理論力學CAI版權所有,2002(c)上海交通大學工程力學系理論力學CAI數(shù)學基礎2026/2/51理論力學CAI數(shù)學基礎前言矩陣矢量方向余弦陣平面矢量數(shù)學基礎2026/2/52理論力學CAI數(shù)學基礎前言理論力學中的許多概念與表達式涉及到幾何矢量及其運算矢量的代數(shù)描述及其運算以矩陣為工具對復雜的問題優(yōu)于矢量幾何及其運算理論力學中必須區(qū)分矢量與矩陣的概念。在許多科技著作中并不區(qū)分這兩種數(shù)學量本章簡要介紹本書將要涉及到的有關內容，并統(tǒng)一符號前言2026/2/53理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣矩陣的定義與運算

矩陣的導數(shù)

矩陣2026/2/54理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣的定義與運算矩陣的定義常見的矩陣運算方陣列陣

矩陣/定義與運算2026/2/55理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣的定義將

m×n

個標量

Aij

排列成

m

行，

n

列的表，定義為

m×n

階(維)矩陣矩陣/定義與運算/定義用一黑斜體的大寫字母來表示無法區(qū)分黑白時可加下橫線2026/2/56理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/定義與運算/定義矩陣A的轉置矩陣，記為AT例2026/2/57理論力學CAI數(shù)學基礎常見的矩陣運算矩陣/定義與運算/常見的運算同階矩陣相等矩陣與標量乘同階矩陣求和矩陣乘2026/2/58理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/定義與運算/常見的運算同階矩陣相等Aij=Bij(i=1,

,m;j=1,

,n)？例元素間的關系2026/2/59理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/定義與運算/常見的運算矩陣與標量乘交換律例(i=1,

,m;j=1,

,n)元素間的關系2026/2/510理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/定義與運算/常見的運算同階矩陣求和結合律轉置運算交換律例(i=1,

,m;j=1,

,n)元素間的關系2026/2/511理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/定義與運算/常見的運算矩陣乘(i=1,

,m;j=1,

,n)例元素間的關系2026/2/512理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/定義與運算/常見的運算(i=1,

,m;j=1,

,n)例？2026/2/513理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/定義與運算/常見的運算例(i=1,

,m;j=1,

,n)2026/2/514理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/定義與運算/常見的運算矩陣乘運算律結合律轉置運算分配律求積無交換律2026/2/515理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/方陣方陣：m=n

對角陣方陣的跡方陣2026/2/516理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/方陣例單位陣2026/2/517理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/方陣對稱陣：Aij=Aji

(i,j=1,

,n)例反對稱陣：Aij=-Aji

(i,j=1,

,n)Aii=0

(i=1,

,n)對稱陣反對稱陣2026/2/518理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/方陣非奇異陣與逆矩陣對于方陣A，存在同階方陣B，有稱A為非奇異陣；B為A的逆矩陣，記轉置與逆運算2026/2/519理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/方陣正交陣對于正交陣有滿足如下等式的非奇異陣A

稱為正交陣例A與B互為正交陣+互為逆陣互為轉置陣2026/2/520理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/列陣列陣：只有一列（m個元素）的矩陣為m×

1階矩陣稱為m

階列陣m

階列陣a

的轉置aT

為1×m

階矩陣稱為m

階行陣用一黑斜體的小寫字母來表示

無法區(qū)分黑白時可加下橫線列陣2026/2/521理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/列陣矩陣的列陣分塊表達定義列陣(j=1,

,n)2026/2/522理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/列陣/列陣分塊表達例定義列陣(j=1,

,n)2026/2/523理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/列陣矩陣的行陣分塊表達定義列陣的轉置(i=1,

,m)(i=1,

,m)2026/2/524理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣/列陣/行陣分塊表達例定義列陣(i=1,

,m)2026/2/525理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣的導數(shù)矩陣對時間的導數(shù)矩陣對變量的導數(shù)

矩陣/導數(shù)2026/2/526理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣對時間的導數(shù)元素為時間t的函數(shù)，記為Aij(t)，該矩陣記為A(t)

矩陣/導數(shù)/對時間的導數(shù)矩陣對時間導數(shù)的定義矩陣對時間的導數(shù)為一同階矩陣其各元素為原矩陣的元素Aij(t)對時間的導數(shù)2026/2/527理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣對時間導數(shù)的運算矩陣/導數(shù)/對時間的導數(shù)2026/2/528理論力學CAI數(shù)學基礎例已知矩陣/導數(shù)/對時間的導數(shù)驗證2026/2/529理論力學CAI數(shù)學基礎例已知矩陣/導數(shù)/對時間的導數(shù)驗證2026/2/530理論力學CAI數(shù)學基礎矩陣對變量的導數(shù)標量函數(shù)對變量的偏導數(shù)標量函數(shù)陣對變量的偏導數(shù)

矩陣/導數(shù)/對變量的的偏導數(shù)2026/2/531理論力學CAI數(shù)學基礎標量函數(shù)對變量的偏導數(shù)多變量的標量函數(shù)(多元函數(shù))矩陣/導數(shù)/對變量的偏導數(shù)對于一組（n個）變量，通常引入一n

階列矩陣表示這組變量，即如果有一個標量a，它是這組變量的函數(shù)(n元函數(shù))，記為[例]對于二元函數(shù)引入二階變量陣標量函數(shù)a可表為2026/2/532理論力學CAI數(shù)學基礎標量函數(shù)對變量的偏導數(shù)多變量函數(shù)a

對n

階變量陣q

的偏導數(shù)為一n

階行陣其元素分別為該標量函數(shù)對各自變量qj

的偏導數(shù)矩陣/導數(shù)/對變量的偏導數(shù)[例]對于二階變量陣的標量函數(shù)2026/2/533理論力學CAI數(shù)學基礎標量函數(shù)陣對變量的偏導數(shù)多變量的標量函數(shù)陣矩陣/導數(shù)/對變量的偏導數(shù)對于有n個變量，通常引入一n

階列矩陣表示這組變量，即如果有一個m

階標量函數(shù)列陣它的元素是上述變量的函數(shù)，記為2026/2/534理論力學CAI數(shù)學基礎標量函數(shù)陣對變量的偏導數(shù)多變量的標量函數(shù)陣矩陣/導數(shù)/對變量的偏導數(shù)[例]對于二階變量陣有如下的標量函數(shù)陣2026/2/535理論力學CAI數(shù)學基礎標量函數(shù)陣對變量的偏導數(shù)m

階標量函數(shù)列陣對n

階變量陣q的偏導數(shù)定義為一m×n

階矩陣且矩陣/導數(shù)/對變量的偏導數(shù)q1q2qnF1