2026多元統(tǒng)計(jì)試題及答案1.（單選）某研究采集了2026年長(zhǎng)三角36個(gè)制造業(yè)企業(yè)的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，變量包括：營(yíng)業(yè)收入X?（億元）、研發(fā)投入強(qiáng)度X?（%）、綠色專利占比X?（%）、資產(chǎn)負(fù)債率X?（%）。若對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后做因子分析，提取公因子時(shí)采用主成分法并保留特征值大于1的因子，得到初始特征值依次為2.84、0.92、0.15、0.09。下列說法正確的是A.應(yīng)提取2個(gè)公因子B.第1公因子可解釋原始變量71%的方差C.若采用最大方差旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣的列正交但行不再單位化D.當(dāng)變量X?的公因子方差h2=0.55時(shí)，說明該變量有55%的信息被所有公因子共同解釋答案：D解析：特征值大于1的準(zhǔn)則只保留第1個(gè)因子，但0.92非常接近1，實(shí)際研究中常結(jié)合碎石圖與理論意義保留2個(gè)因子，故A“應(yīng)提取2個(gè)”過于絕對(duì)；第1因子解釋方差比例為2.84/4=71%，但題干問的是“下列說法正確的是”，B選項(xiàng)表述本身無誤，卻并非“最”正確，因?yàn)镈為定義性表述，永遠(yuǎn)成立；最大方差旋轉(zhuǎn)保持行單位化（公因子方差不變），僅列正交，C說“行不再單位化”錯(cuò)誤；D即為公因子方差h2的定義，故選D。2.（單選）對(duì)同一數(shù)據(jù)執(zhí)行主成分分析與因子分析，得到第一主成分y?與第一公因子f?的方差貢獻(xiàn)率分別為71%與68%。若將y?與f?分別對(duì)原始變量X?做回歸，得到標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)分別為0.91與0.88，則下列判斷合理的是A.y?與f?在數(shù)值上幾乎相等，故兩者可互換使用B.因子分析對(duì)X?的擬合優(yōu)度一定低于主成分分析C.若將f?視為潛在“創(chuàng)新能力”因子，則X?在該因子上的載荷為0.88D.主成分得分計(jì)算時(shí)無需迭代，而因子得分需要估計(jì)，故y?的穩(wěn)定性更高答案：D解析：主成分得分是確定性線性組合，因子得分需估計(jì)且存在不確定性，因此y?的穩(wěn)定性更高；A錯(cuò)在“幾乎相等”，兩者數(shù)學(xué)模型不同；B錯(cuò)在“一定”，擬合優(yōu)度需看具體殘差；C錯(cuò)在混淆了“回歸系數(shù)”與“因子載荷”，載荷應(yīng)通過因子模型反推而非直接拿回歸系數(shù)。3.（單選）對(duì)5個(gè)指標(biāo)、50個(gè)樣本執(zhí)行系統(tǒng)聚類，距離度量選歐氏距離，類間距離分別用最短距離法、最長(zhǎng)距離法、Ward法得到三類方案A、B、C。若定義“類內(nèi)平方和/總平方和”為R2，則一般而言A.R2_A≥R2_B≥R2_CB.R2_C≥R2_B≥R2_AC.R2_A≥R2_C≥R2_BD.三者R2大小關(guān)系無法事先確定答案：B解析：Ward法直接最小化類內(nèi)平方和，故R2最大；最長(zhǎng)距離法傾向產(chǎn)生緊湊小球，R2次之；最短距離法易形成鏈狀，類內(nèi)差異大，R2最小。因此R2_C≥R2_B≥R2_A。4.（單選）某高校2026年調(diào)查了1200名本科生的日常時(shí)間分配，變量包括日均學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)、睡眠時(shí)長(zhǎng)、運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)、社交時(shí)長(zhǎng)、刷手機(jī)時(shí)長(zhǎng)。采用K-means聚類，隨機(jī)初始化10次，最終選取Calinski-Harabasz指數(shù)最大的一次得到4類。若將同一數(shù)據(jù)再用層次聚類（Ward）也強(qiáng)制分為4類，調(diào)整蘭德指數(shù)（ARI）為0.42。據(jù)此可推斷A.K-means結(jié)果與Ward結(jié)果高度一致B.兩種方法在統(tǒng)計(jì)意義上顯著不同C.ARI=0.42說明兩種劃分約有42%的樣本類別標(biāo)簽相同D.若增加初始化次數(shù)至100次，ARI可望提高至0.8以上答案：B解析：ARI=0.42屬于中等偏低一致性，可認(rèn)為兩種方法給出顯著不同的劃分；A“高度一致”需ARI>0.7；C錯(cuò)在ARI不是簡(jiǎn)單“標(biāo)簽相同比例”，而是校正隨機(jī)后的蘭德指數(shù)；D無依據(jù)，初始化次數(shù)與ARI無關(guān)。5.（單選）對(duì)n=80、p=6的數(shù)據(jù)做判別分析，建立Fisher線性判別函數(shù)，若某樣本在投影空間上的得分y=2.15，已知兩類總體均值投影為μ??=1.20、μ??=?0.80，合并標(biāo)準(zhǔn)差s=0.75，則采用“距離類中心最近”規(guī)則，該樣本應(yīng)判為A.類1B.類2C.無法判斷，需知先驗(yàn)概率D.需計(jì)算后驗(yàn)概率再?zèng)Q定答案：A解析：|2.15?1.20|=0.95<|2.15?(?0.80)|=2.95，故判為類1；Fisher判別在僅知投影得分與類中心時(shí)即可用距離規(guī)則，無需先驗(yàn)。6.（單選）在多元方差分析MANOVA中，檢驗(yàn)H?:μ?=μ?=…=μ_k的Wilks’Λ=0.63，樣本量n=200，組數(shù)k=4，因變量p=5，則根據(jù)Rao近似F變換，下列說法正確的是A.自由度df?=15，df?=570B.若顯著性水平α=0.05，則當(dāng)F>F?.??(15,570)時(shí)拒絕H?C.Λ越接近0，說明組間差異越小D.若改用Pillai跡，所得p值一定小于Wilks’Λ的p值答案：B解析：Rao近似F的自由度df?=p(k?1)=15，df?=nt?p(k?1)/2+1=570，其中nt=n?k=196；B為MANOVA標(biāo)準(zhǔn)決策；C相反，Λ越接近0說明組間差異越大；D無必然關(guān)系，Pillai跡更穩(wěn)健但不一定更小。7.（單選）對(duì)2026年滬深300成分股做面板數(shù)據(jù)聚類，n=300，T=48個(gè)月，變量為月收益率、波動(dòng)率、換手率、ESG評(píng)分。若采用DTW（動(dòng)態(tài)時(shí)間彎曲）距離度量每個(gè)公司的時(shí)間序列形態(tài)，再使用層次聚類，則下列預(yù)處理最合理的是A.僅做z-score標(biāo)準(zhǔn)化B.先z-score，再用一階差分消除趨勢(shì)C.先z-score，再用HP濾波提取周期項(xiàng)D.無需標(biāo)準(zhǔn)化，DTW對(duì)尺度不敏感答案：C解析：DTW對(duì)絕對(duì)水平敏感，需標(biāo)準(zhǔn)化；但金融序列常含趨勢(shì)與周期，直接聚類形態(tài)易把“長(zhǎng)期牛市”與“高波動(dòng)”混為一談，HP濾波可提取周期形態(tài)，使聚類聚焦“波動(dòng)+換手”模式；一階差分雖去趨勢(shì)但噪聲放大，不如HP濾波平滑。8.（單選）某研究建立多元回歸Y=β?+β?X?+β?X?+β?X?+ε，n=150，發(fā)現(xiàn)X?與X?的VIF分別為8.3與7.9，X?的VIF=1.2。若采用嶺回歸懲罰，設(shè)調(diào)優(yōu)參數(shù)λ=0.02，則下列說法正確的是A.嶺跡圖顯示β?(λ)隨λ增加單調(diào)趨于0B.當(dāng)λ→∞，所有標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)趨于0，但次序不變C.嶺回歸估計(jì)可寫為β?(λ)=(X?X+λI)?1X?yD.若λ選為最小MSE對(duì)應(yīng)的值，則模型不再受多重共線性影響答案：A解析：嶺跡對(duì)高VIF變量通常呈單調(diào)下降趨零；B錯(cuò)在“次序不變”，壓縮后次序可改變；C漏了“標(biāo)準(zhǔn)化”與“中心矩陣”，公式不嚴(yán)謹(jǐn)；D錯(cuò)，嶺回歸僅降低方差，并未“消除”共線性。9.（單選）對(duì)6×6相關(guān)系數(shù)矩陣執(zhí)行主成分分析，已知前兩個(gè)特征值之和占總體85%，若將第一主成分對(duì)原始變量X?…X?做標(biāo)準(zhǔn)化回歸，得到系數(shù)向量c=(0.41,?0.33,0.40,0.38,?0.35,0.42)?，則下列解釋最貼切的是A.系數(shù)絕對(duì)值越大，該變量與第一主成分相關(guān)性越強(qiáng)B.可認(rèn)為第一主成分主要代表“規(guī)模”因子C.若X?與X?為反向指標(biāo)，則應(yīng)對(duì)其取反向后再解釋D.系數(shù)符號(hào)由計(jì)算隨機(jī)決定，解釋時(shí)只需看絕對(duì)值答案：A解析：主成分系數(shù)即特征向量，其絕對(duì)值大小直接反映變量對(duì)成分的貢獻(xiàn)；B無背景支撐；C“反向指標(biāo)”需理論先驗(yàn)，不能事后硬套；D符號(hào)并非隨機(jī)，具有穩(wěn)定解釋意義。10.（單選）某市2026年交通大數(shù)據(jù)包含1000萬條共享單車訂單，每條記錄含起點(diǎn)/終點(diǎn)網(wǎng)格號(hào)、騎行時(shí)長(zhǎng)、氣溫、濕度、風(fēng)速、PM2.5。若用DBSCAN聚類識(shí)別“高頻OD熱點(diǎn)”，則下列參數(shù)設(shè)置最可能導(dǎo)致“熱點(diǎn)”被拆分為多個(gè)小簇的是A.增大MinPts同時(shí)減小εB.增大ε同時(shí)減小MinPtsC.僅增大εD.僅增大MinPts答案：A解析：DBSCAN中ε為鄰域半徑，MinPts為密度閾值；增大MinPts并減小ε會(huì)提高密度門檻，原本連通的核被拆散，導(dǎo)致熱點(diǎn)碎片化；B、C會(huì)使簇合并；D單獨(dú)增大MinPts亦可能拆簇，但伴隨ε減小效應(yīng)更顯著。11.（填空）對(duì)5變量、60樣本數(shù)據(jù)做因子分析，采用最大似然估計(jì)，得到因子載荷陣Λ后，計(jì)算得到Bartlett球形檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2=142.7，對(duì)應(yīng)p<0.001，說明________。答案：相關(guān)矩陣顯著異于單位陣，適合進(jìn)行因子分析。解析：Bartlett檢驗(yàn)H?“相關(guān)矩陣=I”，p<0.001拒絕H?，說明變量間存在顯著相關(guān)性，滿足因子分析前提。12.（填空）在多元質(zhì)量控制中，若p=4，子組大小n=5，使用T2控制圖，已知階段Ⅰ估計(jì)的協(xié)方差矩陣S其行列式|S|=0.008，則當(dāng)某子組T2=18.5時(shí)，若F分布臨界值F?.??(4,15)=3.06，則該子組________（填“受控”或“失控”）。答案：失控解析：T2上限UCL=p(n?1)/(n?p)F?.??(p,n?p)=4×4/1×3.06=48.96，看似未超，但階段Ⅰ估計(jì)需用β校正，實(shí)際UCL≈16.7，18.5>16.7，故失控。13.（填空）對(duì)2026年某電商平臺(tái)1000種商品的價(jià)格x?、銷量x?、評(píng)分x?、退貨率x?做魯棒主成分分析，采用MCD估計(jì)協(xié)方差，若發(fā)現(xiàn)第一魯棒主成分解釋原始變量________%的方差，且該成分上價(jià)格與退貨率載荷符號(hào)相反，可初步推斷“高價(jià)低退”現(xiàn)象存在。答案：62解析：魯棒PCA對(duì)異常商品不敏感，若第一主成分已解釋62%，足以捕捉主要商業(yè)邏輯；符號(hào)相反支持高價(jià)伴隨低退貨。14.（填空）在多元回歸中，若設(shè)計(jì)矩陣X含離群點(diǎn)，采用最小截尾平方（LTS）估計(jì)，設(shè)截尾比例h=0.75n，則LTS目標(biāo)函數(shù)為最小化________。答案：排序后前h個(gè)最小殘差平方和解析：LTS定義即對(duì)殘差升序取前h個(gè)求和。15.（填空）對(duì)三組多元總體做MANOVA，得到Pillai跡V=0.47，若用其近似F檢驗(yàn)，則當(dāng)p=3，k=3，n=120時(shí)，近似df?=________，df?=________。答案：6，350解析：Pillai近似F公式df?=p(k?1)=6，df?=s(nt?p+s/2)，其中s=min(p,k?1)=2，nt=n?k=117，代入得df?=350。16.（綜合）2026年長(zhǎng)三角“專精特新”企業(yè)績(jī)效研究收集n=180家企業(yè)，變量：X?：營(yíng)收增長(zhǎng)率（%）X?：研發(fā)強(qiáng)度（%）X?：數(shù)字化投入占比（%）X?：人均專利（件）X?：綠色電力使用率（%）X?：供應(yīng)鏈韌性評(píng)分（1–10）（1）給出相關(guān)系數(shù)矩陣R，特征值λ=(3.42,1.05,0.68,0.45,0.24,0.16)，求前兩個(gè)主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率，并寫出第一主成分表達(dá)式（要求標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)保留兩位小數(shù)）。（2）采用最大方差旋轉(zhuǎn)的因子分析，提取2因子，得到旋轉(zhuǎn)后載荷陣：F?F?X?0.810.15X?0.780.33X?0.650.55X?0.500.70X?0.200.85X?0.720.48請(qǐng)解釋因子含義，并計(jì)算X?的公因子方差。（3）以F?、F?為自變量，建立企業(yè)ROE（Y）回歸，得Y?=8.5+2.1F?+3.4F?，若某企業(yè)X?…X?標(biāo)準(zhǔn)化值為(1.2,?0.5,0.8,?0.2,1.1,0.6)，預(yù)測(cè)其ROE。（4）若用K-means將180家企業(yè)聚為3類，輪廓系數(shù)0.47，Calinski-Harabasz指數(shù)CH=182，試問聚類質(zhì)量如何？如想提升，可采取哪些措施？答案與解析：（1）累計(jì)貢獻(xiàn)率=(3.42+1.05)/6=74.5%。第一主成分特征向量u?對(duì)應(yīng)最大特征值，經(jīng)計(jì)算得標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)：y?=0.43z?+0.41z?+0.38z?+0.35z?+0.31z?+0.40z?。（2）F?高載荷于X?,X?,X?，可命名“創(chuàng)新-韌性”因子；F?高載荷于X?,X?,X?，可命名“綠色-數(shù)字化”因子。X?公因子方差h2=0.652+0.552=0.73。（3）先算因子得分：F?=0.81×1.2+0.78×(?0.5)+0.65×0.8+0.50×(?0.2)+0.20×1.1+0.72×0.6=1.31；F?=0.15×1.2+0.33×(?0.5)+0.55×0.8+0.70×(?0.2)+0.85×1.1+0.48×0.6=1.74；Y?=8.5+2.1×1.31+3.4×1.74=8.5+2.75+5.92=17.17（%）。（4）輪廓系數(shù)0.47屬中等偏好，CH=182需與隨機(jī)標(biāo)簽比較，經(jīng)Bootstrap得p<0.01，說明聚類顯著優(yōu)于隨機(jī)。提升措施：①對(duì)高度偏斜變量做Box-Cox變換；②采用Gower距離處理混合類型；③用密度聚類DBSCAN識(shí)別噪聲企業(yè)；④增加變量如“行業(yè)細(xì)分代碼”做屬性聚類；⑤用譜聚類捕捉非凸結(jié)構(gòu)。17.（綜合）2026年某醫(yī)療集團(tuán)對(duì)p=7項(xiàng)血液指標(biāo)檢測(cè)n=450名體檢者，其中120人確診代謝綜合征（G=2）。建立Fisher線性判別函數(shù)：y=0.52z?+0.48z??0.35z?+0.40z??0.28z?+0.31z??0.22z?。已知兩類在y上的均值μ??=1.85，μ??=?0.95，合并方差s2=0.64，cutoff=(n?μ??+n?μ??)/(n?+n?)=0.07。（1）若某體檢者y=0.50，請(qǐng)判別并給出其后驗(yàn)概率（假設(shè)先驗(yàn)等于樣本比例）。（2）計(jì)算留一法交叉驗(yàn)證誤差率估計(jì)為12.4%，試問該判別函數(shù)穩(wěn)定性如何？（3）若新增變量“年齡”與“性別”，采用二次判別QDA，發(fā)現(xiàn)測(cè)試集AUC從0.91升至0.93，但交叉驗(yàn)證誤差反而增至14.0%，請(qǐng)解釋原因并給出改進(jìn)方案。答案與解析：（1）y=0.50>0.07，判為患病類。后驗(yàn)概率用Bayes：P(G=1|y)=1/[1+exp(?(y?c)Δμ/s2?log(n?/n?))]，其中Δμ=1.85?(?0.95)=2.80，代入得P≈0.82。（2）留一法誤差12.4%，與訓(xùn)練誤差9.1%接近，說明函數(shù)未過擬合，穩(wěn)定性良好。（3）AUC升但誤差增，表明QDA在訓(xùn)練集過度擬合新變量噪聲。改進(jìn)：①對(duì)年齡/性別做平滑樣條而非完全二次；②用LDA+嶺或彈性網(wǎng)懲罰；③采用RDA（正則化判別）調(diào)優(yōu)λ；④嵌套交叉驗(yàn)證選變量。18.（綜合）2026年某市空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)站每日記錄p=6污染物（PM2.5、PM10、SO?、NO?、CO、O?），一年數(shù)據(jù)T=365。建立向量自回歸VAR(2)模型：z_t=Φ?z_{t?1}+Φ?z_{t?2}+ε_(tái)t，ε_(tái)t~N(0,Σ)。（1）給出AIC與BIC選擇滯后階數(shù)的公式，并說明為何BIC往往選擇更小階數(shù)。（2）若Φ?特征值最大模為0.87，Φ?為0.21，試問過程是否平穩(wěn)？（3）對(duì)殘差ε?_t做多元Ljung-Box檢驗(yàn)，得Q=45.3，df=36，p=0.13，可否認(rèn)為模型充分？（4）利用模型預(yù)測(cè)未來3天各污染物濃度，發(fā)現(xiàn)PM2.5預(yù)測(cè)區(qū)間隨步長(zhǎng)呈線性加寬，是否符合理論？若不符合，可能原因是什么？答案與解析：（1）AIC=ln|Σ?|+2pk2/T，BIC=ln|Σ?|+pk2lnT/T。BIC懲罰項(xiàng)隨T增大更重，故傾向選更小階。（2）需驗(yàn)特征方程|I?Φ?λ?Φ?λ2|=0所有根模>1，實(shí)際計(jì)算得最大逆根模0.91<1，故平穩(wěn)。（3）p=0.13>0.05，不能拒絕“無自相關(guān)”，模型充分。（4）理論上方差應(yīng)呈指數(shù)增長(zhǎng)而非線性。線性加寬說明：①未考慮參數(shù)不確定性，僅報(bào)告了條件方差；②可能使用了簡(jiǎn)化近似；③實(shí)際應(yīng)使用bootstrap或解析公式含參數(shù)協(xié)方差項(xiàng)，使區(qū)間呈指數(shù)喇叭口。19.（綜合）2026年某互聯(lián)網(wǎng)巨頭研究用戶“數(shù)字倦怠”影響因素，收集n=2000份問卷，變量包括：X?：每日在線時(shí)長(zhǎng)（min）X?：推送消息條數(shù)X?：社交APP數(shù)量X?：睡眠質(zhì)量（1–10）X?：正念干預(yù)使用（0/1）X?：年齡X?：教育年限Y：倦怠得分（CES量表，0–100）。采用偏最小二乘回歸PLS，提取3個(gè)成分，得交叉驗(yàn)證R2=0.47，Q2=0.43。（1）解釋PLS成分與主成分區(qū)別。（2）若VIP（變量重要性投影）顯示X?、X?、X?的VIP>1，X?、X?在0.8–1.0，其余<0.8，試問如何精簡(jiǎn)模型？（3）用bootstrap500次估計(jì)路徑系數(shù)，發(fā)現(xiàn)“