線CG交AB于點(diǎn)H，若∠AHC=80°，∠HCF=30°，求∠CHE的度數(shù)。解析：這道題稍微復(fù)雜一些，涉及到三條平行線AB∥CD∥EF，以及一條截線CG，它與AB交于H，與CD、EF也分別相交（交點(diǎn)分別為C和E，依題意）。已知∠AHC=80°，∠HCF=30°，求∠CHE。我們可以分步來解決這個(gè)問題。首先，觀察AB∥CD，CG是它們的截線。∠AHC和∠HCD是AB、CD被CG所截形成的內(nèi)錯(cuò)角（因?yàn)锳B∥CD，∠AHC在AB上方，CG左側(cè)；∠HCD在CD下方，CG右側(cè)——或者更準(zhǔn)確地說，是在兩被截線內(nèi)側(cè)，截線兩旁）。根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，所以∠HCD=∠AHC=80°。接下來，我們看∠HCF=30°。點(diǎn)F在EF上，C在CD上，所以∠HCF是∠HCD的一部分還是互補(bǔ)的關(guān)系呢？這需要看圖形的具體標(biāo)注。通常情況下，若CD∥EF，點(diǎn)C在CD上，F(xiàn)在EF上，H在AB上，G是截線的方向。假設(shè)點(diǎn)C在H的右側(cè)，那么∠HCD是80°，而∠HCF如果是∠HCD的一個(gè)外角或者說在CD的另一側(cè)，這似乎不太對(duì)。更合理的是，點(diǎn)C、H、E在同一直線CG上，∠HCF是指∠ECD與∠HCF的關(guān)系？或許，我們應(yīng)該考慮CD∥EF，CG是截線，那么∠HCD與∠CHE是什么關(guān)系呢？或者，我們可以將∠HCD分解。如果∠HCF=30°，而點(diǎn)F在EF上，那么∠FCD是多少呢？假設(shè)∠HCD=80°，而∠HCF是∠HCD的一部分，即在CD的下方，那么∠FCD=∠HCD-∠HCF=80°-30°=50°？似乎也不太清晰。換個(gè)思路，既然AB∥CD∥EF，我們可以直接看AB與EF被CG所截?！螦HC和∠CHE是直線AB、EF被CG所截形成的角?！螦HC在AB上方，CG左側(cè)；∠CHE在EF下方，CG右側(cè)？或者，我們可以利用兩次平行線的性質(zhì)。因?yàn)锳B∥CD，所以∠AHC=∠HCD=80°（內(nèi)錯(cuò)角相等）。因?yàn)镃D∥EF，所以∠HCF與∠CHE是直線CD、EF被CG所截形成的內(nèi)錯(cuò)角（∠HCF在CD下方，CG右側(cè)；∠CHE在EF下方，CG右側(cè)？不，內(nèi)錯(cuò)角需要在截線兩旁）。啊，對(duì)了，∠HCF如果是在CD的上方，EF的下方，這取決于點(diǎn)的位置。最直接的方法：由于CD∥EF，CG為截線，∠HCD與∠CHE是同旁內(nèi)角嗎？或者∠FCH與∠CHE是內(nèi)錯(cuò)角。若∠HCF=30°，即∠FCH=30°，因?yàn)镃D∥EF，所以∠FCH與∠CHE是內(nèi)錯(cuò)角，因此∠CHE=∠FCH=30°？這似乎忽略了前面的∠AHC。哦，我想我可能混淆了角的標(biāo)識(shí)。正確的做法應(yīng)該是：因?yàn)锳B∥CD，所以∠AHC=∠DCH=80°（內(nèi)錯(cuò)角相等，這里的∠DCH就是∠HCD，即直線AB、CD被CG所截，∠AHC與∠DCH是內(nèi)錯(cuò)角）。現(xiàn)在，∠DCH=80°，它是由∠DCF和∠FCH組成的嗎？如果點(diǎn)F在CG上，且在C和E之間，那么∠HCF就是∠HCE，即∠HCF=∠HCE=30°。那么∠DCH（80°）和∠HCE（30°）以及∠DCE是什么關(guān)系呢？如果CD∥EF，那么∠DCE與∠CEF是同旁內(nèi)角？不，我們要求的是∠CHE，點(diǎn)E在EF上，所以∠CHE就是∠CEF嗎？或者說，∠CHE是直線EF上，點(diǎn)E處，由CG和EF形成的角。因?yàn)镃D∥EF，所以∠DCH與∠CHE是同位角（如果它們都在截線CG的同一側(cè)，且在被截線CD、EF的同一方向）。因?yàn)椤螪CH=80°，所以∠CHE=∠DCH=80°？但題目中還有一個(gè)∠HCF=30°的條件沒有用到，這說明我的判斷有誤。啊，我明白了！應(yīng)該是∠HCF=30°，其中∠HCF是直線CD、EF被CF所截形成的？不，CG是唯一的截線。重新梳理：已知∠AHC=80°（AB與CD的內(nèi)錯(cuò)角），所以∠HCD=80°。CG是一條直線，所以∠HCD+∠DCE=180°？不是，點(diǎn)H、C、E在同一直線上，所以∠HCD是在CD上方，HC的左側(cè)；那么在CD下方，HC的右側(cè)的角就是∠DCE，它與∠HCD互補(bǔ)嗎？如果CD是水平的，HC是一條斜線，那么∠HCD+∠DCH=180°？不，∠HCD本身就是一個(gè)角。關(guān)鍵突破點(diǎn)在于，CD∥EF，所以∠HCF與∠CHE是內(nèi)錯(cuò)角。因?yàn)椤螲CF是直線CD、EF被CG所截形成的內(nèi)錯(cuò)角，所以∠HCF=∠CHE。題目中∠HCF=30°，因此∠CHE=30°。為什么之前要算∠HCD呢？因?yàn)锳B∥CD得到∠HCD=∠AHC=80°，這個(gè)信息可能是一個(gè)干擾，或者說，如果∠HCF是∠HCD的補(bǔ)角，那么∠HCF=180°-80°=100°，但題目給的是30°，所以那個(gè)思路不對(duì)。因此，正確的解析應(yīng)該是：因?yàn)镃D∥EF，CG為截線，∠HCF與∠CHE是內(nèi)錯(cuò)角，所以∠CHE=∠HCF=30°。（注：此處因文字描述圖形可能產(chǎn)生歧義，實(shí)際解題時(shí)需結(jié)合準(zhǔn)確圖形。核心在于準(zhǔn)確識(shí)別角的位置關(guān)系，運(yùn)用平行線性質(zhì)。此例中，若∠HCF與∠CHE是內(nèi)錯(cuò)角，則答案為30°，重點(diǎn)在于演示如何根據(jù)平行關(guān)系和角的位置判斷。）二、綜合提升篇（修正與補(bǔ)充）為避免歧義，我們更換一道更清晰的綜合題：例題3（修正）：如圖，AB∥CD，∠ABE=110°，∠DCE=30°，求∠BEC的度數(shù)。解析：此題中，AB與CD平行，但∠ABE和∠DCE并非直接由一條截線形成的角，中間隔了一個(gè)點(diǎn)E，形成了一個(gè)類似“折線”的圖形。這種情況下，直接應(yīng)用平行線性質(zhì)可能不夠，我們通常需要添加輔助線來“橋梁”。輔助線作法：過點(diǎn)E作EF∥AB（或EF∥CD，因?yàn)锳B∥CD，所以EF也會(huì)平行于CD）。因?yàn)锳B∥CD，且EF∥AB，根據(jù)平行公理的推論，平行于同一直線的兩條直線互相平行，所以EF∥CD?，F(xiàn)在，我們將∠BEC分成了兩個(gè)角：∠BEF和∠FEC。因?yàn)镋F∥AB，∠ABE與∠BEF是同旁內(nèi)角（AB、EF被BE所截）。根據(jù)平行線性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。所以∠ABE+∠BEF=180°。已知∠ABE=110°，則∠BEF=180°-∠ABE=180°-110°=70°。又因?yàn)镋F∥CD，∠DCE與∠FEC是內(nèi)錯(cuò)角（CD、EF被CE所截）。根據(jù)平行線性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。所以∠FEC=∠DCE=30°。因此，∠BEC=∠BEF+∠FEC=70°+30°=100°。所以，∠BEC的度數(shù)為100°。小結(jié)：當(dāng)所求角是由兩條平行線間的折線形成時(shí)，過折線的頂點(diǎn)作已知平行線的平行線，是解決此類問題的常用輔助線方法，它能將復(fù)雜角分解為我們熟悉的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角。三、解題技巧與總結(jié)通過以上例題的練習(xí)，我們可以總結(jié)出運(yùn)用平行線性質(zhì)解題的一般步驟與技巧：1.明確已知條件和所求：仔細(xì)審題，找出題目中給出的平行關(guān)系和角的度數(shù)，明確需要求解的未知量。2.準(zhǔn)確識(shí)別角的類型：在圖形中找到由平行線被截線所形成的角，準(zhǔn)確判斷它們是同位角、內(nèi)錯(cuò)角還是同旁內(nèi)角。這是應(yīng)用性質(zhì)的前提?？梢酝ㄟ^“位置關(guān)系”記憶：同位角（“F”型）、內(nèi)錯(cuò)角（“Z”型或“N”型）、同旁內(nèi)角（“U”型或“C”型）。3.靈活運(yùn)用性質(zhì)定理：*兩直線平行?同位角相等。*兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等。*兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（注意：前提是“兩直線平行”，才有這些結(jié)論。反之，是平行線的判定定理。）4.善用輔助線：當(dāng)直接應(yīng)用性質(zhì)困難時(shí)