垂徑定理教案一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：*學(xué)生能夠理解并準(zhǔn)確敘述垂徑定理及其推論。*學(xué)生能夠運(yùn)用垂徑定理及其推論解決與圓的弦、直徑、弧相關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題（如計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等）。*學(xué)生能夠初步體會(huì)“輔助線”在解決圓的相關(guān)問(wèn)題中的作用，特別是“作弦心距”這一常用輔助線。2.過(guò)程與方法：*通過(guò)觀察、操作（折紙）、猜想、驗(yàn)證、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷垂徑定理的探究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、觀察能力、分析能力和邏輯推理能力。*在解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：*通過(guò)對(duì)垂徑定理的探究和應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。*在合作與交流中，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和表達(dá)能力。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)*教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理的理解、證明及其應(yīng)用。*教學(xué)難點(diǎn)：*垂徑定理證明思路的形成過(guò)程（特別是如何利用圓的對(duì)稱性）。*垂徑定理的靈活應(yīng)用，以及在復(fù)雜圖形中準(zhǔn)確識(shí)別和運(yùn)用定理的條件。*區(qū)分垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論。三、教學(xué)方法講授法、啟發(fā)式教學(xué)法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、動(dòng)手操作法、多媒體輔助教學(xué)。四、教學(xué)準(zhǔn)備教師：多媒體課件（PPT）、圓形紙片（若干）、直尺、圓規(guī)、三角板。學(xué)生：預(yù)習(xí)課本相關(guān)內(nèi)容、準(zhǔn)備圓形紙片（可自制）、直尺、圓規(guī)、三角板、練習(xí)本。五、教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)引入，創(chuàng)設(shè)情境(約5分鐘)1.復(fù)習(xí)舊知：*提問(wèn)：什么是圓？圓的對(duì)稱軸是什么？（引導(dǎo)學(xué)生回答：圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都是經(jīng)過(guò)圓心的直線。）*提問(wèn)：什么是弦？什么是直徑？什么是??？（強(qiáng)調(diào)直徑是特殊的弦。）2.情境創(chuàng)設(shè)：*展示一張圓形紙片，提問(wèn)：“同學(xué)們，這是一個(gè)圓形紙片，如果我們?nèi)我猱?huà)一條弦AB，現(xiàn)在我想找到一條直徑，使得這條直徑能把弦AB平分，并且還能把弦AB所對(duì)的弧也平分，這條直徑應(yīng)該滿足什么條件呢？”*引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初步猜想，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手嘗試（在自己的圓形紙片上畫(huà)一畫(huà)）。（二）動(dòng)手操作，探究新知(約15分鐘)1.動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：*請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧约簻?zhǔn)備的圓形紙片上任意畫(huà)一條弦AB（不要畫(huà)成直徑）。*過(guò)圓心O作一條直線CD，使CD垂直于AB，垂足為M。*沿著直線CD將圓形紙片對(duì)折，觀察點(diǎn)A和點(diǎn)B是否重合？弧ACB和弧ADB是否重合？弧AC和弧AD是否重合？弧BC和弧BD是否重合？線段AM和線段BM是否重合？*引導(dǎo)學(xué)生匯報(bào)觀察結(jié)果：點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，弧ACB與弧ADB重合，弧AC與弧AD重合，弧BC與弧BD重合，線段AM與線段BM重合。2.提出猜想：*提問(wèn)：根據(jù)剛才的實(shí)驗(yàn)，你能得到什么結(jié)論？*引導(dǎo)學(xué)生歸納：垂直于弦的直徑，平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。*教師板書(shū)學(xué)生的猜想。3.證明猜想（形成定理）：*提問(wèn)：這個(gè)猜想是否一定成立呢？我們需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明。*教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證。*已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為M。*求證：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。*分析證明思路：*思路一（利用軸對(duì)稱性）：因?yàn)镃D是直徑，所以CD是圓的對(duì)稱軸。又因?yàn)镃D⊥AB，所以沿著CD折疊時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合。因此，AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。*思路二（利用全等三角形）：連接OA、OB。因?yàn)镺A=OB（都是半徑），所以△OAB是等腰三角形。又因?yàn)镃D⊥AB于M，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得AM=BM。再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系證明弧相等（或利用全等證明∠AOC=∠BOC，∠AOD=∠BOD，從而得到弧相等）。*教師引導(dǎo)學(xué)生選擇一種方法（如思路一，強(qiáng)調(diào)圓的對(duì)稱性在幾何證明中的重要性）進(jìn)行規(guī)范證明，并板書(shū)證明過(guò)程的關(guān)鍵步驟。*總結(jié)并板書(shū)：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。4.探究推論：*提問(wèn)：如果把垂徑定理的條件和結(jié)論反過(guò)來(lái)，或者交換部分條件和結(jié)論，還成立嗎？例如：“平分弦的直徑是否垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧呢？”*引導(dǎo)學(xué)生思考：如果這條弦是直徑呢？（兩條直徑互相平分，但它們不一定垂直。）*得出結(jié)論：推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。*強(qiáng)調(diào)：推論中的“弦不是直徑”這個(gè)條件是必不可少的。（三）理解定理，辨析應(yīng)用(約10分鐘)1.剖析定理結(jié)構(gòu)：*垂徑定理的條件：（1）直徑（或經(jīng)過(guò)圓心的直線）；（2）垂直于弦。*垂徑定理的結(jié)論：（1）平分弦；（2）平分弦所對(duì)的優(yōu)??；（3）平分弦所對(duì)的劣弧。*用幾何語(yǔ)言表述垂徑定理：*∵在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB于M*∴AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。*強(qiáng)調(diào)：定理中的“直徑”可以廣義地理解為“經(jīng)過(guò)圓心的直線”。2.定理的引申與簡(jiǎn)化記憶：*引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在垂徑定理的條件下，出現(xiàn)了五個(gè)元素：①過(guò)圓心（直徑）、②垂直于弦、③平分弦、④平分弦所對(duì)優(yōu)弧、⑤平分弦所對(duì)劣弧。*提問(wèn)：如果一條直線具備了其中的兩個(gè)條件，是否一定能推出其他三個(gè)結(jié)論呢？（引導(dǎo)學(xué)生課后思考，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊，但本節(jié)課重點(diǎn)掌握“①②推③④⑤”和“①③（非直徑弦）推②④⑤”）*口訣記憶（可選）：“垂徑定理不一般，直徑垂直弦，平分弦與弧?！被颉鞍霃酱怪毕遥箯蕉ɡ盹@，弦被平分了，弧也兩分開(kāi)?！保ㄋ模├}講解，鞏固應(yīng)用(約15分鐘)例1：已知在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離（弦心距）為3cm，求⊙O的半徑。*分析：（1）什么是弦心距？（圓心到弦的距離）*（2）如何將已知條件和所求半徑聯(lián)系起來(lái)？（引導(dǎo)學(xué)生作出弦心距OM，連接OA，構(gòu)造直角三角形OAM）*教師板演畫(huà)圖，規(guī)范書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程：解：過(guò)O作OM⊥AB于M，則OM=3cm，AM=BM=AB/2=4cm。在Rt△OAM中，由勾股定理得：OA2=OM2+AM2OA2=32+42=9+16=25∴OA=5cm即⊙O的半徑為5cm。*強(qiáng)調(diào)：在圓中解決與弦長(zhǎng)、半徑、弦心距有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，常常通過(guò)作“弦心距”這一輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。這是一種非常重要的輔助線添加方法。直角三角形的三邊分別是：半徑R、弦心距d、弦長(zhǎng)的一半(l/2)，它們滿足關(guān)系：R2=d2+(l/2)2。例2：已知⊙O的半徑為5cm，弦AB長(zhǎng)為6cm，求圓心O到弦AB的距離。*學(xué)生嘗試獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，然后請(qǐng)一名學(xué)生板演，師生共同點(diǎn)評(píng)。*答案：距離為4cm。（五）課堂練習(xí)，反饋矯正(約10分鐘)1.⊙O的直徑為10cm，弦AB為8cm，則圓心O到AB的距離為_(kāi)_____cm。（答案：3）2.已知⊙O中，弦CD垂直于直徑AB，垂足為P，AB=10，CD=8，則OP的長(zhǎng)為_(kāi)_____。（答案：3或7，注意弦CD可能在圓心的上方或下方）3.判斷題：*垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧。（×）（缺少“經(jīng)過(guò)圓心”條件）*平分弦的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。（×）（弦可能是直徑）*圓的兩條平行弦所夾的弧相等。（√）（可引導(dǎo)學(xué)生思考如何證明）（六）課堂小結(jié)，知識(shí)梳理(約3分鐘)1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么主要內(nèi)容？（垂徑定理及其推論）2.垂徑定理的內(nèi)容是什么？它的推論呢？3.在運(yùn)用垂徑定理解決問(wèn)題時(shí)，常用的輔助線是什么？（作弦心距，構(gòu)造直角三角形）4.解決弦長(zhǎng)、半徑、弦心距問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？（利用垂徑定理和勾股定理）（七）布置作業(yè)，拓展延伸(約2分鐘)1.必做題：課本練習(xí)題中與垂徑定理直接相關(guān)的題目（具體頁(yè)數(shù)和題號(hào)根據(jù)所用教材確定）。2.選做題：*已知在⊙O中，直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的長(zhǎng)。*思考：如果一條直線具備了“①過(guò)圓心、②垂直于弦、③平分弦、④平分弦所對(duì)優(yōu)弧、⑤平分弦所對(duì)劣弧”中的兩個(gè)條件，是否一定能推出其他三個(gè)結(jié)論？試舉例說(shuō)明。3.預(yù)習(xí)：垂徑定理的其他應(yīng)用。六、板書(shū)設(shè)計(jì)垂徑定理1.復(fù)習(xí)引入：*圓的對(duì)稱性*弦、直徑、弧2.垂徑定理：*內(nèi)容：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。*圖形：(畫(huà)出⊙O，直徑CD，弦AB，CD⊥AB于M)*幾何語(yǔ)言：∵在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB于M∴AM=BM，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。3.推論：*內(nèi)容：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。4.重要關(guān)系：(Rt△中)R2=d2+(l/2)2(R：半徑，d：弦心距，l：弦長(zhǎng))5.例題解析：*例1：(畫(huà)圖，標(biāo)注已知，求解過(guò)程)*解：過(guò)O作OM⊥AB于M……*在Rt△OAM中，OA2=OM2+AM2……*例2：(簡(jiǎn)要過(guò)程或?qū)W生板演區(qū))6.課堂練習(xí)：(預(yù)留空間)七、教學(xué)反思（本部分由授課教師課后根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況填寫(xiě)，主要反思教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施效果、學(xué)生的掌握情況、教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題及改進(jìn)措施等。）*學(xué)生對(duì)定理的探究過(guò)程是否充分？動(dòng)手操作是否有效激發(fā)了學(xué)生的興趣？*定理的證明思路學(xué)生是否清晰？對(duì)圓的對(duì)稱性的應(yīng)用是否理解？*