31/53專題2.2空間幾何體折疊及新定義問題內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點(diǎn)，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點(diǎn)的解題策略與實(shí)戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級(jí)題感”與應(yīng)變能力近三年：空間幾何體中折疊問題是高考是的一個(gè)高頻考點(diǎn)，這種題目對(duì)于大部分學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)。特別是牽涉到折疊之后的角度問題（線面角，面面角，二面角等）。另外對(duì)于折疊之后的距離問題也是高考中的一個(gè)方向，點(diǎn)面距，異面距離，面面距離等。新高考中探索類問題以及新定義問題也是高考數(shù)學(xué)的一個(gè)中央的方向，應(yīng)予以重視。預(yù)測2026年：考向01空間幾何體折疊角度問題考向02空間幾何體折疊距離問題考向03空間幾何體折疊存在性問題考向04空間幾何體折疊探索性問題考向05空間幾何體新定義問題考向01空間幾何體折疊角度問題畫圖對(duì)比：畫出折疊前后的圖形，標(biāo)出折痕。確定不變量：找出與問題相關(guān)的不變的邊長、平面角等。選擇方法：若涉及斜線與平面內(nèi)直線的夾角，優(yōu)先考慮折疊角公式。若涉及線線垂直的判斷，嘗試使用三垂線定理。若以上方法不適用，則建立空間直角坐標(biāo)系，使用向量法進(jìn)行計(jì)算。通過綜合運(yùn)用這些技巧，可以更高效、準(zhǔn)確地解決空間幾何折疊中的角度問題1．如圖，在矩形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是對(duì)角線，上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，將四邊形沿翻折，使平面平面.(1)求證：平面；(2)求線段的長（用表示）；(3)當(dāng)線段的長最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）在矩形中，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所以四邊形和是全等的正方形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，，，平面，所以平面；?）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，，因?yàn)?，所以，，則，，所以線段的長為；（3）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，線段最短，此時(shí)，分別為線段，的中點(diǎn)，，，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，由（1）知，為平面的一個(gè)法向量，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.2．如圖，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)在上，，且，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成的角的正弦值為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1），，，，，，又，，，又，平面，平面，平面，，，平面，，平面，又平面，∴平面平面；（2）由（1）知平面，為直線與平面所成的角，設(shè)，則，，，解得，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則取，則，得平面的一個(gè)法向量，，∴平面與平面的夾角的余弦值為．考向02空間幾何體折疊距離問題技巧一點(diǎn)到點(diǎn)距離：通常是求某條線段的長度。利用折疊前后線段長度不變，在折疊后的圖形中直接計(jì)算或通過解三角形求解。點(diǎn)到線距離：如果點(diǎn)和線在折疊后仍在同一平面內(nèi)（如同在底面），則距離不變，可在原平面圖中求解。點(diǎn)到面距離：這是難點(diǎn)。折疊后，若點(diǎn)不在面上，則需通過幾何法或向量法求解。技巧二：幾何法——等體積法（間接法）利用三棱錐的體積公式。同一個(gè)三棱錐，選擇不同的面作為底面，其體積是不變的。技巧三：向量法——坐標(biāo)運(yùn)算（通法）當(dāng)幾何關(guān)系復(fù)雜或不易找到垂足時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系是解決距離問題的“萬能鑰匙”。建系：根據(jù)折疊后的幾何體特征，尋找三條兩兩垂直的直線作為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系。點(diǎn)到點(diǎn)距離：直接利用空間兩點(diǎn)間距離公式。點(diǎn)到直線距離：利用向量在直線方向向量上的投影，結(jié)合勾股定理求解。點(diǎn)到平面距離：設(shè)平面的法向量為n，平面上一點(diǎn)為A，所求點(diǎn)為B，則距離技巧四：展開法——化折為直（針對(duì)最短路徑）當(dāng)問題涉及幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短路徑（如螞蟻爬行問題）時(shí)，需將空間問題平面化。核心思想：將幾何體（如圓柱、圓錐、棱柱等）的表面按一定規(guī)則展開成平面圖形。1如圖1，在中，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將及其內(nèi)部以邊為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到如圖2所示的新的幾何體，點(diǎn)為點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中形成的圓的圓心，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn).(1)求新的幾何體的體積；(2)記與底面所成角為，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用割補(bǔ)法來求得新的幾何體的體積.（2）作出與底面所成角，求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的取值范圍.（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得正確答案.【詳解】（1）連接，在中，由題可得，因?yàn)樾碌膸缀误w是以為高的圓錐減去以為高的圓錐后剩余的部分，所以新的幾何體的體積.（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以為與底面所成的角，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所?（3）以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則有，取所以點(diǎn)到平面的距離為.2如圖1，等腰直角的斜邊為的中點(diǎn)，沿上的高折疊，使得二面角為，如圖2，為的中點(diǎn)．(1)證明：．(2)求平面和平面所成角的余弦值．(3)試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在；【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，得到，再由平面，得到，得出為等邊三角形，證得，證得平面，即可證得；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（3）設(shè)，求得，根據(jù)題意，利用向量的夾角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案.【詳解】（1）證明：在圖1中的等腰直角中，為的中點(diǎn)，可得，所以在圖2中，可得，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以是二面角的平面角，即，所以為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）解：以為原點(diǎn)，垂直于的直線為軸，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以，所以平面和平面所成角的余弦值為.（3）解：假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，由（2）得，設(shè)，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得或（舍去），所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí).考向03空間幾何體折疊存在性問題空間折疊問題的存在性問題，核心是判斷空間幾何體經(jīng)過折疊后能否形成符合特定條件的立體圖形，其本質(zhì)是分析折疊前后點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系變化。以下是解決這類問題的關(guān)鍵技巧，結(jié)合幾何性質(zhì)和邏輯推理展開：一、核心原理：折疊前后的不變量與變量解決空間折疊問題的基礎(chǔ)是明確折疊過程中哪些幾何關(guān)系保持不變，哪些會(huì)發(fā)生改變：不變量折疊前位于同一平面內(nèi)的線段長度不變（如原平面圖形中兩點(diǎn)間的距離）。折疊前共線的點(diǎn)折疊后仍共線（如折痕上的點(diǎn)位置不變）。折疊前垂直或平行的線段，若折疊后仍在同一平面內(nèi)，則垂直/平行關(guān)系不變。變量折疊后不同平面內(nèi)的線段夾角會(huì)改變（如原平面中相交的兩條線段，折疊后可能異面）。折疊后點(diǎn)到平面的距離會(huì)變化（如原平面圖形中某點(diǎn)到折痕的距離可能成為立體圖形的高）。二、存在性問題的常見類型與技巧1.折疊后點(diǎn)共面/共線的判斷技巧：利用“三點(diǎn)共面”或“線面垂直”性質(zhì)2.折疊后線面垂直/平行的判斷技巧：轉(zhuǎn)化為“線線垂直/平行”的驗(yàn)證線面垂直：若折疊后某直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則線面垂直（如折疊后某線段垂直于折痕，且垂直于平面內(nèi)另一條線段）。線面平行：若折疊后某直線與平面內(nèi)一條直線平行，且直線不在平面內(nèi)，則線面平行（如原平面中平行于折痕的線段，折疊后仍平行于折痕所在平面）。3.折疊后幾何體體積/表面積的最值判斷技巧：利用“高的最大值”或“角度范圍”4.折疊后異面直線夾角的判斷技巧：通過“平移法”或“向量法”計(jì)算夾角范圍三、通用解題步驟畫示意圖：將原平面圖形和折疊后的立體圖形分別畫出，標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)（如折痕、固定點(diǎn)）。列不變量：列出折疊前后長度、角度不變的線段或關(guān)系（如折痕長度不變，原平面中垂直的線段若在同一平面則仍垂直）。假設(shè)存在：假設(shè)問題中的條件成立（如“存在某點(diǎn)使得線面垂直”），推導(dǎo)所需滿足的等式或不等式。驗(yàn)證條件：判斷推導(dǎo)結(jié)果是否與幾何性質(zhì)矛盾（如是否滿足三角形三邊關(guān)系、角度范圍等）。得出結(jié)論：若推導(dǎo)無矛盾，則存在；否則不存在。四、易錯(cuò)點(diǎn)提醒忽略折疊后點(diǎn)的位置范圍：如折疊后某點(diǎn)不能超出幾何體的邊界（如正方形折疊后頂點(diǎn)不能穿過對(duì)面）?；煜罢郫B方向”：折疊可沿折痕向不同方向進(jìn)行（如向上或向下），需考慮兩種情況。忘記“折痕是對(duì)稱軸”：折疊后折痕兩側(cè)的圖形關(guān)于折痕對(duì)稱，可利用對(duì)稱性簡化計(jì)算。1如圖，等邊三角形ABC的邊長為，，分別為所在邊的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使得二面角為直二面角．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)棱上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為．若存在，請指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)位于線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【分析】（1）連接，證明，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理證明平面，取邊的中點(diǎn)記為，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)，求平面的法向量，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量求法求點(diǎn)到平面的距離，列方程求，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由已知，連接，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面，又面，所以平面；取邊的中點(diǎn)記為，則；以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，記平面的法向量為，所以，不妨取，得，所以為平面的一個(gè)法向量；記直線與平面的所成角為，則，所以，直線與平面所成角的正弦值為（2）設(shè)，其中，，，，，，記平面的一個(gè)法向量為，則有，不妨取，解得，即；

則點(diǎn)到平面的距離，整理得：即，解得或（舍去），所以，當(dāng)點(diǎn)位于線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為2如圖1，正三角形的邊長為4，是邊上的高，分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成直二面角，如圖2．(1)試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使?如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)平面，理由見解析(2)(3)存在，．【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的法向量，即可求解；（3）設(shè)，根據(jù)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得.【詳解】（1）在中，∵分別是中點(diǎn)，∴．又平面，平面，∴平面．（2）因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵雌矫嫫矫?且，平面平面，平面，所以平面.如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．易知平面的法向量．設(shè)平面的法向量，則即,取，得，則，所以所以平面與平面夾角的余弦值為．（3）存在．設(shè)，有，則，∴又，，，∴，∴．把代入上式得，∴，在線段上存在點(diǎn)，使，此時(shí)，．3如圖1，在中，、分別為、的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2.(1)求證：；(2)求直線和平面所成角的正弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）先證，再由面面垂直，即可證明線面垂直，再推出線線垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量與平面的法向量，即可由向量法求得線面角的正弦值；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，其中，由（2）建立的空間直角坐標(biāo)，可求得直線的方向向量與直線的方向向量，根據(jù)題意，可求得的值.【詳解】（1）因?yàn)樵谥校?，分別為，的中點(diǎn)，所以，，所以，又為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平面，又平面，所?（2）取的中點(diǎn)，連接，所以.由（1）得，.建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意得，，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以.設(shè)直線和平面所成的角為，則.所以直線和平面所成角的正弦值為.（3）假設(shè)線段上存在點(diǎn)適合題意，設(shè)，其中.設(shè)，則，則有，所以，，，從而，所以，又，所以.又直線和所成角的余弦值為，所以，整理得.解得或2（舍去）所以線段上存在點(diǎn)適合題意，且.考向04空間幾何體折疊探索性問題1已知等腰梯形如圖1所示，其中，，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面平面，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)位置），是線段上的動(dòng)點(diǎn)，所得圖形如圖2所示．(1)若，求的值；(2)在（1）的條件下，點(diǎn)、、、均在球的球面上，是否存在點(diǎn)使得在平面上，若存在求出的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由面面垂直證得線面垂直，再逐步證得，最終在直角三角形中計(jì)算得，結(jié)合，即可得解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo).法一：利用球心到四點(diǎn)的距離相同列出方程，解得球心的坐標(biāo)，再根據(jù)三點(diǎn)共線設(shè)，表示出G點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)四點(diǎn)共面設(shè)，列出方程可解出，進(jìn)而得到；法二：由幾何性質(zhì)得球心在中點(diǎn)，得到點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三點(diǎn)共線設(shè)，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面距離的向量公式，使點(diǎn)到平面的距離為，即可解出，進(jìn)而得到.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面，所以，若，則平面，所以，所以，所以，.（2）法一：如圖以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S建立空間坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)球的坐標(biāo)為，則，解得，所以球心.設(shè)，則，要使得球心在平面上，則、、、四點(diǎn)共面，可得，則，則，解得，所以.法二：如圖以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S建立空間坐標(biāo)系，則、、、，，.由（1）可知，平面，因此易知，又因?yàn)?，平面，故平面，?由（1）可知，平面，故，故.因?yàn)椋?，可得球心在中點(diǎn)，即球心.設(shè)，則，要使得球心在平面上，則、、、四點(diǎn)共面，則到平面的距離為0設(shè)平面的法向量為，則，則，取，則，故，所以，又因?yàn)?，則，解得，所以.2如圖，平行四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E，G分別為線段AD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿BE對(duì)折至，連接PC，PD，PG．(1)證明：；(2)當(dāng)直線PG與平面BCDE所成夾角為30°時(shí)，若點(diǎn)M為線段PC上（不含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，平面PBE與平面MGD所成夾角也為30°．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取BE中點(diǎn)為O，連接OP，OG，EG，證明平面OPG即可；（2）在平面OPG內(nèi)，過P作OG的垂線交GO的延長線于H，過O點(diǎn)作，分別以O(shè)G，OE，OQ為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求解．【詳解】（1）證明：取BE中點(diǎn)為O，連接OP，OG，EG，∵E，G分別為AD，BC的中點(diǎn)，且，∴四邊形ABGE為菱形，∴，，又∵O為BE的中點(diǎn)，∴，，又∵OP，平面OPG，，∴平面OPG，又∵平面OPG，∴．（2）由（1）可得平面OPG，又∵平面BCDE，∴平面平面OPG，∵平面平面，∴在平面OPG內(nèi)，過P作OG的垂線交GO的延長線于H，則有平面BCDE，過O點(diǎn)作，則有平面BCDE，又∵，∴分別以O(shè)G，OE，OQ為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面PBE的法向量為，平面MGD的法向量為．∵直線PG與平面BCDE所成夾角為30°，即，又∵，∴，則，，則有，，，，，，，由，，可得，由，，，可得，，解得．考向05空間幾何體新定義問題精準(zhǔn)理解新定義拆解定義內(nèi)涵：將新定義中的關(guān)鍵詞（如“垂棱四面體”“球面三角形總曲率”）轉(zhuǎn)化為幾何條件，明確其與已知概念的聯(lián)系。文檔中“球面三角形面積公式”需結(jié)合二面角與球半徑理解標(biāo)注關(guān)鍵公式：對(duì)新定義中涉及的公式（如混合積、球面曲率公式），需先確認(rèn)參數(shù)含義（如法向量、二面角）轉(zhuǎn)化為熟悉模型類比遷移：將新定義問題與學(xué)過的幾何體（如長方體、正四面體）對(duì)比，尋找共性。例如，“垂棱四面體”可補(bǔ)形為長方體，利用長方體性質(zhì)簡化計(jì)算建系量化：對(duì)涉及空間位置關(guān)系的新定義（如“內(nèi)棱垂直”），通過建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法表示位置關(guān)系和度量關(guān)系推理與驗(yàn)證邏輯推導(dǎo)：根據(jù)新定義列出數(shù)學(xué)表達(dá)式，結(jié)合幾何公理（如線面垂直判定定理）推導(dǎo)結(jié)論。例如，用混合積判斷異面直線時(shí)，需計(jì)算三階行列式驗(yàn)證結(jié)果是否為零特例驗(yàn)證：對(duì)抽象新定義，可代入特殊值（如正三棱錐、單位球）驗(yàn)證結(jié)論正確性，排除錯(cuò)誤理解1球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖1，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點(diǎn)，曲面ABC（陰影部分）叫做球面三角形.若設(shè)二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分別為，，，則球面三角形ABC的面積為.

(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；(2)將圖1中四面體OABC截出得到圖2，若平面三角形ABC為直角三角形，，延長AO與球O交于點(diǎn)D，連接BD，CD.（?。┳C明：；（ⅱ）若直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為，，且，，S為AC的中點(diǎn)，T為BC的中點(diǎn)，設(shè)平面OBC與平面EST的夾角為，求的最小值.【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)垂直可得，即可代入公式求解.（2）（?。└鶕?jù)球的性質(zhì)可得線線垂直，可證明平面，然后利用線面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（ⅱ）先利用線面垂直的判定定理得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，利用向量的夾角公式，得，結(jié)合換元以及基本不等式即可求解的最大值得解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍻AB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，所以，所以球面三角形面積為．（2）（?。┯墒乔虻闹睆?，得，且，平面，則平面，又平面，則；（ⅱ）由（?。┲?，，而，平面，于是平面，由直線與平面所成的角分別為，得，不妨取，得，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為x，y軸，過點(diǎn)C作的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，則，設(shè)平面法向量，則，取，得，設(shè)平面法向量，則，取，得，因此，令，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，取最大值，所以的最小值為.2新定義：已知，.空間向量的叉積.若在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方向向量為，且過點(diǎn)，直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則與方向向量的叉積為，與的混合積為.混合積性質(zhì)：若，則與共面；若，則與異面.已知直線的一個(gè)方向向量為，且過點(diǎn)，直線的一個(gè)方向向量為，且過點(diǎn).(1)用混合積性質(zhì)證明：與是異面直線；(2)若點(diǎn)，求的長的最小值；(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，求的坐標(biāo).【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)混合積的定義與性質(zhì)結(jié)合空間向量叉積的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）設(shè)與都垂直的向量，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算，利用點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可；（3）利用空間向量的線性運(yùn)算及（2）的結(jié)論，結(jié)合空間向量共線的充要條件計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意得，因?yàn)?，所以，故與是異面直線.（2）設(shè)與都垂直的向量，由，可取，則的長的最小值為.（3）由題意可設(shè)，，則，由（2）得共線，則，解得，故.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問，異面直線的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，求出法向量計(jì)算即可；第三問，利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量共線計(jì)算即可.（建議用時(shí)：60分鐘）1如圖，直角梯形，，，，為中點(diǎn)，將沿折起，使D到P處．(1)求證：平面；(2)若平面平面，，，（?。┊?dāng)時(shí)，求證：平面平面；（ⅱ）當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）或.【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線證得，再利用線面平行的判定定理即可得證；（2）由題設(shè)證得，以方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由，得．（?。├孟蛄繑?shù)量積證得，進(jìn)而根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定定理即可得證；（ⅱ）求平面與平面的法向量，由題意求得二面角的余弦值，利用向量方法列式計(jì)算即得.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，由題意四邊形是矩形，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以在中，有，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）由，，得，則，又平面平面，平面平面，平面，面，面，則，在矩形中，有，以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則有，，，，，，所以，，，由，．（?。┊?dāng)時(shí)，，，，，，，又，平面，平面，平面，平面，則平面平面．（ⅱ）取平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)槎娼堑恼抑禐?，則余弦值為，，化簡得：，解得或．2如圖，在四邊形中，，，，，過作，垂足為，將沿翻折至，使點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，.(1)證明：平面平面.(2)已知，，，，五點(diǎn)均在球的球面上.（ⅰ）求球的表面積；（ⅱ）設(shè)點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)（?。?；（ⅱ）或【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，然后利用面面垂直的判定定理證明即可.（2）（?。┙⒖臻g直角坐標(biāo)系，利用球的性質(zhì)設(shè)出球心坐標(biāo)，根據(jù)求得半徑，代入球的表面積公式即可得解；（ⅱ）根據(jù)平面基本性質(zhì)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)面面夾角的向量公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，又，，且，平面，所以平面，則平面，又平面，所以平面平面；（2）（?。┮字倪呅螢榫匦危?，所以四邊形為正方形，取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，由?）平面，又平面，所以平面平面，平面平面，平面，則平面，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，以過平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以正方形外接圓的圓心為正方形的中心，則，由球的性質(zhì)可知，平面，設(shè)，球的半徑為，所以，即，解得，故，所以，故球的表面積為；（ⅱ）過P作，因?yàn)?，所以，所以平面平面，則，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，所以.又，解得，當(dāng)時(shí)，則，.所以.當(dāng)時(shí)，則，.所以.故平面與平面夾角的余弦值為或.3已知五邊形是由等邊三角形與矩形拼接而成，如圖1所示，其中；現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面平面，得到的圖形如圖2所示，其中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在線段上，且平面.

(1)求證：為線段的中點(diǎn)；(2)已知點(diǎn)在線段上（包含端點(diǎn)位置），求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)和關(guān)鍵平面的法向量，利用空間位置關(guān)系的向量表示建立方程，得到，進(jìn)而證明中點(diǎn)即可.（2）利用線面角的向量求法表示出，再利用平方法和換元法求解其最大值即可.【詳解】（1）由題意得，令，則，連接，作，則由矩形性質(zhì)得，因?yàn)槠矫嫫矫?，面，所以面，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈冗吶切?，所以由勾股定理得，，則，得到，，，設(shè)面的法向量為，，則，令，解得，則面的法向量為，由題意得在線段上，則，可得，而，則，解得，則，得到，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，此時(shí)，故為線段的中點(diǎn).（2）由題意得在線段上，則，由已知得，則，設(shè)，則，可得，解得，可得，由已知得，則，而，，設(shè)面的法向量為，則，令，解得，則面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，，則，則，令，可將化為，令，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，則最小值為，此時(shí)取得最大值，，結(jié)合題意可得，當(dāng)取得最大值時(shí)，也取得最大值，則最大值為.4如圖1，點(diǎn)分別是邊長為4的正方形三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，使得平面平面，（如圖2），連接是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，P點(diǎn)在A點(diǎn)處時(shí)平面與平面的夾角為.【分析】（1）利用中位線和平行四邊形證明線線平行，然后得到線面平行；（2）證明三線兩兩垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得面的法向量，然后由直線所在向量與法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值求得線面角的正弦值；（3）由（2）求出平面的法向量，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由空間向量求得平面的法向量，由兩個(gè)面的法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值求等于面面角的余弦值建立方程，解得點(diǎn)坐標(biāo)，即可知道點(diǎn)的位置.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接∵四邊形為矩形，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，∴且，又∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，即，∵平面，∴平面.（2）∵，且平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，解得，即，設(shè)直線與平面所成角為，則（3）由（2）可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)存在，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，即，則，∴，即，所以存在符合題意的點(diǎn)P，當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)處時(shí)平面與平面的夾角為.5如圖1，在等腰直角中，分別為的中點(diǎn).將沿向平面上方翻折，得到如圖2所示的四棱錐，且.記的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).

(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值；(3)求動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)空間中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面垂直的判定即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解平面的夾角；（3）根據(jù)向量共線求出，利用空間向量表示出點(diǎn)到直線距離，利用二次函數(shù)性質(zhì)求范圍即可．【詳解】（1）因?yàn)檎郫B前為中點(diǎn)，，所以，折疊后，，所以，所以，在折疊前分別為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)檎郫B前，所以，所以在折疊后，，；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，為中點(diǎn)，所以，，設(shè)平面的法向量為，又，，所以，即，令，則，，所以，所以，則，所以平面；（2）設(shè)，由（1）知，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)Q在線段上，且，所以，所以，所以，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，，即，令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為；（3）設(shè)，，，動(dòng)點(diǎn)Q在線段上，所以，，即，即，所以，，，設(shè)點(diǎn)Q到線段的距離為，，，，，，令，，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，所以，由此可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q到線段的距離的取值范圍為．6如圖1，，，分別是邊長為4的正方形三邊，，的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，分別連接、就得到了一個(gè)空間五面體（如圖2）.

(1)若是四邊形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；(2)若圖2中的，求直線與平面所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的二面角的余弦值為?若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)；(3)存在，與點(diǎn)重合【分析】（1）取中點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形，結(jié)合線線平行證線面平行即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面夾角即可；（3）利用空間向量研究面面夾角，建立方程計(jì)算參數(shù)即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，

由題意可知且，又因?yàn)槭蔷匦螌?duì)角線的交點(diǎn)，所以且，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)樵趫D1中，，且，，在圖2中上述關(guān)系依然成立，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為軸，軸正向，垂直平面向上方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，所以，又因?yàn)椋矫?，所以，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，則有，取，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)，所以，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，由（2）知平面的一個(gè)法向量，則，又平面與平面所成的二面角的余弦值為，則，即，整理得，解得或（舍去），所以當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，滿足題意，即在棱上存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的二面角的余弦值為7如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)在平面內(nèi)？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)(3)存在；【分析】（1）連接，證明點(diǎn)為的中點(diǎn)即可證明，再根據(jù)線面平行判定定理即可證明；（2）結(jié)合題意，過作平面，以為原點(diǎn)，分別為軸的正方向，利用坐標(biāo)法求解即可；（3）設(shè)，則，利用點(diǎn)滿足即可求解；【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)樵谥比庵校倪呅问瞧叫兴倪呅?，點(diǎn)為的中點(diǎn).所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面所以平面（2）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，且，過作平面，以為原點(diǎn)，分別為軸的正方向，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為（3）設(shè)，則，，由在平面內(nèi)可知，即，解得，所以存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi).8在五面體中，平面，平面．(1)求證：；(2)若，，點(diǎn)到平面的距離為，求平面和平面所成角的大小．(3)在第（2）問條件下，線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成的角為30°．若存在，求的長度，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）運(yùn)用線面平行的判定定理得出線面平行，再由線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行；（2）利用等體積法求出為等腰直角三角形，得出，建立空間直角坐標(biāo)系，利用垂直求出，再求解兩平面的法向量，最后利用向量夾角余弦公式計(jì)算求解即可；（3）設(shè)，結(jié)合平面的法向量，利用向量法求解即可得出的長度．【詳解】（1）證明：平面，平面，，又因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面平面平面?（2）平面，，平面，又平面，.又平面平面，，又平面，平面，，點(diǎn)到平面的距離為，，，即，又因?yàn)?，故，又因?yàn)?，，因此，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立下圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，解得，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，，，則，取，則，則，，，取，則，則，設(shè)平面和平面所成角的大小為，，故.（3）設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成的角為，設(shè)，則，則，由(2)知，平面的法向量為，，整理得，解得，，線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成的角為，此時(shí).9我們規(guī)定：在四面體中，取其異面的兩條棱的中點(diǎn)連線稱為的一條“內(nèi)棱”，三條內(nèi)棱兩兩垂直的四面體稱為“垂棱四面體”.

(1)如左圖，在四面體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，證明：的三條內(nèi)棱交于一點(diǎn).(2)同左圖，若為垂棱四面體，，求直線與平面所成角的正弦值.(3)如右圖，在空間直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)有橢圓，為其下焦點(diǎn)，經(jīng)過的直線與交于兩點(diǎn)，為平面下方一點(diǎn)，若為垂棱四面體，則其外接球表面積是的函數(shù)，求的定義域與最小值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)，【分析】(1)利用兩內(nèi)棱的端點(diǎn)構(gòu)成四邊形為平行四邊形，然后證明兩個(gè)內(nèi)棱相交且互相平分，然后得到三個(gè)內(nèi)棱相交于同一點(diǎn)且互相平分；（2）由定義易證：四邊形為菱形，于是再由中位線定理，其對(duì)棱相等，所以可以補(bǔ)形為長方體，然后建立空間直角坐標(biāo)系求解即可；（3）由（2）易知棱長與外接球表面積的關(guān)系，然后設(shè)，求得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得，得求得然后利用三角形為銳角三角形求得最后求最值即可.【詳解】（1）如圖，連接，

由題可知，平行且等于，平行且等于所以平行且等于所以四邊形為平行四邊形，所以對(duì)角線，為線段中點(diǎn)；同理，為線段中點(diǎn)；故的三條內(nèi)棱交于一點(diǎn).（2）由（1）可知，四邊形為平行四邊形，若為垂棱四面體，則四邊形為菱形，即顯然故同理如圖，將該三棱錐補(bǔ)全為一個(gè)長方體，并建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樗杂兴?設(shè)平面的一個(gè)法向量為易知令，解得所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）易知將補(bǔ)成長方體，設(shè)長寬高分別設(shè)為，則外接球半徑為該長方體的體對(duì)角線長的一半即：，則：顯然，所以設(shè)因?yàn)橹本€過橢圓焦點(diǎn)所以聯(lián)立得顯然由韋達(dá)定理可知，得所以所以整理得得所以由于為某長方體的三個(gè)頂點(diǎn)由余弦定理可知均為銳角顯然中角均為銳角，所以只需角銳