1/2專題08平面向量及其取值范圍、四心、等和線、極化恒等式等的巧用目錄第一部分考向速遞洞察考向，感知前沿第二部分題型歸納梳理題型，突破重難題型01平面向量數(shù)量積題型02平面向量線性運算取值范圍題型03平面向量數(shù)量積取值范圍題型04平面向量夾角、模取值范圍題型05平面向量外心、內(nèi)心問題題型06平面向量垂心、重心問題題型07等和線問題題型08極化恒等式問題題型09平面向量創(chuàng)新問題第三部分分層突破固本培優(yōu)，精準提分A組·基礎(chǔ)保分練B組·重難提升練1.（平面向量數(shù)量積）已知在等腰三角形中，，，是的中點，且，則（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標公式計算可得結(jié)果.【詳解】在等腰三角形中，是的中點，所以，所以，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，所以，，則.故選：D.2．（平面向量線性運算取值范圍）在正六邊形ABCDEF中，點M在邊BC和邊CD上運動（含端點），設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用向量加法的平行四邊形法則，分類討論，得到取值范圍，進而的取值范圍，得到答案.【詳解】如圖所示，由向量加法的平行四邊形法則知，當(dāng)點M在邊BC上由點B向點C運動時，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范圍是；當(dāng)點M在邊CD上由點C向點D運動時，的值恒為2，的值由1增大到2，的取值范圍是.綜上，可知的取值范圍是.故選：D.

平面向量數(shù)量積取值范圍3．已知圓O的半徑為2，弦，D為圓O上一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】思路一：用坐標法，表示出，，將問題轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)最值來處理即可；思路二：由投影向量定義、數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】方法一：建立如圖所示的直角坐標系，則，，，所以，.所以.當(dāng)時，取最小值.故選：B方法二：如圖，作圓的直徑，過E作的延長線，垂足為C.而可以看作在上的投影向量與的數(shù)量積.由圓的性質(zhì)知，當(dāng)D與E重合時，取得最小值.因為，所以，則.所以的最小值為.故選：B.4．（平面向量夾角、模取值范圍）在平面直角坐標系中，，.已知點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合圖形先利用向量數(shù)量積的運算律求得，，化簡得，再借助于向量的三角不等式即可求出的取值范圍.【詳解】如圖，因，，則，即，因，又，則，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)與同方向時，；當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時，，即.故選：C.5．（平面向量外心、內(nèi)心問題）已知三角形ABC滿足，則三角形ABC的形狀一定是（

）A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】根據(jù)單位向量的定義及加法的幾何意義有對應(yīng)向量在的角平分線上，進而有的角平分線與邊垂直，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得.【詳解】由幾何意義知，對應(yīng)向量在的角平分線上，由，即的角平分線與邊垂直，所以三角形ABC的形狀一定是等腰三角形.故選：B6.（平面向量垂心、重心問題）在△ABC中，·+·+·，其中G是△ABC的重心，則△ABC的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】由三角形重心的性質(zhì)得++，結(jié)合題干中的等式可得，即可判斷三角形的形狀.【詳解】由G是的重心，得++，則=，由題中等式得，又均為非零向量，所以由的表示是唯一的，則，且，故，即為等邊三角形.故選：D.7.（等和線問題）如圖，在△ABC中，點M是AB上的點且滿足AM=3MB，N是AC上的點且滿足AN=NC，CM與BN交于P點，且AP=λABA．12 B．23 C．34【答案】D【解題思路】設(shè)BP=xBN,CP=yCM,x∈R,y∈【解答過程】設(shè)BP=x由AP=AB+又由AP=所以1?x=34y12因為AP=λAB+μAC，所以故選：D.8.（極化恒等式問題）如圖，在四邊形ABCD中，M為AB的中點，且AB=2，MC=MD=CD=1．若點N在線段CD（端點除外）上運動，則NA?NB的取值范圍是（

A．?14,0 B．0，34 【答案】A【解題思路】連接MN，求出|NM【解答過程】連接MN，如圖，點N在線段CD（端點除外）上運動，

因為MC=MD=CD=1，即△MCD是正三角形，于是32≤|NM|<1，而M為所以NA?NB=(（平面向量創(chuàng)新問題）定義：若不相等的兩個向量，滿足條件：且，，，均為整數(shù)，則稱向量，互為“等模整向量”，則與向量互為“等模整向量”的向量個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】設(shè)與互為“等模整向量”的向量，根據(jù)定義求解即可.【詳解】設(shè)與互為“等模整向量”的向量，則，所以，令，則，則（舍去），令，則，則或，令，則，則，故與向量互為“等模整向量”的向量個數(shù)有3個，故選B.01平面向量數(shù)量積1．已知等腰直角的斜邊長為2，設(shè)，，，那么（

）A．6 B． C．4 D．【答案】D【分析】由向量的加法運算和數(shù)量積的運算法則可得結(jié)果.【詳解】，故.故選：D.2．在邊長為3的等邊三角形中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的數(shù)量積公式計算即可.【詳解】，，.故選：A.3．在梯形中，，，，，，則（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】將用來表示，再求數(shù)量積即可.【詳解】由題可知，所以，因，則故選：C.4．在平行四邊形中，點在邊上，且，則（

）A．2 B．3 C．-2 D．4【答案】B【分析】用、作為基底表示出、，再由數(shù)量積的運算律及定義計算可得.【詳解】因為，所以，，所以.故選：B5．如圖，在等腰三角形中，，點是邊上的動點，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】先利用垂直關(guān)系求出，再利用向量運算將所求式轉(zhuǎn)化為，進而可得答案.【詳解】記的中點為，由題可知，，所以.故選：A.02平面向量線性運算取值范圍6．在平面四邊形中，，點M在邊（含端點）上運動，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算求解.【詳解】如圖，以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，設(shè)則，，所以，設(shè)，則，所以，所以，因為，所以，即的取值范圍是，故選：C.7．在中，為邊上一點，且滿足，設(shè)，，若存在實數(shù)，使，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把用得到，，，再根據(jù)的范圍即可求解.【詳解】以為基底，，又，所以由平面向量基本定理可知，，則，又，所以．故選：C8．如圖，邊長為的等邊，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐標系，可得半圓弧的方程為：，設(shè)，根據(jù)向量的坐標運算法則算出關(guān)于的式子，利用三角換元與正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】由題意，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：結(jié)合已知得，，，半圓弧的方程為：，設(shè)，則，，，由得：，解得：，所以，因為在上，所以，又，則可設(shè)，，，將，代入整理得：由得，所以，，故的取值范圍是.故選：D.9．如圖，，點P在由射線、線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在的反向延長線上取點，使得，過作，分別交和的延長線于點，根據(jù)平面向量的加法運算，討論點在點處與處時的值，從而得的取值范圍.【詳解】如圖，由于，在的反向延長線上取點，使得，過作，分別交和的延長線于點，則，要使得點落在指定區(qū)域內(nèi)，則點應(yīng)落在上，當(dāng)點在點處時，，當(dāng)點在點處時，，所以的取值范圍是.故選：D.03平面向量數(shù)量積取值范圍10．在菱形中，，，E為邊上的動點（包括端點），F(xiàn)為的中點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由，，結(jié)合數(shù)量積的運算律即可求解.【詳解】設(shè)，則，由為的中點，得，在菱形中，，，所以，，所以，故選：D11．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P為腰AD所在線段上任意一點，則的最小值是（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】作垂直于于點，作垂直于于點，建立平面直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，利用坐標計算出的表達式，由二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】如圖，作垂直于于點，作垂直于于點，又，，，則，，，，以點為坐標原點，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，，又P為腰AD所在直線上任意一點，則設(shè)，，則點P的坐標為，所以，，又關(guān)于的二次函數(shù)的對稱軸為，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即點P和點D重合時，取得最小值．故的最小值是．故選：C．12．如圖所示，正方形的邊長為1，點分別在軸，軸的正半軸（含原點）上滑動，則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】取的中點，將的表達式利用極化恒等式化簡，再由三點共線可求出最大值.【詳解】取的中點，的中點，連接，如下圖所示：易知，所以．因為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立．所以的最大值為2．故選：B．04平面向量夾角、模的取值范圍13．已知，，點，為坐標原點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可推導(dǎo)得到，結(jié)合可設(shè)，，利用向量坐標運算表示出，計算可得，可知當(dāng)時，取得最小值，進而得到結(jié)果.【詳解】，，則，，兩點在以為圓心，為半徑的圓上，設(shè)，由可取，，，則當(dāng)時，取得最小值，.故選：C.14．已知向量滿足，記，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的模長公式可得，進而建立直角坐標系，根據(jù)坐標運算可得點的軌跡，進而根據(jù)點到直線的距離公式求解.【詳解】因為，所以．又，所以，解得．因為，所以．建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)，因為，所以，整理得，即點的軌跡是：圓心為，半徑為2的圓．設(shè)，則點在直線上運動，則，令點到直線的距離為，則，無最大值，故選：B．15．為等邊三角形所在平面內(nèi)的一點，向量，且，.設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，表示向量夾角的余弦，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】不妨設(shè)等邊的邊長為1，則.,.所以，則.又因為，所以，當(dāng)時取等號.所以.故選：C16．已知為單位向量，，，當(dāng)取到最大值時，等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)單位向量，則，，利用兩向量夾角的余弦公式寫出，通過兩次換元法及基本不等式將化簡為，最后判斷函數(shù)的單調(diào)性從而確定使得取得最小值時的y的值.【詳解】設(shè)單位向量，則，因為，所以，，令，則，令，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得最小值，取到最大值，此時，.故選：A05平面向量的內(nèi)心、外心問題17.已知，若點P滿足，其中，則點P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【答案】B【解析】指向角A的平分線方向，而與是平行的，所以依舊指向角A的平分線方向，所以點P的軌跡即為角A的平分線及其反向延長線.而內(nèi)心一定落在角A的平分線上，所以點P的軌跡會經(jīng)過內(nèi)心.18.若的三邊為a，b，c，有，則是的（）A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心【答案】B【解析】在，上分別取點，，使得，，則．以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，

則四邊形是菱形，且．為的平分線．

，，

即，．，，三點共線，即在的平分線上，同理可得在其它兩角的平分線上，是的內(nèi)心，故選B．19.已知O是所在平面上的一點，若，則點O是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】由已知得，所以，所以，所以點O是的外心，故選A．20.已知外接圓圓心為，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，如圖所示，結(jié)合向量加法的平行四邊形法則可得四邊形為平行四邊形，又因為為外接圓圓心，所以O(shè)A=OB=所以平行四邊形為菱形，和為等邊三角形，所以向量的夾角為，故選C.06平面向量垂心、重心問題21.已知的重心為，若，且，則（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】因為，故．而，故，則．故選B22.如圖，已知，，是中線，G為重心，則；.（用向量、表示）

【答案】【解析】因為是中線，所以為的中點，所以，所以，又G為的重心，所以.23.已知平面上四個點，其中任意三個不共線．若，則直線一定經(jīng)過三角形的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】因為，所以，所以，即直線一定經(jīng)過三角形的邊上的高，即直線一定經(jīng)過三角形的垂心，故選D.24.是所在平面上的一定點，動點滿足，，，則點形成的圖形一定通過的．（填外心或內(nèi)心或重心或垂心）【答案】垂心【解析】，與垂直，，點在的高線上，即的軌跡過的垂心.07等和線問題25.如圖，在△ABC中，已知BD=12DC，AE=2EC，P是線段AD與BE的交點，若A．37 B．67 C．1 【答案】B【解題思路】設(shè)AP=λAD且0<λ<1，應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義得AP=2λ3【解答過程】設(shè)AP=λAD且0<λ<1，則AP=λ(又AE=23由B,P,E共線，則2λ3+λ所以m+n=2λ故選：B.26.如圖所示，△ABC中，點D是線段BC的中點，E是線段AD上的動點，若BE=xBA+12A．1 B．3 C．5 D．8【答案】A【解題思路】由題意可得BC=2BD，從而可得BE=x【解答過程】因為點D是線段BC的中點，則BC=2則BE=x因為A,E,D三點共線，所以x+y=1x>0,y>0故選：A.27.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AD的中點，BD與CE交于點F．若AF=xAD+yABx,y∈RA．?13 B．0 C．1【答案】C【解題思路】由DE=12BC得DF=【解答過程】由四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，知DE∥BC，且DE=1所以DF=12BF因為AF=所以x=23，y=1故選：C．28.在△ABC中，點D在BC上，且滿足BD=14BC，點E為AD上任意一點，若實數(shù)x，y滿足BE=xA．22 B．43 C．4+23【答案】D【解題思路】先根據(jù)平面向量基本定理及共線向量定理的推論，由三點A,E,D共線得x+4y=1，且x>0,y>0，再根據(jù)“1”的代換，運用基本不等式可得答案.【解答過程】BE=x由A,E,D三點共線可得x+4y=1，且x>0,y>0，所以1x+2當(dāng)且僅當(dāng)4yx=2x故選：D.08極化恒等式問題29.向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，a?b=14AD2?BC2，我們稱為極化恒等式.已知在△ABC中，M是BC中點，AM=3A．?16 B．16 C．?8 D．8【答案】A【解題思路】可以把三角形補形為平行四邊形，AM=【解答過程】由題設(shè)，△ABC可以補形為平行四邊形ABDC，由已知得AM=3,BC=10,AB故選：A．30.如圖，在△ABC中，AF=BF=6,EF=5，則EA?EB=A．?11 B．?13 C．?15 D．15【答案】A【解題思路】根據(jù)極化恒等式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，直接求解即可.【解答過程】因為a?故EA?EB=故選：A.31.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，其對稱中心O平分線段MN，且MN=2BC，點E為DC的中點，則EM?EN=

A．1 B．3 C．?1 D．?3【答案】D【解題思路】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化向量，再結(jié)合向量的運算律，即可求解.【解答過程】由題可知MN=2BC=4，OM=2，OE=1，EM?EN=

故選：D.32.在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=2,AC=6，D為BC的中點，點P在△ABC斜邊BCA．?10,0 B．?6,0 C．0,6 D．0,10【答案】A【解題思路】先將PB·PC轉(zhuǎn)化成【解答過程】由題AD=DB=DC=1所以由點P在△ABC斜邊BC的中線AD上得PD∈0,故PB=PD故選：A.09平面向量創(chuàng)新問題33.設(shè)向量的夾角為，定義，已知平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量滿足，且與的夾角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，則，則中，，，外接圓的半徑為1，設(shè)，由正弦定理可得，，，則，利用三角恒等變換化簡，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)，，則，因為，與的夾角為，所以中，，，如圖所示，由正弦定理得外接圓的半徑為，則為圓上與不重合的動點，設(shè)（），由正弦定理可得，，，則，所以當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為.故選：D.34.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫作向量在坐標系xOy中的坐標.若，則（

）A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)坐標系中向量的坐標規(guī)定，先求出的值，再將分別用，表示，計算出的表達式，最后利用向量模的定義求出.【詳解】依題意，，，則，則，故.故選：C.35.互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，過點作兩坐標軸的平行線，其在軸和軸上的截距，分別作為點的坐標和坐標，記，則該坐標系中和兩點間的距離為（

）

A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】結(jié)合所給定義計算出后，結(jié)合數(shù)量積公式計算即可得.【詳解】由題意，，則，所以，所以.故選：A.36.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.對于平面內(nèi)任意一點，若向量，則把有序?qū)崝?shù)對叫做向量在坐標系中的坐標.定義為在坐標系中的“絕對距離”.已知平面內(nèi)點，若，則；若，則的最大值為.

【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)定義及模長的計算公式，即可求解；根據(jù)條件得到，再分同號、異號和三種情況，利用基本不等式，即可求解.【詳解】因為，所以，又是單位向量，且，則，由，得到.當(dāng)同號時，不妨設(shè)同正，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)異號時，不妨設(shè)，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.又當(dāng)時，易知，綜上，的最大值為.1．已知向量是兩個單位向量，在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，由投影向量公式解得，然后由向量的數(shù)量積公式求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，且，∴，∴.故選：D.2．已知中，,點在邊上移動，滿足向量，則的最大值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】先建立坐標系，然后求出點的坐標，并設(shè)出點的坐標，進而得到向量的坐標，用數(shù)量積公式求出，最后利用二次函數(shù)求出最值【詳解】已知，所以是等邊三角形，邊長為2，以中點為原點，為軸，垂直于方向為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，

則，設(shè)，所以，即，因為，所以當(dāng)時，有最大值2，因此的最大值為2.故選:B3．在中，已知，P在線段（不包含端點）上，若，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．3【答案】A【分析】設(shè)，通過向量的線性運算結(jié)合題目中的條件把用表示，最后利用基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)，則，又因為，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值為.故選：A4．平面向量，滿足，，，若，則最小值為（）A．1 B．C． D．【答案】B【分析】由題意計算出，由整理得，由向量的數(shù)量積公式得到，即可得到最小值.【詳解】因為，，，，得，即，即，所以，即.設(shè)與的夾角為，則，，∴當(dāng)時，最小值為.故選：B.5．已知點，，為坐標原點，若，的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量夾角為銳角，得到向量數(shù)量積大于零且向量不共線，列出不等式求解即可.【詳解】由題意知，，.因為，的夾角為銳角，所以且不存在實數(shù)使得，即，不共線.①，因為，所以，解得.②，不共線，若，共線，則，整理得，解得或，所以且，綜上，且.故選：D.6．已知平面向量、、，，，的面積為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用平行四邊形原則作平行四邊形，得出其為菱形，根據(jù)面積求出點到直線的距離，數(shù)形結(jié)合可求.【詳解】如圖，作平行四邊形，設(shè)的交點為，點到直線的距離為，因，，則四邊形為菱形，且，因的面積為，則，得，則點在與直線平行的直線上，且兩直線之間的距離為，則的最小值為.故選：C7．如圖所示，內(nèi)有一點滿足，過點作一直線分別交于點.若，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以G為的重心，所以，所以且，所以，故選B8．已知是的外心，，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可知點為的中點，且是的外心，所以，又因為，則，則，所以向量在向量上的投影向量為，故選C9.在中，為的重心，若，則＝．【答案】【解析】如圖所示，因為為的重心，則點為的中點，根據(jù)向量的線性運算和三角形重心的性質(zhì)，可得：，又因為，所以，所以.10．如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系xOy中的坐標，假設(shè).則．【答案】【分析】先根據(jù)向量數(shù)量積的公式及運算性質(zhì)求出及，再根據(jù)計算即可得解.【詳解】因為，所以，所以.11．已知中，，，P是所在平面內(nèi)的任意一點，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可得，建立平面直角坐標系，根據(jù)，設(shè)出點P坐標，利用數(shù)量積的坐標運算結(jié)合三角恒等變換即可求解．【詳解】在中，由，可得，根據(jù)，得，，以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，則，，，則，設(shè)為平面內(nèi)滿足的點，則有，，則，由于P在單位圓上，可設(shè)，，則，故的取值范圍為故選:A12．已知直角梯形中，，，且，，點是梯形內(nèi)（含邊界）任意一點，設(shè)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為坐標原點，分別為軸建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算，表示出，再求取值范圍即可.【詳解】如圖，以為坐標原點，分別為軸建立平面直角坐標系，設(shè)，則，，可得，因為，所以，所以，當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值，即.故選：A.13．已知直角△ABC中，，，為邊的中點，是邊上的動點，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】通過建立平面直角坐標系，將向量坐標化，再根據(jù)向量的模長公式求解最小值即可.【詳解】因為，所以以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，

則，設(shè)，，則，得到，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，所以.故選：.14．已知點是非等邊的外心，是平面內(nèi)的一點且，則是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】A【分析】由點是非等邊的外心可得，又因為平面內(nèi)滿足，所以，設(shè)D為中點，得到，，從而得到，在邊的高線上.同理可得在邊高線上，在邊高線上，故為高線交點，即為垂心.【詳解】因為點是非等邊的外心，所以.因為平面內(nèi)滿足，所以,設(shè)D為中點，則有，所以