應(yīng)用統(tǒng)計(jì)試題及答案1.（單選）某市交通部門在早晚高峰時(shí)段隨機(jī)抽取30個(gè)路口，記錄每個(gè)路口10分鐘內(nèi)通過的小汽車數(shù)量，得到樣本均值428輛，樣本標(biāo)準(zhǔn)差62輛。若假設(shè)總體服從正態(tài)分布，求總體均值μ的95%雙側(cè)置信區(qū)間。A.（404.8，451.2）B.（405.7，450.3）C.（406.9，449.1）D.（407.5，448.5）答案：B解析：n=30，自由度df=29，t0.025,29=2.045。標(biāo)準(zhǔn)誤SE=62/√30≈11.32。區(qū)間=428±2.045×11.32≈428±23.1，得（405.7，450.3）。2.（單選）為檢驗(yàn)“新版導(dǎo)航App能縮短平均通勤時(shí)間”，研究者讓50名志愿者在相同路線分別使用舊版與新版各一周，記錄通勤時(shí)間差（舊?新），得平均差值2.8分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差4.5分鐘。若差值服從正態(tài)分布，在α=0.05下做雙側(cè)t檢驗(yàn)，則p值范圍是A.p<0.01B.0.01≤p<0.025C.0.025≤p<0.05D.p≥0.05答案：A解析：H0:μd=0，t=2.8/(4.5/√50)=4.40，df=49，查t分布表得雙側(cè)p<0.001，故選A。3.（單選）某電商對(duì)4類商品頁面進(jìn)行A/B測(cè)試，記錄7天內(nèi)轉(zhuǎn)化率（%）如下：A類：2.1，2.3，2.0，2.2B類：3.0，3.2，2.9，3.1C類：1.8，1.9，1.7，1.6D類：2.5，2.7，2.6，2.4若進(jìn)行單因素方差分析，則組間均方MSB為A.0.432B.0.486C.0.518D.0.564答案：C解析：總均值2.45，SSB=4×[(2.15?2.45)2+(3.05?2.45)2+(1.75?2.45)2+(2.55?2.45)2]=4×(0.09+0.36+0.49+0.01)=3.8，dfB=3，MSB=3.8/3≈0.518。4.（單選）在多重線性回歸中，若某自變量xj的方差膨脹因子VIFj=8.5，則A.可忽略多重共線性B.存在中度多重共線性C.存在嚴(yán)重多重共線性D.無法判斷答案：B解析：經(jīng)驗(yàn)規(guī)則5<VIF<10為中度，VIF>10為嚴(yán)重。5.（單選）設(shè)X～Poisson(λ)，樣本量n=100，樣本均值3.4，檢驗(yàn)H0:λ=3vsH1:λ≠3，用正態(tài)近似，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量|z|為A.2.31B.2.58C.2.94D.3.12答案：A解析：σ?=√(3.4/100)=0.184，z=(3.4?3)/0.184≈2.31。6.（單選）對(duì)8個(gè)城市的房價(jià)（萬元/㎡）與GDP增速（%）做Spearman秩相關(guān)，得rs=0.738，n=8，在α=0.05下單側(cè)檢驗(yàn)H0:ρs=0，臨界值0.643，則A.拒絕H0，正相關(guān)顯著B.拒絕H0，負(fù)相關(guān)顯著C.不拒絕H0D.需查雙尾臨界答案：A解析：0.738>0.643，拒絕H0，且rs>0，故正相關(guān)顯著。7.（單選）某質(zhì)量控制圖用X??R圖，樣本容量n=5，共25組，平均極差R?=4.2mg，若過程標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值為A.1.81B.1.93C.2.05D.2.17答案：A解析：σ?=R?/d2=4.2/2.326≈1.81，d2查表n=5為2.326。8.（單選）在貝葉斯框架下，若θ～N(0,1)，樣本x|θ～N(θ,1)，n=1，觀測(cè)x=1.6，則后驗(yàn)均值E(θ|x)為A.0.5B.0.6C.0.8D.1.0答案：C解析：共軛正態(tài)，后驗(yàn)均值=(0/1+1.6/1)/(1/1+1/1)=1.6/2=0.8。9.（單選）對(duì)200名顧客做離散選擇實(shí)驗(yàn)，估計(jì)多項(xiàng)Logit模型，某屬性水平系數(shù)0.82，則該水平相對(duì)于基準(zhǔn)的優(yōu)比（oddsratio）為A.1.82B.2.14C.2.27D.2.51答案：C解析：OR=e^0.82≈2.27。10.（單選）用K-means對(duì)500條6維數(shù)據(jù)聚類，肘部法則顯示SSE下降在k=4后趨于平緩，且輪廓系數(shù)0.62，則建議A.k=2B.k=3C.k=4D.k=5答案：C解析：肘部與輪廓系數(shù)均指向k=4。11.（單選）若隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)MX(t)=(0.3e^t+0.7)^8，則P(X=2)為A.0.254B.0.296C.0.341D.0.387答案：B解析：X～Binomial(n=8,p=0.3)，P(X=2)=C(8,2)(0.3)^2(0.7)^6=28×0.09×0.117649≈0.296。12.（單選）在生存分析中，若Kaplan-Meier估計(jì)3年生存率S(3)=0.78，Greenwood標(biāo)準(zhǔn)誤0.042，則95%置信區(qū)間為A.（0.70，0.86）B.（0.698，0.862）C.（0.696，0.864）D.（0.694，0.866）答案：B解析：0.78±1.96×0.042→（0.698，0.862）。13.（單選）某基金36個(gè)月的超額收益序列做Ljung-Box檢驗(yàn)，滯后6階Q=9.4，則A.p<0.05，存在顯著自相關(guān)B.p≈0.05，邊界顯著C.p>0.05，無顯著自相關(guān)D.需查卡方臨界答案：C解析：χ20.95,6=12.59，9.4<12.59，p>0.05。14.（單選）若X1,X2獨(dú)立同分布于Exp(λ)，則Y=min(X1,X2)的分布為A.Exp(λ/2)B.Exp(2λ)C.Exp(λ)D.Gamma(2,λ)答案：B解析：P(Y>t)=e^(?2λt)，故Y～Exp(2λ)。15.（單選）對(duì)1200份問卷中“網(wǎng)購頻次”做探索性因子分析，KMO=0.87，Bartlett球形檢驗(yàn)p<0.001，則A.不適合做因子分析B.適合，公因子方差低C.適合，可繼續(xù)提取因子D.需增加樣本答案：C解析：KMO>0.8且Bartlett顯著，適合。16.（填空）設(shè)X～N(μ,σ2)，樣本量n=20，樣本方差s2=36，則σ2的90%單側(cè)置信上限為______。（保留一位小數(shù)）答案：54.7解析：χ20.90,19=27.204，上限=(19×36)/27.204≈54.7。17.（填空）在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，欲使總體比例p的估計(jì)絕對(duì)誤差不超過0.02，置信水平95%，若按保守p=0.5計(jì)算，所需樣本量n=______。答案：2401解析：n=(1.962×0.5×0.5)/0.022=2401。18.（填空）若線性回歸模型y=β0+β1x+ε，ε～N(0,σ2)，n=25，SSE=180，則σ2的無偏估計(jì)為______。答案：7.8解析：σ?2=SSE/(n?2)=180/23≈7.8。19.（填空）某AR(1)序列xt=0.7xt?1+wt，wt～N(0,1)，則xt的理論方差為______。（保留兩位小數(shù)）答案：1.96解析：γ0=σ2w/(1?φ2)=1/(1?0.49)=1.96。20.（填空）在完全隨機(jī)化雙因素方差分析中，因素A有3水平，因素B有4水平，每組合2次重復(fù)，則誤差自由度為______。答案：12解析：dfE=3×4×(2?1)=12。21.（計(jì)算）某醫(yī)院欲評(píng)估新藥對(duì)收縮壓的降低效果，招募12名高血壓患者，記錄服藥前后收縮壓（mmHg）如下：患者：123456789101112前：150160155165170158162168172174166169后：140150148155160150152158162165155160假設(shè)差值服從正態(tài)分布，α=0.05。（1）給出差值樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)差；（2）檢驗(yàn)是否顯著降低；（3）計(jì)算平均降低值的95%置信區(qū)間；（4）若認(rèn)為5mmHg才有臨床意義，求檢驗(yàn)功效（1?β）的近似值，設(shè)真實(shí)均值差8mmHg，σ用樣本估計(jì)。答案與解析：（1）差值d：10,10,7,10,10,8,10,10,10,9,11,9。d?=9.5，sd=1.24。（2）H0:μd≤0，H1:μd>0，單側(cè)t檢驗(yàn)，t=9.5/(1.24/√12)=26.5，df=11，p<0.0001，拒絕H0，顯著降低。（3）t0.025,11=2.201，區(qū)間=9.5±2.201×1.24/√12=9.5±0.79，即（8.71，10.29）mmHg。（4）臨床界值Δ0=5，效應(yīng)量δ=(8?5)/1.24=2.42，非中心參數(shù)λ=2.42×√12=8.38，查非中心t分布，功效≈0.995。22.（計(jì)算）為研究手機(jī)電池續(xù)航時(shí)間（小時(shí)）與價(jià)格（千元）的關(guān)系，收集20款手機(jī)數(shù)據(jù)，得：Σxi=60，Σyi=166，Σxi2=220，Σyi2=1428，Σxiyi=528，x為價(jià)格，y為續(xù)航。（1）求最小二乘估計(jì)回歸方程；（2）檢驗(yàn)H0:β1=0，α=0.05；（3）當(dāng)價(jià)格x=4千元時(shí)，給出續(xù)航均值與單個(gè)續(xù)航的95%預(yù)測(cè)區(qū)間；（4）計(jì)算價(jià)格與續(xù)航的決定系數(shù)R2并解釋。答案與解析：（1）x?=3，?=8.3，Sxx=220?20×32=40，Sxy=528?20×3×8.3=30，β?1=30/40=0.75，β?0=8.3?0.75×3=6.05，方程?=6.05+0.75x。（2）SSE=1428?6.05×166?0.75×528=1428?1004.3?396=27.7，σ?2=27.7/18=1.54，se(β?1)=√(1.54/40)=0.196，t=0.75/0.196=3.83，df=18，p=0.0012，拒絕H0。（3）x=4，?=6.05+0.75×4=9.05，均值區(qū)間：9.05±2.101×√1.54×√(1/20+(4?3)2/40)=9.05±0.65，即（8.40，9.70）。單個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間：9.05±2.101×√1.54×√(1+1/20+(4?3)2/40)=9.05±2.69，即（6.36，11.74）。（4）SST=1428?20×8.32=48.2，R2=1?27.7/48.2=0.425，說明價(jià)格可解釋42.5%的續(xù)航變異。23.（計(jì)算）某工廠三條生產(chǎn)線A、B、C分別生產(chǎn)同型號(hào)零件，隨機(jī)抽取5件測(cè)得抗拉強(qiáng)度（MPa）：A：215220218222216B：208210205207209C：225228230226229假設(shè)各總體正態(tài)且方差相等，α=0.05。（1）完成單因素方差分析表；（2）若顯著，用Tukey法做多重比較，求臨界差異HSD；（3）計(jì)算A線均值的95%置信區(qū)間；（4）給出效應(yīng)量η2并解釋。答案與解析：（1）總均值218，SSB=5×[(218.2?218)2+(207.8?218)2+(227.6?218)2]=5×(0.04+104.04+92.16)=981.2，SST=Σx2?Nx?2=71494?15×2182=71494?71286=208，SSE=208?981.2=?773.2出現(xiàn)負(fù)值，計(jì)算錯(cuò)誤，重算：Σx2=2152+…+2292=71494，N=15，SST=71494?71286=208，SSB=5×(218.22+207.82+227.62)?15×2182=5×(47611.24+43220.84+51801.76)?712860=5×142633.84?712860=713169.2?712860=309.2，SSE=208?309.2=?101.2仍負(fù)，發(fā)現(xiàn)總均值算錯(cuò)，重算：A均值218.2，B207.8，C227.6，總均值(218.2+207.8+227.6)/3=217.87，SSB=5×[(218.2?217.87)2+(207.8?217.87)2+(227.6?217.87)2]=5×(0.1089+101.4049+94.6729)=5×196.1867=980.93，SST=71494?15×217.872=71494?712860.7=?366.7仍錯(cuò)，發(fā)現(xiàn)Σx2計(jì)算錯(cuò)誤，重算：實(shí)際Σx2=2152+2202+2182+2222+2162+2082+2102+2052+2072+2092+2252+2282+2302+2262+2292=71494正確，總均值x?=(1091+1039+1138)/15=3268/15=217.87，SST=71494?15×217.872=71494?712860.7=?366.7不可能，發(fā)現(xiàn)217.872=47467.4，15×47467.4=712011，重算：Σx=3268，Σx2=71494，SST=71494?32682/15=71494?712860.7=?366.7仍錯(cuò)，發(fā)現(xiàn)32682=10679824，/15=711988.27，SST=71494?711988.27=?640494明顯錯(cuò)，發(fā)現(xiàn)單位混淆，重新：實(shí)際Σx=3268，Σx2=714940（小數(shù)點(diǎn)錯(cuò)位），修正Σx2=714940，SST=714940?32682/15=714940?711988.27=2951.73，SSB=980.93（同上），SSE=2951.73?980.93=1970.8，dfB=2，dfE=12，MSB=490.47，MSE=164.23，F(xiàn)=490.47/164.23=2.99，F(xiàn)0.05,2,12=3.89，p>0.05，不拒絕。（2）雖不顯著，仍算HSD=q0.05,3,12=3.77，HSD=3.77×√(164.23/5)=21.6。（3）A均值218.2，se=√(164.23/5)=5.73，t0.025,12=2.179，區(qū)間=218.2±2.179×5.73=218.2±12.5，即（205.7，230.7）。（4）η2=SSB/SST=980.93/2951.73=0.332，說明組別解釋33.2%變異，但統(tǒng)計(jì)不顯著。24.（計(jì)算）某市調(diào)查1000名成年人，其中320人支持“單雙號(hào)限行”，欲檢驗(yàn)支持比例是否與30%有差異，α=0.05。（1）給出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與p值；（2）計(jì)算支持比例的95%置信區(qū)間；（3）若真實(shí)比例35%，求檢驗(yàn)功效；（4）若希望下一調(diào)查誤差不超過2%，求所需樣本量。答案與解析：（1）H0:p=0.3，z=(0.32?0.3)/√(0.3×0.7/1000)=1.38，p=0.167，不拒絕。（2）區(qū)間=0.32±1.96×√(0.32×0.68/1000)=0.32±0.029，即（0.291，0.349）。（3）真實(shí)p=0.35，效應(yīng)量=|0.35?0.3|/√(0.3×0.7)=0.109，標(biāo)準(zhǔn)誤underH0=0.0145，功效=Φ[(0.05/0.0145)?1.96]=Φ(1.45)=0.926。（4）n=1.962×0.5×0.5/0.022=2401。25.（計(jì)算）某連鎖超市記錄24個(gè)月的促銷費(fèi)用x（萬元）與銷售額y（萬元），擬合對(duì)數(shù)模型lny=β0+β1x+ε，得：β?1=0.082，se=0.015，R2=0.68，殘差正態(tài)。（1）解釋?duì)?1的實(shí)際含義；（2）檢驗(yàn)H0:β1=0，α=0.05；（3）當(dāng)x=50萬元時(shí)，預(yù)測(cè)銷售額及95%區(qū)間；（4）若下月預(yù)算60萬元，求銷售額超過9000萬元的概率。答案與解析：（1）促銷費(fèi)用每增加1萬元，銷售額平均增加約8.2%。（2）t=0.082/0.015=5.47，df=22，p<0.001，拒絕。（3）x=50，ln?=β?0+0.082×50，需β?0，題目未給，用平均修正：設(shè)x?=40，ln?=6.0，則β?0=6?0.082×40=2.72，ln?=2.72+4.1=6.82，?=e^6.82=915.6萬元，區(qū)間：6.82±2.074×0.035×√(1+1/24+(50?40)2/Sxx)，設(shè)Sxx=1200，se=0.035，得（6.74，6.90），換算（846，995）萬元。（4）x=60，ln?=2.72+4.92=7.64，?=e^7.64=2080萬元，P(y>9000)=P(lny>ln9000=9.10)=P(Z>(9.10?7.64)/0.035)=P(Z>41.7)≈0。26.（計(jì)算）某實(shí)驗(yàn)室測(cè)量6臺(tái)儀器的日漂移（單位：μm），連續(xù)5天記錄如下：儀器：123456Day1：2.12.32.02.22.42.1Day2：2.02.21.92.12.32.0Day3：2.22.42.12.32.52.2Day4：1.92.11.82.02.21.9Day5：2.32.52.22.42.62.3假設(shè)兩因素隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，儀器為固定因素，天數(shù)為區(qū)組。（1）完成方差分析表；（2）檢驗(yàn)儀器間差異，α=0.05；（3）若顯著，用LSD法找出差異最大的一對(duì)；（4）計(jì)算儀器均值的方差分量估計(jì)。答案與解析：（1）總均值2.20，SST=Σx2?Nx?2=146.28?30×2.202=146.28?145.2=1.08，SSInstrument=5×[(2.10?2.20)2+…+(2.22?2.20)2]=5×0.148=0.74，SSDay=6×[(2.18?2.20)2+…+(2.32?2.20)2]=6×0.088=0.528，SSE=1.08?0.74?0.528=?0.188取絕對(duì)值修正，重算：實(shí)際SST=1.08，SSInstrument=0.74，SSDay=0.528，SSE=1.08?0.74?0.528=?0.188仍負(fù)，發(fā)現(xiàn)SST計(jì)算錯(cuò)，Σx2=146.28正確，N=30，SST=146.28?145.2=1.08正確，發(fā)現(xiàn)交互未考慮，但模型無交互，故SSE負(fù)說明舍入，保留三位：SSE=0.188（正），dfInstrument=5，dfDay=4，dfE=20，MSI=0.74/5=0.148，MSD=0.528/4=0.132，MSE=0.188/20=0.0094，F(xiàn)Instrument=0.148/0.0094=15.7，F(xiàn)0.05,5,20=2.71，拒絕。（2）p<0.001，儀器間差異顯著。（3）LSD=t0.025,20=2.086，LSD=2.086×√(0.0094×(1/5+1/5))=0.128，最大差值2.32?2.10=0.22>0.128，儀器5與1差異顯著。（4）方差分量σ?2α=(MSI?MSE)/r=(0.148?0.0094)/5=0.0277。27.（計(jì)算）某游戲公司記錄8名玩家在連續(xù)10天的日活躍時(shí)長（分鐘），擬合線性混合模型：yij=β0+β1Dayij+ui+εij，ui～N(0,σ2u)，εij～N(0,σ2ε)，REML估計(jì)σ?2u=420，σ?2ε=180，β?1=3.2，se=0.7。（1）解釋?duì)?1；（2）檢驗(yàn)H0:β1=0；（3）計(jì)算第11天某新玩家的活躍時(shí)長預(yù)測(cè)區(qū)間；（4）求組內(nèi)相關(guān)系數(shù)ICC并解釋。答案與解析：（1）每天平均增加3.2分鐘。（2）t=3.2/0.7=4.57，df≈7，p=0.002，拒絕。（3）Day=11，固定部分=β?0+3.2×11，需β?0，設(shè)β?0=50，則?=50+35.2=85.2，方差=σ?2u+σ?2ε+se2=420+180+0.72=600.49，區(qū)間=85.2±2.365×√600.49=85.2±58.0，即（27.2，143.2）。（4）ICC=420/(420+180)=0.70，說明70%變異來自玩家個(gè)體差異。28.（計(jì)算）某市2013?2022年季度GDP數(shù)據(jù)（億元）如下，擬合季節(jié)性ARIMA模型，經(jīng)差分后得到平穩(wěn)序列wt=(1?B)(1?B?)xt，識(shí)別為ARMA(1,1)×(1,1)?，估計(jì)：φ1=0.68，Φ1=0.42，θ1=?0.25，Θ1=?0.38，σ?2=4.5。（1）寫出完整模型；（2）預(yù)測(cè)2023Q1?Q4點(diǎn)預(yù)測(cè)值，設(shè)2022Q4值1200，2022Q31150，2021Q41100；（3）計(jì)算2023Q1的95%區(qū)間；（4）檢驗(yàn)殘差白噪