第四節(jié)用樣本估計(jì)總體

預(yù)習(xí)⑤知識(shí)排查?雙基落實(shí)抓牢基吆?贏得良好開嬪

【知識(shí)重溫】

一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.頻率分布直方圖

(1)通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種.一種是用樣本的①_______估計(jì)總體的分

布.另一種是用樣本的②________估計(jì)總體的數(shù)字特征.

(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示③________,數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形

的④________表示.各小長(zhǎng)方形的面積總和⑤________.

(3)連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.隨著

?的增加，作圖時(shí)所分的⑦增加，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來越接近

于一條光滑的曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為⑧________________,它能夠更加精細(xì)地反映出總體在各

個(gè)范圍內(nèi)取值的⑨________.

(4)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)?，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且

可以隨時(shí)記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表木都帶來方便.

2.眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)

(1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)⑩_______的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在?________位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩

個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的?_______.

(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).即:二?.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)

左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該?_______.

3.樣本方差，標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差_____________________________________

22

s=T)+(X2—T)H-F(.%—T)2],

其中凡是樣本數(shù)據(jù)的第〃項(xiàng)，〃是樣本容量，工是?.標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動(dòng)大

小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方.通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)樣本容量?

總體容量時(shí)，樣本方差越接近總體方差.

二、必明1個(gè)易誤點(diǎn)

不要把直方圖錯(cuò)認(rèn)為袋形圖，兩者的區(qū)別在「條形圖是離散隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)刻度為頻

數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)刻度為頻率/組距，連續(xù)隨機(jī)變量在某一點(diǎn)上是沒

有頻率的.

【小題熱身】

一、判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“X”).

(1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率.()

(2)頻率分布直方圖中各個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和為1.()

(3)莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次.()

(4)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).()

(5)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大.()

二、教材改編

2.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,

可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）

A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為2

B.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2,方差為

D.中位數(shù)為3,方差為

3.已知一組數(shù)據(jù)，則該組數(shù)據(jù)的方差是

三、易錯(cuò)易混

4.把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：[10,20）,2；[20,30）,3；[30,40）,

4；[40,50）,5；[50,60）,4；[60,70],2,則在區(qū)間[10,50）上的數(shù)據(jù)的頻率是（）

A.0.05B.

C.0.5D.

5.若數(shù)據(jù)即，工2,對(duì)…，X”的平均數(shù)x=5,方差《=2,則數(shù)據(jù)3xi+1,3-V2+1,3X3+1,…，

34+1的平均數(shù)和方差分別為.

四、走進(jìn)高考

6.[2019.全國(guó)卷II]演濟(jì)比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成

績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉I個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9

個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

|考點(diǎn)一|樣本的數(shù)字特征[自主練選型]

1.[2018?江蘇卷]

已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的

平均數(shù)為.

2.[2021?甘肅、青海、寧夏聯(lián)考]從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：厘

米）分布情況匯總?cè)缦拢?/p>

身高(100,110](110,120](120,130](130,140](140,150]

頻數(shù)535302010

由此表估計(jì)這100名小學(xué)生身高的中位數(shù)為（結(jié)果保留4位有效數(shù)字）（）

A.119.3B.

C.123.3D.

3.[2021.惠州市調(diào)研考試試題]某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取了10（）個(gè)產(chǎn)品為

樣本.若樣本數(shù)據(jù)41，X2，…，xioo的方差為8,則數(shù)據(jù)—…，2xi（x）—1的方差為

（）

A.8B.15

C.16D.32

悟?技法

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義及計(jì)算公式

(I)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明地描述，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)的大小.

(2)平均數(shù)、方差的公式推廣.

①若數(shù)據(jù)汨，…，%的平均數(shù)為x,那么"Lti+a,“g+a,〃優(yōu)3+d…，〃優(yōu)”+〃的

平均數(shù)是mx+〃.

②數(shù)據(jù)X|,X2,…，-%的方差為s2.

(i)數(shù)據(jù)xi+a,X2+4…的方差也為《；

(ii)數(shù)據(jù)ax\,以2,…,QXn的方差為a2s2.

(3)方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式.

s2=%(X，+.RH----F需)一/?X2］或?qū)懗?2='X?+京H---1?需)一X2,即方差等于原數(shù)據(jù)平方

的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

考點(diǎn)二莖葉圖［自主練透型］

4.［2021?廣東廣雅中學(xué)、江西南昌二中聯(lián)考］某市重點(diǎn)中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩

個(gè)小組，在一次階段考試口兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是

88,乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89,則〃?+〃的值是()

A.10B.11

C.12D.13

5.［2021.陜西商洛質(zhì)檢］在一次千米的自行車個(gè)人賽中，25名參賽選手成績(jī)(單位：分鐘)

的莖葉圖如圖所示，現(xiàn)將參賽選手按成績(jī)由好到差編為1?25號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中

選取5人，已知選手甲的成績(jī)?yōu)?5分鐘，若甲被選取，則被選取的其余4名選手的成績(jī)的平

均數(shù)為()

A.95B.96

C.97D.98

悟?技法

莖葉圖的應(yīng)用

(1)莖葉圖中的“莖”上的數(shù)字代表十位上的數(shù)字，“葉”上的數(shù)字代表個(gè)位上的數(shù)字(若沒有

則表示該數(shù)據(jù)不存在)：

(2)解題時(shí)，可把莖葉圖中的數(shù)字按大小順序轉(zhuǎn)化為總體的個(gè)體數(shù)字再求解.

考點(diǎn)三頻率分布直方圖［互動(dòng)講練型］

［例I］［2020?天津卷］從一批零件中抽取8()個(gè)，測(cè)量其直徑(單位：mm),將所得數(shù)據(jù)分

為9組：［5.31,5.33),,5.35),…，［5.45,5.47),［5.47,5.49］,并整理得到如下頻率分布直方圖,

則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間［5.43,5.47)內(nèi)的個(gè)數(shù)為()

A.10B.18

C.20D.36

悟?技法

1.繪制頻率分布直方圖時(shí)的2個(gè)注意點(diǎn)

(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗(yàn)該表是否正確.

頻率

(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是而不是頻率.

2.由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握的2個(gè)關(guān)系式

頻率

(1)血血X組距=頻率.

頻數(shù)頻勒1

(2)樣本卷量=頻率,此關(guān)系式的變形為瑞=樣本容量，樣本容量X頻率=頻數(shù).

［變式練1—(著眼于舉一反三)

1.［2021?長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試］某學(xué)校對(duì)本校高三500名學(xué)生的視力進(jìn)行了一次調(diào)查，隨

機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，得到的頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖后四組

的頻數(shù)成等差數(shù)列，則估計(jì)本校高三這500名學(xué)生中視力在以上(含4.8)的人數(shù)為()

A.185B.180

C.195D.200

考點(diǎn)四|扇形圖與折線圖［互動(dòng)講練型］

［例2］(1)［2018?全國(guó)卷I］某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，

實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)

村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅狀圖：

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

（2）［2021?山東濟(jì)寧模擬］如圖為某市國(guó)慶節(jié)7天假期的樓房認(rèn)購(gòu)量與成交量的折線圖，小

明同學(xué)根據(jù)折線圖對(duì)這7天的認(rèn)購(gòu)量（單位：套）與成交量（單位：套）作出如下判斷，其中判斷

正確的是（）

A.日成交量的中位數(shù)是26

B.日成交量超過日平均成交量的有2天

C.認(rèn)購(gòu)量與日期正相關(guān)

D.10月7日認(rèn)購(gòu)量的增幅大于10月7日成交量的增幅

悟?技法

（1）通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.

（2）折線圖可以顯示隨時(shí)間（根據(jù)常用比例放置）而變化的數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等

時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì).

［變式練］——（著眼于舉一反三）

2.［2021.開封市第一次模擬考試］某省普通高中學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)由高分到低分按人數(shù)所

占比例依次分為A,B,C,D,E五個(gè)等級(jí)，4等級(jí)15%,8等級(jí)30%,C等級(jí)30%,D,E

等級(jí)共25%.其中七等級(jí)為不合格，原則上比例不超過5%.該省某校高二年級(jí)學(xué)生都參加學(xué)業(yè)

水平考試，先從中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示.若該校高

二年級(jí)共有1000名學(xué)生，則估計(jì)該年級(jí)拿到C等級(jí)及以上級(jí)別的學(xué)生人數(shù)為（）

A.45B.660

C.880D.900

3.某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每人最高氣溫平均值與最低氣溫平均值(單位：C)

數(shù)據(jù),

那么，下列敘述不正確的是(

A.各月最高氣溫平均俏與最低氣溫平均俏總體呈正相關(guān)

B.全年中，2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大

C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10C的月份有5個(gè)

D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢(shì)

第四節(jié)用樣本估計(jì)總體

【知識(shí)重溫】

①頻率分布②數(shù)字特征嚼毒④面積

⑤等于1⑥樣本容量⑦組數(shù)⑧總體密度曲線⑨百分比⑩最多?最中間

?中位數(shù)?：(即+通+…+.)?相等

?平均數(shù)?接近

【小題熱身】

1.答案：(1)X(2)7(3)X(4)7

(5)V

2.答案：C

3.解析：5個(gè)數(shù)的平均數(shù)7=錯(cuò)誤!=，所以它們的方差?=錯(cuò)誤!-5.])2+-5.])2+-5.])2

+-5.1)2+-5.1)21=0.1.

答案：

4.解析：由題意知，在區(qū)間[1(),50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2+3+4+5=14,故其頻率為珠=

0.7

答案：D

5.解析：??加，照，X3,…，*的平均數(shù)為5,…=5,

3xi+312+34+???+3★,一、乂7

-----------------------------1=3X5+1=16,Vxi,X2,X3,,,,,x”的方差為2,3x\4-1,3xz

+1,3x34-1,…，34+1的方差是32X2=18.

答案：16,18

6.解析：記9個(gè)原始評(píng)分分別為a,b,c,d,e,fg,〃，/?（按從小到大的順序排列），

易知e為7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.

答案：A

課堂考點(diǎn)突破

考點(diǎn)一

1.1?析：這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)分別是89,89,90,91,91,因此這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平

m289+89+90+91+91

均數(shù)為---------c------------=90.

答案：90

2.解析：本題考查中位數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由題意知身高在（100,110］,

（II。,125,（12。,13。］的頻率依次為，前兩組頻率和為，組距為1U,設(shè)中位數(shù)為。則（x-120）X,l。）

=,解得xg123.3.故選C.

答案：C

3.解析：樣本數(shù)據(jù)箝，孫…，Moo的方差為8,則數(shù)據(jù)20一1,2x2—1,…，Zrioo-1的

方差為22X8=32,故選D.

答案：D

考點(diǎn)二

4.解析：???甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88,

；?由莖葉圖可知78+86+84+88+95+90+〃?+92=88X7,

???乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89,???〃=9,

???〃?+〃一12.故選C.

答案：C

5.解析：由系統(tǒng)抽樣法及已知條件可知被選中的其他4人的成績(jī)分別是88,94,99.107,

88+94+99+107

故平均數(shù)為故選

4=97,C.

答案：C

考點(diǎn)三

例1解析：由題知［5.43,5.45）與［5.45,5.47）所對(duì)應(yīng)的小矩形的高分別為，所以［5.43,5.47）

的頻率為+5.00）X=,所以直徑落在區(qū)間［5.43,5.47）內(nèi)的個(gè)數(shù)為8（）X=18,故選B.

答案：B

變式練

1.解析：由題意得頻率分布直方圖前三組的頻率依次為，所以前三組的頻數(shù)依次為3727,

則后四組的頻數(shù)和為9（）,又后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，斯以后四組的頻數(shù)依次為27,24,21,18,

所以視力在以上（含4.8）的頻率為39%,故本校高三這500名學(xué)生中視力在以上（含4.8）的人數(shù)

約為500X39%=195.選C.

答案：C

考點(diǎn)四

例2解析：（1）設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為小則新農(nóng)村建設(shè)后，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收

入為24新農(nóng)村建設(shè)前后，各項(xiàng)收入的對(duì)比如下表：

新農(nóng)村新農(nóng)村新農(nóng)村建設(shè)結(jié)論

建設(shè)前建設(shè)后后變化情況

種植收入60%〃37%X2〃=74%a增加A錯(cuò)

其他收入4%?5%X2a=10%〃增加了一倍以上B對(duì)

養(yǎng)殖收入30%。30%X2G=6D%。增加了一倍C對(duì)

養(yǎng)殖收入

(30%+6%)。(30%+28%)超過經(jīng)濟(jì)收

+第三產(chǎn)