點(diǎn)集拓?fù)淇荚囶}及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.拓?fù)淇臻g中，離散拓?fù)涞拈]集個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.與集合元素個(gè)數(shù)相同D.集合的所有子集個(gè)數(shù)2.設(shè)\(X\)是拓?fù)淇臻g，\(A?X\)，則\(A\)的內(nèi)部是（）A.包含\(A\)的最小開集B.包含\(A\)的最大閉集C.含于\(A\)的最大開集D.含于\(A\)的最小閉集3.拓?fù)淇臻g中，緊致空間的連續(xù)像是（）A.緊致空間B.連通空間C.離散空間D.可分空間4.實(shí)數(shù)空間\(\mathbb{R}\)的通常拓?fù)湎拢蛹痋((0,1]\)的邊界是（）A.\(\{0,1\}\)B.\([0,1]\)C.\((0,1)\)D.\(0\)5.分離公理\(T_2\)又稱作（）A.連通公理B.豪斯多夫公理C.正則公理D.正規(guī)公理6.若\(X\)是有限補(bǔ)空間，\(A\)是\(X\)的無限子集，則\(\overline{A}\)是（）A.\(A\)B.\(X-A\)C.\(X\)D.\(\varnothing\)7.拓?fù)淇臻g\((X,\tau)\)中，\(X\)與\(\varnothing\)是（）A.開集非閉集B.閉集非開集C.既開又閉集D.既非開又非閉集8.設(shè)\(f:X→Y\)是連續(xù)映射，且\(X\)是道路連通的，則\(Y\)是（）A.緊致的B.道路連通的C.離散的D.可分的9.在平面\(\mathbb{R}^2\)的通常拓?fù)湎拢瑔挝粓A盤\(\{(x,y)|x^2+y^2<1\}\)是（）A.開集B.閉集C.既開又閉集D.既非開又非閉集10.若拓?fù)淇臻g\(X\)有可數(shù)基，則\(X\)是（）A.緊致空間B.可分空間C.連通空間D.離散空間多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是拓?fù)淇臻g的性質(zhì)（）A.緊致性B.連通性C.可分性D.對(duì)稱性2.拓?fù)淇臻g的分離公理包括（）A.\(T_0\)B.\(T_1\)C.\(T_2\)D.\(T_3\)3.關(guān)于拓?fù)淇臻g中的閉集，正確說法有（）A.有限個(gè)閉集的并是閉集B.任意個(gè)閉集的并是閉集C.有限個(gè)閉集的交是閉集D.任意個(gè)閉集的交是閉集4.設(shè)\(f:X→Y\)是拓?fù)淇臻g之間的映射，\(f\)連續(xù)的等價(jià)條件有（）A.對(duì)于\(Y\)中任意開集\(U\)，\(f^{-1}(U)\)是\(X\)中開集B.對(duì)于\(Y\)中任意閉集\(F\)，\(f^{-1}(F)\)是\(X\)中閉集C.對(duì)于\(X\)中任意開集\(V\)，\(f(V)\)是\(Y\)中開集D.對(duì)于\(X\)中任意閉集\(G\)，\(f(G)\)是\(Y\)中閉集5.下列空間可能是緊致空間的有（）A.有限拓?fù)淇臻gB.實(shí)數(shù)空間\(\mathbb{R}\)的閉區(qū)間\([a,b]\)C.離散拓?fù)淇臻gD.可數(shù)補(bǔ)拓?fù)淇臻g6.拓?fù)淇臻g的連通性與道路連通性的關(guān)系是（）A.道路連通一定連通B.連通一定道路連通C.不連通一定不道路連通D.不道路連通一定不連通7.關(guān)于拓?fù)淇臻g的基，正確的有（）A.基中元素的并可構(gòu)成拓?fù)渲兴虚_集B.基中元素的交可構(gòu)成拓?fù)渲兴虚_集C.一個(gè)拓?fù)淇臻g可能有多個(gè)基D.離散拓?fù)淇臻g的所有單元素集構(gòu)成一個(gè)基8.若\(A,B\)是拓?fù)淇臻g\(X\)的子集，則下列等式可能成立的有（）A.\(\overline{A∪B}=\overline{A}∪\overline{B}\)B.\(\overline{A∩B}=\overline{A}∩\overline{B}\)C.\((A∪B)^{\circ}=A^{\circ}∪B^{\circ}\)D.\((A∩B)^{\circ}=A^{\circ}∩B^{\circ}\)9.以下映射可能是同胚映射的有（）A.恒等映射B.連續(xù)的一一映射C.連續(xù)且逆連續(xù)的一一映射D.把區(qū)間\((0,1)\)映到\(\mathbb{R}\)的映射10.設(shè)\(X\)是拓?fù)淇臻g，\(A?X\)，\(A\)的聚點(diǎn)\(x\)滿足（）A.\(x\)的任意鄰域與\(A-\{x\}\)相交非空B.\(x\)的任意開鄰域與\(A-\{x\}\)相交非空C.\(x\)是\(A\)的內(nèi)點(diǎn)D.\(x\)是\(A\)的邊界點(diǎn)判斷題（每題2分，共10題）1.離散拓?fù)淇臻g中的任意子集都是既開又閉的。（）2.拓?fù)淇臻g的緊致性在連續(xù)映射下保持不變。（）3.若拓?fù)淇臻g\(X\)是連通的，則\(X\)不能表示為兩個(gè)非空不相交開集的并。（）4.實(shí)數(shù)空間\(\mathbb{R}\)的通常拓?fù)湎?，\([0,1)\)是閉集。（）5.拓?fù)淇臻g中，一個(gè)集合的閉包是包含它的最小閉集。（）6.分離公理\(T_1\)空間中，任意單點(diǎn)集是閉集。（）7.道路連通性是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)。（）8.若\(f:X→Y\)是連續(xù)映射，且\(X\)緊致，\(Y\)是\(T_2\)空間，則\(f\)是閉映射。（）9.拓?fù)淇臻g的基是唯一的。（）10.可數(shù)補(bǔ)拓?fù)淇臻g中，有限集是閉集。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述拓?fù)淇臻g中緊致性的定義。2.什么是拓?fù)淇臻g的連通性？3.說明拓?fù)淇臻g中連續(xù)映射的定義。4.簡述分離公理\(T_2\)空間的特點(diǎn)。討論題（每題5分，共4題）1.討論緊致性與有界性在實(shí)數(shù)空間中的聯(lián)系與區(qū)別。2.探討拓?fù)淇臻g的連通性和道路連通性在應(yīng)用中的差異。3.分析連續(xù)映射在拓?fù)淇臻g研究中的重要性。4.談?wù)劮蛛x公理在拓?fù)淇臻g分類中的作用。答案單項(xiàng)選擇題1.D2.C3.A4.A5.B6.C7.C8.B9.A10.B多項(xiàng)選擇題1.ABC2.ABCD3.ACD4.AB5.AB6.AC7.ACD8.ACD9.CD10.AB判斷題1.√2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.√簡答題1.拓?fù)淇臻g\(X\)是緊致的，若\(X\)的任意開覆蓋都有有限子覆蓋，即對(duì)\(X\)的任意開集族\(\{U_{\alpha}\}\)滿足\(X=\cup_{\alpha}U_{\alpha}\)，存在有限個(gè)指標(biāo)\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)使\(X=U_{\alpha_1}\cupU_{\alpha_2}\cup\cdots\cupU_{\alpha_n}\)。2.拓?fù)淇臻g\(X\)是連通的，若\(X\)不能表示為兩個(gè)非空不相交開集的并，即不存在非空開集\(U,V\)使\(X=U\cupV\)且\(U\capV=\varnothing\)。3.設(shè)\(f:X→Y\)是拓?fù)淇臻g\(X\)到\(Y\)的映射，若對(duì)于\(Y\)中任意開集\(U\)，\(f^{-1}(U)\)是\(X\)中開集，則稱\(f\)是連續(xù)映射。4.\(T_2\)空間又稱豪斯多夫空間，對(duì)空間中任意兩個(gè)不同點(diǎn)\(x,y\)，存在不相交的開鄰域\(U\)和\(V\)，使\(x\inU\)，\(y\inV\)，分離性較好。討論題1.聯(lián)系：在實(shí)數(shù)空間中，緊致集一定有界。區(qū)別：有界集不一定緊致，如\((0,1)\)有界但不緊致，而閉區(qū)間\([a,b]\)既緊致又有界。2.連通性更具一般性，道路連通性更