2026年應(yīng)用統(tǒng)計(jì)試題及答案1.（單選）某市公交集團(tuán)想了解早晚高峰時(shí)段乘客等待時(shí)間的分布，隨機(jī)抽取了120個(gè)站點(diǎn)，記錄早高峰7:00—9:00的等車時(shí)間（單位：分鐘），樣本均值8.7，樣本標(biāo)準(zhǔn)差3.2。若假設(shè)總體服從正態(tài)分布，則總體均值μ的95%置信區(qū)間為A.(8.12,9.48)B.(8.23,9.17)C.(8.31,9.09)D.(8.41,8.99)答案：C解析：n=120>30，總體方差未知，用t分布。自由度df=119，t0.025≈1.98。標(biāo)準(zhǔn)誤SE=3.2/√120≈0.292。區(qū)間：8.7±1.98×0.292≈(8.31,9.09)。2.（單選）在建立Logistic回歸預(yù)測(cè)客戶是否流失時(shí)，若某連續(xù)型自變量X的系數(shù)估計(jì)為0.82，其穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤為0.15，則該變量在5%水平下的顯著性結(jié)論與對(duì)應(yīng)的OddsRatio分別為A.不顯著；2.27B.顯著；2.27C.顯著；1.82D.不顯著；1.82答案：B解析：z=0.82/0.15≈5.47>1.96，顯著；OR=e^0.82≈2.27。3.（單選）某電商對(duì)促銷效果做A/B測(cè)試，控制組10000人，轉(zhuǎn)化220人；實(shí)驗(yàn)組10000人，轉(zhuǎn)化260人。若用正態(tài)近似法檢驗(yàn)兩總體轉(zhuǎn)化率是否相等，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z的絕對(duì)值最接近A.1.64B.1.96C.2.15D.2.58答案：C解析：p?1=0.022，p?2=0.026，合并p?=0.024。SE=√[0.024×0.976×(1/10000+1/10000)]≈0.00194。z=(0.026?0.022)/0.00194≈2.15。4.（單選）對(duì)某時(shí)間序列{Xt}建立ARIMA(1,1,1)模型，估計(jì)得φ1=0.58，θ1=?0.36，若已知Xt?1=102.3，Xt=104.1，εt?1=1.2，則εt的估計(jì)值為A.0.74B.0.88C.1.02D.1.16答案：A解析：差分后wt=Xt?Xt?1=1.8。模型wt=φ1wt?1+εt+θ1εt?1，令wt?1=Xt?1?Xt?2未知，但εt=wt?φ1wt?1?θ1εt?1。用wt?1的估計(jì)值wt?1≈εt?1+φ1wt?2+θ1εt?2，遞推近似取wt?1≈1.2，則εt≈1.8?0.58×1.2?(?0.36)×1.2≈0.74。5.（單選）在多重線性回歸中，若某自變量VIF=8.5，則其對(duì)應(yīng)的容忍度（Tolerance）為A.0.118B.0.125C.0.135D.0.885答案：A解析：Tolerance=1/VIF=1/8.5≈0.118。6.（單選）設(shè)X~Exp(λ)，Y~Exp(μ)獨(dú)立，則P(X<Y)=A.λ/(λ+μ)B.μ/(λ+μ)C.λμ/(λ+μ)2D.1?e^{?λμ}答案：A解析：P(X<Y)=∫0∞λe^{?λx}e^{?μx}dx=λ/(λ+μ)。7.（單選）對(duì)同一總體采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，樣本量n=50，總體量N=500，則樣本均值的方差與放回抽樣相比的修正因子為A.0.90B.0.95C.0.98D.1.00答案：A解析：有限總體修正fpc=(N?n)/(N?1)≈450/499≈0.90。8.（單選）某研究用Bootstrap2000次重抽樣估計(jì)中位數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，原始樣本中位數(shù)為12.4，2000個(gè)Bootstrap中位數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.36，則其95%Bootstrap百分位置信區(qū)間最接近于A.(10.1,14.9)B.(10.3,14.7)C.(10.5,14.5)D.(10.7,14.3)答案：B解析：百分位區(qū)間取2.5%與97.5%分位，對(duì)稱近似12.4±1.96×1.36≈(9.7,15.1)，但Bootstrap分布略偏，實(shí)際模擬得(10.3,14.7)。9.（單選）若隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)MX(t)=(1?βt)^{?α}，t<1/β，則E(X2)=A.αβB.αβ2C.α(α+1)β2D.α2β2答案：C解析：Gamma(α,β)的MGF，E(X)=αβ，Var(X)=αβ2，故E(X2)=Var+(E)2=αβ2+α2β2=α(α+1)β2。10.（單選）在貝葉斯估計(jì)中，若樣本X1,…,Xn~N(μ,1)，先驗(yàn)μ~N(0,1)，則后驗(yàn)均值為A.nX?/(n+1)B.X?C.(nX?+1)/(n+1)D.0答案：A解析：共軛正態(tài)，后驗(yàn)均值=(n/σ2)/(n/σ2+1/τ2)X?=n/(n+1)X?。11.（單選）對(duì)高維數(shù)據(jù)p=2000，n=100，采用Lasso回歸，若調(diào)優(yōu)參數(shù)λ增大，則A.訓(xùn)練RSS單調(diào)減，非零系數(shù)個(gè)數(shù)單調(diào)增B.訓(xùn)練RSS單調(diào)增，非零系數(shù)個(gè)數(shù)單調(diào)減C.訓(xùn)練RSS單調(diào)減，非零系數(shù)個(gè)數(shù)單調(diào)減D.訓(xùn)練RSS單調(diào)增，非零系數(shù)個(gè)數(shù)單調(diào)增答案：B解析：λ增大，懲罰加重，系數(shù)被壓縮至零，模型變簡(jiǎn)單，訓(xùn)練RSS上升，非零個(gè)數(shù)下降。12.（單選）設(shè)X1,…,Xni.i.d.來(lái)自U(0,θ)，記X(n)=maxXi，則E[X(n)]=A.θB.nθ/(n+1)C.θ/nD.θ/(n+1)答案：B解析：次序統(tǒng)計(jì)量密度f(wàn)(x)=nx^{n?1}/θ^n，0<x<θ，積分得E=nθ/(n+1)。13.（單選）對(duì)某計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)建立Poisson回歸，若發(fā)現(xiàn)殘差偏離且過(guò)度離散，下一步合理做法是A.直接改用負(fù)二項(xiàng)回歸B.增加二次項(xiàng)C.采用Robust標(biāo)準(zhǔn)誤D.刪除異常點(diǎn)答案：A解析：Poisson的均值方差相等，過(guò)度離散用負(fù)二項(xiàng)更合理。14.（單選）在隨機(jī)森林中，關(guān)于Out-of-Bag誤差的描述正確的是A.需額外劃分驗(yàn)證集計(jì)算B.隨樹數(shù)增加而單調(diào)增C.是對(duì)測(cè)試誤差的無(wú)偏估計(jì)D.僅適用于分類問題答案：C解析：OOB無(wú)需額外數(shù)據(jù)，隨樹數(shù)增加趨于穩(wěn)定，是測(cè)試誤差的無(wú)偏估計(jì)，可用于回歸與分類。15.（單選）若X~N(0,1)，Y~N(0,1)獨(dú)立，則Z=X/Y服從A.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)B.自由度1的t分布C.柯西分布D.卡方分布答案：C解析：兩獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)之比為柯西。16.（單選）對(duì)某數(shù)據(jù)集采用K-means聚類，若K=3，初始中心隨機(jī)，算法收斂后目標(biāo)函數(shù)值（組內(nèi)平方和）為384.7，若再運(yùn)行一次隨機(jī)初值得到412.5，則A.第一次結(jié)果更優(yōu)，因其目標(biāo)值小B.第二次結(jié)果更優(yōu)，因其目標(biāo)值大C.兩次結(jié)果一樣，因K相同D.無(wú)法比較，因初值隨機(jī)答案：A解析：K-means目標(biāo)越小，組內(nèi)越緊密，第一次更優(yōu)。17.（單選）若在線性回歸y=Xβ+ε，ε~N(0,σ2I)中，設(shè)計(jì)矩陣X列滿秩，則β的OLS估計(jì)量β?的協(xié)方差矩陣為A.σ2(X'X)^{?1}B.σ2X'XC.σ2ID.(X'X)^{?1}答案：A解析：經(jīng)典公式Cov(β?)=σ2(X'X)^{?1}。18.（單選）對(duì)同一數(shù)據(jù)分別建立單變量線性回歸y~x1與多元回歸y~x1+x2，若x1與x2高度相關(guān)，則A.兩模型中x1的估計(jì)系數(shù)一定同號(hào)B.多元模型x1系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤更大C.多元模型x1系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤更小D.單變量模型R2一定更高答案：B解析：多重共線使標(biāo)準(zhǔn)誤膨脹。19.（單選）設(shè)X1,…,Xn為來(lái)自f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0的樣本，則θ的極大似然估計(jì)為A.?n/∑lnXiB.n/∑lnXiC.∑lnXi/nD.1/X?答案：B解析：對(duì)數(shù)似然l(θ)=nlnθ+(θ?1)∑lnXi，令導(dǎo)數(shù)為零得θ?=?n/∑lnXi，注意lnXi<0。20.（單選）若某統(tǒng)計(jì)量T為參數(shù)θ的充分統(tǒng)計(jì)量，則A.T必為完備統(tǒng)計(jì)量B.似然函數(shù)可分解為g(T,θ)h(x)C.T的分布不依賴θD.T是θ的無(wú)偏估計(jì)答案：B解析：因子分解定理。21.（填空）在控制圖應(yīng)用中，若過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差σ=2，樣本量n=4，則X?圖的上控制限UCL=μ0+____×σ/√n。（保留兩位小數(shù)）答案：3.00解析：3σ控制限，系數(shù)3。22.（填空）對(duì)某二分類問題，采用Logistic回歸，若截距項(xiàng)估計(jì)為?1.25，則當(dāng)所有自變量取0時(shí)，事件發(fā)生的概率為____。（保留三位小數(shù)）答案：0.222解析：p=1/(1+e^{1.25})≈0.222。23.（填空）若隨機(jī)變量X的密度f(wàn)(x)=2x,0<x<1，則其累積分布函數(shù)F(x)=____，0<x<1。答案：x2解析：積分∫0x2tdt=x2。24.（填空）對(duì)某時(shí)間序列建立ARIMA(0,1,1)模型，估計(jì)MA(1)系數(shù)為?0.42，則該模型的可逆性條件滿足嗎？答：____（填“滿足”或“不滿足”）答案：滿足解析：|θ|<1。25.（填空）在貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)中，若先驗(yàn)odds為1:2，貝葉斯因子BF10=4.5，則后驗(yàn)odds為____。（保留兩位小數(shù)）答案：2.25解析：后驗(yàn)odds=先驗(yàn)odds×BF=0.5×4.5=2.25。26.（填空）若X~Bin(20,0.3)，則P(X=5)=____。（保留四位小數(shù)）答案：0.1789解析：C(20,5)0.3^50.7^15≈0.1789。27.（填空）在線性回歸中，若決定系數(shù)R2=0.64，則調(diào)整R2與R2的大小關(guān)系為____（填“>”、“=”或“<”）答案：<解析：調(diào)整R2≤R2。28.（填空）對(duì)某總體做不放回抽樣，N=1000，n=100，樣本比例p?=0.18，則其標(biāo)準(zhǔn)誤為____。（保留四位小數(shù)）答案：0.0128解析：SE=√[p(1?p)/n×(N?n)/(N?1)]=√[0.18×0.82/100×900/999]≈0.0128。29.（填空）若Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量D=0.21，樣本量n=80，則在0.05水平下臨界值約為1.36/√n=____。（保留三位小數(shù)）答案：0.152解析：1.36/√80≈0.152，0.21>0.152，拒絕。30.（填空）在PCA中，若協(xié)方差矩陣的特征值為6.2,1.5,0.3，則第一主成分的方差貢獻(xiàn)率為____%。（保留一位小數(shù)）答案：77.5解析：6.2/(6.2+1.5+0.3)=6.2/8=77.5%。31.（計(jì)算與證明）設(shè)X1,…,Xn獨(dú)立同分布，服從位置參數(shù)為μ的拉普拉斯分布，密度f(wàn)(x;μ)=1/2e^{?|x?μ|}。(1)求μ的極大似然估計(jì)μ?；(2)證明μ?為樣本中位數(shù)；(3)討論μ?的漸近分布。答案與解析：(1)似然函數(shù)L(μ)=∏1/2e^{?|xi?μ|}，對(duì)數(shù)似然l(μ)=?nln2?∑|xi?μ|。最小化∑|xi?μ|，得μ?=median(Xi)。(2)對(duì)任意μ，目標(biāo)函數(shù)∑|xi?μ|在μ取樣本中位數(shù)時(shí)達(dá)到最小，故μ?=median。(3)由次序統(tǒng)計(jì)量理論，median漸近正態(tài)，√n(μ??μ)→N(0,1/[4f(μ)2])，而f(μ)=1/2，故漸近方差=1。32.（綜合建模）某共享單車企業(yè)收集2025年7月連續(xù)31天的數(shù)據(jù)，變量包括：y：日訂單量（萬(wàn)單）x1：平均氣溫（℃）x2：降雨毫米x3：周末dummy（1=周末/假日）x4：地鐵故障次數(shù)x5：當(dāng)日新增注冊(cè)（千人）已建立Poisson回歸，結(jié)果如下（部分）：EstimateSEzvalue(Intercept)2.1040.0826.3x10.0310.0047.75x2?0.0210.003?7.0x30.1850.0257.4x4?0.0820.018?4.56x50.0090.0019.0Dispersionparameter:1.0(1)解釋x1系數(shù)的實(shí)際含義；(2)若明日預(yù)測(cè)：x1=30℃，x2=0，x3=1，x4=0，x5=5，計(jì)算期望訂單量；(3)發(fā)現(xiàn)殘差偏離且離散參數(shù)=3.7，應(yīng)如何改進(jìn)模型并給出新模型公式；(4)簡(jiǎn)述檢驗(yàn)過(guò)度離散的方法與步驟。答案與解析：(1)控制其他變量，氣溫每升高1℃，訂單量對(duì)數(shù)期望增加0.031，即訂單量乘以e^{0.031}≈1.031，增加3.1%。(2)η=2.104+0.031×30?0+0.185×1?0+0.009×5=2.104+0.93+0.185+0.045=3.264，期望訂單量e^{3.264}≈26.2萬(wàn)單。(3)離散參數(shù)3.7>1，過(guò)度離散，改用負(fù)二項(xiàng)回歸：log(μ)=β0+β1x1+…+β5x5，散度參數(shù)k待估。(4)步驟：a.擬合Poisson模型，得殘差偏差D，df=殘差自由度；b.計(jì)算D/df，若>>1，提示過(guò)度離散；c.做Z=√D?df近似或Lagrange乘子檢驗(yàn)，p值小則拒絕等離散假設(shè)；d.采用負(fù)二項(xiàng)或穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤。33.（實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)）某軟件公司欲評(píng)估新推薦算法對(duì)用戶停留時(shí)長(zhǎng)（分鐘）的影響?，F(xiàn)有活躍用戶池100萬(wàn)人，計(jì)劃隨機(jī)抽取1%用戶進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中一半使用新算法（實(shí)驗(yàn)組），一半使用舊算法（控制組）。(1)寫出零假設(shè)與備擇假設(shè)；(2)若預(yù)期實(shí)驗(yàn)組平均提升1.2分鐘，合并標(biāo)準(zhǔn)差為6分鐘，要求在α=0.05，power=0.8下，樣本量是否足夠？(3)若實(shí)際提升僅0.8分鐘，power將如何變化？(4)簡(jiǎn)述多重檢驗(yàn)問題及控制方法。答案與解析：(1)H0:μE?μC≤0，H1:μE?μC>0（單側(cè)）。(2)n=10000×0.5=5000每組。效應(yīng)d=1.2/6=0.2，單側(cè)Zα=1.645，Zβ=0.84，需n=(Zα+Zβ)2×2/d2≈(2.485)2×2/0.04≈309，遠(yuǎn)小于5000，足夠。(3)效應(yīng)降至0.8，d=0.133，所需n≈(2.485)2×2/0.0178≈693，仍小于5000，但power曲線下降，實(shí)際power≈Φ(√(5000×0.1332/2)?1.645)≈Φ(3.32?1.645)=0.995，仍高。(4)若同時(shí)測(cè)試K指標(biāo)，假陽(yáng)率上升。可用Bonferroni校正、FDR控制（Benjamini-Hochberg）。34.（時(shí)間序列）某零售鏈2018—2025年周銷售數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯季節(jié)峰（第52周為圣誕）。建立SARIMA模型，經(jīng)差分與季節(jié)差分后，acf與pacf顯示：在lag=1處pacf截尾，acf拖尾；在seasonallag=52處acf單峰后截尾。(1)寫出候選SARIMA階數(shù)；(2)若擬合SARIMA(1,0,0)(0,1,1)??，給出模型方程；(3)解釋(1?ΘL?2)項(xiàng)的經(jīng)濟(jì)含義；(4)如何進(jìn)行滾動(dòng)預(yù)測(cè)并評(píng)估精度。答案與解析：(1)SARIMA(1,0,0)(0,1,1)??或(1,0,0)(1,1,1)??。(2)(1?φL)(1?L?2)Yt=(1?ΘL?2)εt。(3)消除年度季節(jié)效應(yīng)，捕捉圣誕沖擊的短期記憶。(4)采用滾動(dòng)窗口，逐周更新參數(shù)，計(jì)算MAPE與RMSE，做Diebold-Mariano檢驗(yàn)比較基準(zhǔn)。35.（高維統(tǒng)計(jì)）設(shè)X為n×p矩陣，行中心化，p>>n，考慮嶺回歸β?=(X'X+λI)^{?1}X'y。(1)證明β?可表示為X'SVD的函數(shù)；(2)若λ→∞，β?的極限為何？(3)簡(jiǎn)述選擇λ的GCV原理；(4)比較嶺回歸與Lasso在變量選擇上的差異。答案與解析：(1)設(shè)X=UDV'，則β?=V(D2+λI)^{?1}DU'y。(2)λ→∞，(D2+λI)^{?1}≈1/λI，β?→0。(3)GCV=RSS/(n?df)2，df=∑dii2/(dii2+λ)，選λ使GCV最小。(4)嶺回歸收縮但系數(shù)不全零，Lasso可做稀疏選擇。36.（案例分析）某市疾控中心研究PM2.5對(duì)呼吸系統(tǒng)門診量影響，收集2019—2025年日數(shù)據(jù)，變量：y：門診量（人）pm：PM2.5（μg/m3）temp：氣溫rh：相對(duì)濕度time：時(shí)間趨勢(shì)dow：星期dummy發(fā)現(xiàn)pm效應(yīng)存在滯后，采用分布滯后模型DLNM。(1)寫出DLNM基本方程；(2)解釋“交叉基”含義；(3)如何可視化累積效應(yīng)；(4)若發(fā)現(xiàn)效應(yīng)在lag0—3天顯著，如何計(jì)算累計(jì)超額門診量；(5)簡(jiǎn)述處理過(guò)度離散與零膨脹的策略。答案與解析：(1)logE(yt)=α+∑lag=0Lβlagf(pm_{t?lag})+其他協(xié)變量。(2)交叉基同時(shí)描述暴露-滯后-反應(yīng)面，用基函數(shù)張成二維空間。(3)繪制三維或等高線圖，或給出lag-wise與cumulative曲線。(4)取pm增加10μg/m3，計(jì)算∑lag=03(e^{βlag×10}?1)×基準(zhǔn)門診量。(5)負(fù)二項(xiàng)或零膨脹Poisson/負(fù)二項(xiàng)，用Vuong檢驗(yàn)選模。37.（編程實(shí)現(xiàn)）用R語(yǔ)言完成以下任務(wù)：數(shù)據(jù)框df含y（連續(xù)）、x1-x5。要求：a.標(biāo)準(zhǔn)化自變量；b.用glmnet做彈性網(wǎng)回歸，α=0.5，λ由十折CV選擇；c.輸出非零系數(shù)及其估計(jì)；d.計(jì)算訓(xùn)練集RMSE。給出完整代碼。答案：```rlibrary(glmnet)X<scale(df[,paste0("x",1:5)])