第=page11頁，共=sectionpages11頁廣東省廣州市增城區(qū)2025-2026學年九年級上學期1月期末數(shù)學試題一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.2025年10月23日22時30分，我國在文昌航天發(fā)射場使用長征五號運載火箭成功將通信技術(shù)試驗衛(wèi)星二十號發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功．下列航天領(lǐng)域的圖標中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.拋物線的頂點坐標是（

）A. B. C. D.3.在函數(shù)y=圖象上的點是().A.(2,4) B.(-2,-4) C.(1,6) D.(6,6)4.如圖，⊙O直徑CD為10，弦AB⊥CD，垂足為M，AB=8，則CM的長為（）A.2

B.3

C.4

D.5

5.小明與同學做“拋擲圖釘試驗”,獲得數(shù)據(jù)如下:拋擲次數(shù)n1003005007008009001000釘尖著地的頻數(shù)m36111190266312351390釘尖著地的頻率根據(jù)以上數(shù)據(jù),當拋擲圖釘1500次時,估計“釘尖著地”的次數(shù)為().A.540 B.555 C.570 D.5856.關(guān)于x的方程根的情況為（

）A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根7.設(shè)A(-2,),B(1,),C(2,)是反比例函數(shù)y=-圖象上的三點,則,,的大小關(guān)系為().A.>> B.>> C.>> D.>>8.某數(shù)學興趣小組學習了相似三角形的知識后,在同一時刻的太陽光線下,利用標桿測量樹的高度.移動標桿向樹靠近,讓標桿的影子頂端與樹的影子頂端重合于點E,如圖,已知標桿CD=m,測得CE=m,BC=m,則樹高AB為().

A.m B.m C.m D.m9.如圖所示，在中，，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點A，B的對應(yīng)點分別為D，E，連接．當點A，D，E在同一直線上時，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（）

A. B. C. D.10.如圖1是玻璃水杯的截面圖，其左右輪廊線，為某拋物線的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如圖2，將盛有部分水的水杯傾斜，水面正好經(jīng)過點（即）．嘉淇在圖1中建立了平面直角坐標系（拋物線的頂點在y軸上），對于下列結(jié)論，其中不正確的是（

）

A.玻璃水杯輪廊線所在拋物線的解析式為

B.直線的解析式為

C.點到杯口的距離為

D.點到點的距離為二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.已知，，，則的度數(shù)為

．12.已知，是一元二次方程的兩個根，則

．13.如圖，在中，點，分別在，上，，若，則

．

14.若二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，關(guān)于的一元二次方程的一個解，則另一個解

．

15.在認識圓錐主題活動課上，芳芳用半徑，圓心角的扇形紙板，做了一個圓錐形的生日帽，如圖所示．在不考慮接縫的情況下，這個圓錐形生日帽的高是

．

16.如圖，點A在雙曲線上，點B在直線上，A與B關(guān)于x軸對稱，直線l與y軸交于點C，當四邊形是菱形時，有以下結(jié)論：①

②當時，③

④則所有正確結(jié)論的序號是

．

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題4分)

用求根公式解方程x2-6x+5=0.18.(本小題4分)如圖，若，．求證：．

19.(本小題6分)如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為，，．

(1)畫出關(guān)于原點O對稱的；(2)寫出，，三個點的坐標．20.(本小題6分)在一次綜合實踐活動課上，小明設(shè)計了一個探究杠桿平衡條件的裝置．左邊固定的托盤中放置一個重物，右邊可左右移動的托盤中放置若干數(shù)量的砝碼．改變托盤與之間的距離（單位：），調(diào)整托盤中砝碼的總質(zhì)量（單位：），使裝置重新在水平位置平衡（平衡時遵循杠桿的平衡條件），根據(jù)實驗結(jié)果得到的數(shù)據(jù)如下表格：托盤與點之間的距離/托盤中砝碼的總質(zhì)量/(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從你所學的函數(shù)中選擇一個函數(shù)，使它能近似反映砝碼總質(zhì)量關(guān)于托盤與點之間的距離的函數(shù)關(guān)系，并求出這個函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)（1）中求出的函數(shù)解析式，當托盤與點之間的距離為時，求托盤中砝碼的總質(zhì)量．21.(本小題8分)

第十五屆全國運動會在粵港澳三地舉行．甲和乙申請足球A、籃球B、排球C和乒乓球D四項賽事中的某一項做志愿者，他們被隨機分配到這四項賽事中的任意一項的可能性相同．(1)寫出“甲被分配到乒乓球賽事做志愿者”的概率；(2)求甲和乙恰好被分配到同一項賽事做志愿者的概率．22.(本小題10分)

2025年我國國產(chǎn)動畫電影《哪吒之魔童鬧?！匪⑿铝酥袊娪捌狈康募o錄，商家推出A、B兩款“哪吒”紀念品，已知購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元．(1)求A、B兩款“哪吒”紀念品每個進價分別為多少元？(2)在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)每個A款紀念品售價60元時，可售出200個，售價每增加1元，銷售量將減少5個．設(shè)每個A款紀念品售價元，W表示該商家銷售A款紀念品的利潤（單位：元），求W關(guān)于a的函數(shù)表達式，并求出W的最大值．23.(本小題10分)如圖所示，為的直徑，在中，，交于點，過點作，垂足為點．

(1)證明是的切線；(2)，為上一點，到弦的最大距離為8．①尺規(guī)作圖作出此時的點，保留作圖痕跡；②求的長．24.(本小題12分)

在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，兩點，與軸交于點，點是拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的表達式；(2)若點P在第一象限，當?shù)拿娣e最大時，求點P的坐標；(3)過點作軸的垂線交直線于點，連接，將沿直線翻折，當點的對應(yīng)點恰好落在軸上時，請直接寫出此時點的坐標．25.(本小題12分)如圖1，正方形的邊長為4，以B為圓心的與，分別交于點E，F(xiàn)，連接，．

(1)求的長；(2)連接，把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中．①求的取值范圍；②如圖2，取的中點G，連接并延長交直線于點H，點P為正方形內(nèi)一動點，求的最小值．

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】②③

17.【答案】解：a=1，b=-6，c=5．

b2-4ac=36-20=16＞0．

∴，

即x1=5，x2=1．

18.【答案】證明：，，，，．

19.【答案】【小題1】解：如圖所示，即為所求；【小題2】解：由（1）得，，，．

20.【答案】【小題1】解：根據(jù)表格，的值恒定，則選擇反比例函數(shù)表示與的關(guān)系，設(shè)反比例函數(shù)為，將，代入，可得，故反比例函數(shù)為．【小題2】解：對于反比例函數(shù)為，當時，，故當托盤與點之間的距離為時，托盤中砝碼的總質(zhì)量為．

21.【答案】【小題1】解：所有可能情況有4種，其中“甲被分配到乒乓球賽事做志愿者”的可能情況有1種，“甲被分配到乒乓球賽事做志愿者”的概率；【小題2】解：畫樹狀圖如圖：共有種可能的結(jié)果，且每種結(jié)果的可能性相同，其中甲和乙被分配到同一項賽事做志愿者的結(jié)果有種，（甲和乙被分配到同一項賽事做志愿者）；答：甲和乙被分配到同一項賽事做志愿者的概率是．

22.【答案】【小題1】解：設(shè)A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，由題意得，，解得，答：A款“哪吒”紀念品每個進價為40元，B款“哪吒”紀念品每個進價為20元；【小題2】解：由題意得，，∵，，∴當，即時，W最大，最大值為4500．

23.【答案】【小題1】證明：連接，，∵為的直徑，∴．又∵，是等腰三角形，∴，∴是的中位線，∴．又∵，∴，∵為半徑，∴是的切線．【小題2】解：①如圖，做的垂直平分線與相交于點，點即為所求．②如圖，的垂直平分線與相交于點，連接，∵，∴．設(shè)的半徑為r，在中，，即解得，∴．∵是的中位線，∴．∵為的直徑，∴．又∵，是等腰三角形，∴，∴．在中，，∴．

24.【答案】【小題1】解：將代入，∴，解得，∴函數(shù)的解析式為；【小題2】解：過點P作x軸的垂線交直線于點M，當時，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴當時，的值最大為8，此時點P的坐標為；【小題3】解：由折疊可知，，∵在y軸上，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，解得或，∴點的坐標為或．

25.【答案】【小題1】解：四邊形是正方形，，，