專題立體幾何中的外接球、內(nèi)切球、棱切球問(wèn)題

內(nèi)容導(dǎo)航

熱點(diǎn)解讀題型突破限時(shí)訓(xùn)練

熱點(diǎn)內(nèi)容解讀

深度剖析解讀熱點(diǎn)：分析解讀熱點(diǎn)考查內(nèi)容，精準(zhǔn)預(yù)測(cè)命題方向。

熱點(diǎn)題型突破

逐一剖析解題歸納：對(duì)熱點(diǎn)的各類題型逐一突破，歸納解題方法與技巧。

熱點(diǎn)限時(shí)訓(xùn)練

模擬實(shí)戰(zhàn)鞏固提升：限時(shí)完成題目訓(xùn)練，提升解題能力。

近三年：

外接球問(wèn)題：高頻考點(diǎn)，每年必考或隔年出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度中等偏上，往往作

為小題的壓軸或次壓軸題。

內(nèi)切球問(wèn)題：考查頻率較低，多出現(xiàn)在特殊幾何體（如正四面體、正三棱錐）中，難度中等。

棱切球問(wèn)題：較少單獨(dú)考查，偶爾在模擬題或競(jìng)賽背景題中出現(xiàn)，常與多面體的棱長(zhǎng)相切條件結(jié)合。

預(yù)測(cè)2026年：

模型化考查：直接給出特殊幾何體（如側(cè)棱垂直底面的三棱錐、對(duì)棱相等的三棱錐），要求計(jì)算外接球半

徑或表面積。

動(dòng)態(tài)幾何體中的外接球：如圓錐、圓臺(tái)的外接球，或幾何體旋轉(zhuǎn)后的外接球問(wèn)題。

與導(dǎo)數(shù)、不等式結(jié)合：求外接球半徑的取值范圍或最小表面積，體現(xiàn)綜合難度。

題型01正方體長(zhǎng)方體的外接球

解｜題｜策｜略

正方體、長(zhǎng)方體的外接球的球心在其中心處，球的半徑為體對(duì)角線的一半

1、若正方體邊長(zhǎng)為，則它的外接球半徑為

3

?2

2、若長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)分別為，則它的外接?球半徑為

222

?+?+?

?,?,?2

1．（2025·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知棱長(zhǎng)為3的正方體ABCDA1B1C1D1的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上，則

球O的表面積為（）

A．27πB．25πC．23πD．16π

【答案】A

【分析】由正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)是其外接球的直徑求解.

【詳解】由題意正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)是其外接球的直徑，

133

可得球O的半徑R323232，

22

2

所以該球的表面積33，故正確

S4π27πA.

2

故選：A.

2．（2025·云南昭通·模擬預(yù)測(cè)）已知球O的半徑為3，正方體ABCDA1B1C1D1所有頂點(diǎn)均在球面上，點(diǎn)M

是棱AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作球O的截面，則所得截面面積的最小值為（）

A．5πB．4πC．3πD．3π

【答案】C

【分析】根據(jù)正方體對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑求出正方體的棱長(zhǎng)，結(jié)合當(dāng)OM與截面垂直時(shí)，截面圓的半徑最

小，此時(shí)截面圓面積最小，進(jìn)而可得答案．

【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則正方體對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑2R，

球心O是正方體對(duì)角線中點(diǎn)，

由正方體對(duì)角線公式a2a2a22R6，解得a23．

因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，當(dāng)OM與截面垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，此時(shí)截面圓面積最?。?/p>

因?yàn)镺AR3，AM3，勾股定理OA2OM2AM2，解得OM6，

設(shè)截面圓半徑為r，則rR2OM2963，

所以截面面積Sπr23π，

故選：C．

3．（2025·河北秦皇島·三模）已知正方體ABCDA1B1C1D1的各頂點(diǎn)都在球O的表面上，若球O的表面積為

12π，則平面C1BD截球O所得的截面面積為．

88

【答案】/

33

【分析】根據(jù)給定條件，求出正方體的棱長(zhǎng)，再求出C1BD外接圓面積即可.

【詳解】由球O的表面積為12π，得球的半徑為3，則正方體ABCDA1B1C1D1的體對(duì)角線長(zhǎng)為23，

226

正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則正C1BD邊長(zhǎng)為22，其外接圓半徑r22sin60，

33

8π8π

則CBD外接圓面積為πr2，所以平面CBD截球O所得的截面面積為.

1313

故答案為：8π

3

題型02三棱錐補(bǔ)全為正方體或長(zhǎng)方體的外接球

解｜題｜策｜略

1、若三棱錐中有三條棱互相垂直，則可考慮補(bǔ)全為長(zhǎng)方體或正方體，稱之為墻角模型（如上圖1、2、3）。

這時(shí)三棱錐的外接球同補(bǔ)全的長(zhǎng)方體或正方體的外接球，求球的半徑公式如上。

2、圖2為九章算術(shù)中的鱉臑，即四個(gè)面都為直角三角形的四面體。

3、若三棱錐的三對(duì)對(duì)棱兩兩相等，也可以補(bǔ)全為長(zhǎng)方體或正方體（如圖4），外接球的半徑也同長(zhǎng)方體或

正方體的外接球半徑。

1．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知在三棱錐PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PAB，△PBC，PCA

的外接圓的面積分別為S1，S2，S3，若點(diǎn)P，A，B，C都在球O的表面上，且球O的表面積為S，則

SSS

123（）

S

13

A．B．C．1D．2

24

【答案】A

【分析】由直角三角形的外接圓，長(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)勾股定理，可得答案.

【詳解】設(shè)PAa，PBb，PCc，

a2b2b2c2c2a2

則PAB，△PBC，PCA的外接圓半徑分別為，，，

222

a2b2c2

所以SSSπ，

1232

222

abc2222S1S2S31

球O的半徑R，S4πRabcπ，所以.

2S2

故選：A.

2．（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐PABC中，PA底面ABC，ABAC，AB3，AC4，點(diǎn)D

滿足AD3DC，三棱錐PABC的外接球?yàn)榍騉，過(guò)點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最大值

與最小值之差為4π，則球O的表面積為（）

A．16πB．20πC．24πD．28π

【答案】D

【分析】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體并建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PAh、外接球半徑為R，求出各點(diǎn)及球心坐標(biāo)，

分析截面圓的面積差從而求出h、R，代入球的表面積公式即可得解.

【詳解】設(shè)PAh，因?yàn)樵谌忮FPABC中，PA底面ABC，ABAC，所以將其補(bǔ)為一個(gè)長(zhǎng)方體（長(zhǎng)

為4，寬為3，高為h），三棱錐與該長(zhǎng)方體共外接球，球心O為長(zhǎng)方體體對(duì)角線中點(diǎn)，設(shè)外接球半徑為R，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

3h

A0,0,0,B0,3,0,C4,0,0,D3,0,0,O2,,，

22

9h213h2

OD1，

4444

AB2AC2PA23242h225h2

R，

222

過(guò)D作求O的截面，最大截面為：過(guò)球心O，半徑為R，面積為R2，

22

最小截面為：與OD垂直，半徑為rR2OD2，面積為ROD.

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為4π，

13h2

所以R2R2OD2OD24OD24，解得h23，

44

25h2253

則R27，外接球表面積為：4R24728.

44

故選：D

3．（2025·上海浦東新·三模）已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，且ABAP，CBAP，

CBAB，ABBC2．若點(diǎn)P到底面ABC的距離為1，則球O的表面積為（）．

A．3πB．9πC．12πD．24π

【答案】B

【分析】依據(jù)線面垂直的判定定理來(lái)確定線面垂直關(guān)系，再利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與外接球直徑的關(guān)系求

出球的直徑，進(jìn)而求出球的半徑和表面積.

【詳解】因?yàn)锳BAP,CBAP,CBABB,CB,AB平面ABC，所以PA底面ABC，

因?yàn)辄c(diǎn)P到底面ABC的距離為1．所以AP1．

因?yàn)镃BAP,CBAB,ABPAA,AB,PA平面PAB，

所以BC平面PAB，而PB平面PAB，故BCPB，PBCPAC90，

即該球的直徑為CPAB2CB2AP22222123

3

所以球的半徑為R,S4πR29π．

2

故選：B

4．（2025·河北秦皇島·三模）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．四面體SABC

是一個(gè)鱉臑，已知ABC是直角三角形，ABC90，SAAB2，SC26，BC4，則平面SAB截該

鱉臑的外接球所得截面面積為．

【答案】2π

【分析】根據(jù)鱉臑的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)得線線垂直，設(shè)SC的中點(diǎn)為O，從而可得點(diǎn)O為

四面體SABC外接球的球心，結(jié)合球的幾何性質(zhì)確定球心O到平面SAB的距離得截面圓的半徑，即可得所

求.

【詳解】設(shè)SC的中點(diǎn)為O，連接OA,OB，

因?yàn)轺M臑的四個(gè)面都是直角三角形，

且SAAB2，故SAAB．

因?yàn)锳BC90，AB2，BC4，故AC25．

又SA2，SC26，故SAAC．

又ACABA，AC,AB平面ABC，

所以SA平面ABC，

又BC平面ABC，所以SABC．

又ABBC，SAABA，SA,AB平面ABS，

BC平面ABS，

又BS平面ABS，所以BCSB，

△SBC和SAC都是以平面SC為斜邊的直角三角形．

由于O為SC的中點(diǎn)，則點(diǎn)O為四面體SABC外接球的球心，

1

外接球的半徑R6，且點(diǎn)O到平面SAB的距離為dBC2，

2

△SAB的外接圓半徑rR2d22，

平面SAB截四面體SABC的外接球的截面的面積為2π．

故答案為：2π．

5．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）四面體的每一組對(duì)棱的長(zhǎng)度相等，分別為3，5，6，則該四面體的體

積為，該四面體的外接球的表面積為.

22

【答案】7π

3

【分析】由題意可作圖，將符合題意的四面體放在正四棱柱中，利用分割法，根據(jù)四棱柱與三棱錐的體積

公式，可得空一的答案；根據(jù)正四棱柱的外接球，結(jié)合球的表面公式，可得空二的答案.

【詳解】不妨設(shè)四面體為PABC，PABC3，PCAB5，PBAC6，

可將四面體PABC放置在長(zhǎng)方體中，如圖所示:

a2b23

22

設(shè)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則bc5，解得a2，b1，c2，

22

ac6

1122

則四面體PABC的體積V2124122，

PABC323

該四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)其半徑為R，則(2R)2a2b2c27，

所以球的表面積為π(2R)27π.

22

故答案為：；7π.

3

題型03圓錐的外接球

解｜題｜策｜略

若圓錐的高為，底部半徑為，母線長(zhǎng)為，則圓錐的外接球半徑

?222

?+??

??500π?=2?=2?

1．（2025·重慶·三模）已知某圓錐的外接球的體積為，若球心到該圓錐底面的距離為4，則該圓錐體

3

積的最大值為（）

A．9B．27πC．18πD．48π

【答案】B

【分析】求出外接球的半徑，由此可求出圓錐底面半徑長(zhǎng)，并求出圓錐高的最大值，結(jié)合錐體體積公式可

求得結(jié)果.

4πR3500π

【詳解】設(shè)圓錐PO1的外接球O半徑為R，則，解得R5，

33

2222

所以，圓錐PO1的底面半徑為rR4543，

所以，當(dāng)圓錐的高為R4549時(shí)，圓錐的體積最大，

1

且其最大值為π32927π.

3

故選：B.

2．（2025·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，以其底面圓心為球心，底面半徑為

半徑的球和圓錐表面的交線長(zhǎng)為（）

A．4πB．5πC．(423)D．6π

【答案】D

【分析】作圓錐的球的截面圖，確定球與圓錐的交線，結(jié)合交線的形狀大小確定結(jié)論.

【詳解】作圓錐的軸截面ABC，該截面與半球的截面為半圓，設(shè)半圓與AB,AC分別交于點(diǎn)D,E，

如圖，由已知，ABC為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BC的中點(diǎn)O為球心，半圓O的半徑為2，

因?yàn)辄c(diǎn)D在半圓上，所以DBDC，DOBOCO2，DBO60，

所以BD2，故點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，同理可得E為AC的中點(diǎn)，所以DE2，

所以由對(duì)稱性可得，圓錐與球的交線為兩個(gè)圓，一個(gè)為圓錐的底面圓，周長(zhǎng)為4π，

另一個(gè)為所有母線的中點(diǎn)構(gòu)成的圓，周長(zhǎng)為2π，

所以交線長(zhǎng)為6π．

故選：D.

3．（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)圓錐的底面圓和頂點(diǎn)都恰好在同一個(gè)球面上，且該球的半徑為1，當(dāng)圓

錐的體積取最大值時(shí)，圓錐的底面半徑為（）

222210

A．B．C．D．

33210

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面圓性質(zhì)及圓錐的體積公式列出函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求解.

【詳解】

如圖，根據(jù)題意，圓錐PO1高為h，底面圓半徑r，外接球球心為O，半徑R1，

則球心O到圓錐底面圓心O1距離dOO1|1h|,0h2，

1π

由d2r2R2，得r22hh2，圓錐的體積Vπr2h(2h2h3)，

33

π4

求導(dǎo)得V(4h3h2)πh(h)，

33

4π4

當(dāng)0h時(shí)，V0，函數(shù)V(2h2h3)在(0,)上遞增，

333

4π4

當(dāng)h2時(shí)，V0，函數(shù)V(2h2h3)在(,2)上遞減，

333

422

則當(dāng)h時(shí)，圓錐的體積最大，此時(shí)底面圓半徑r.

33

故選：B

2π

4．（2025·寧夏銀川·三模）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3，圓心角為的扇形，該圓錐的頂點(diǎn)和

3

底面圓周都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為.

8181

【答案】/

88

222

【分析】由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，可求得圓錐的母線、高以及底面圓的半徑，結(jié)合幾何關(guān)系得OAO1AOO1，

進(jìn)而可求得球體的半徑，再根據(jù)球體的表面積公式即可求解.

2π

【詳解】由題意，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3，圓心角為的扇形，如圖1所示，

3

2π

則PAr3，圓O的周長(zhǎng)Clr32π，則OA1，

111131

所以2222，

PO1PAO1A3122

222

又OAO1AOO1，OO1PO1PO，OAPO，

2

所以222，即22，解得92，

OAO1APO1OAOA122OAOA

8

2

即球體的半徑為92，所以其表面積為9281π

4π.

888

81π

故答案為：.

8

5．（2025·新疆·三模）用一個(gè)平面截球O得到的曲面稱為球冠，截面為球冠的底面，如圖球冠的高大于球

3

的半徑，O1為底面圓心，SO1是以O(shè)1為底，點(diǎn)S在球冠上的圓錐，若底面O1的半徑是球的半徑的倍，

2

點(diǎn)A為底面圓周上一點(diǎn)，則SA與底面O1所成的角的大小為，圓錐SO1的體積與球O的體積之比

為．

9

【答案】/60/0.28125

332

3

【分析】假設(shè)球的半徑為R，依題意AOR，通過(guò)勾股定理可求出OO1的長(zhǎng)，進(jìn)而可知SO1的長(zhǎng)，進(jìn)

12

而可求SA與底面O1所成的角的正切值，進(jìn)而可求角；分別算出圓錐SO1的體積與球O的體積即可計(jì)算其

比值.

2

33113

【詳解】設(shè)球的半徑為R，則，2，，

AO1ROO1RRRSO1RRR

22222

3

R

SO12π

tanSAO13.SAO1，

AO33

1R

2

2

1333π4πV圓錐9

V3，V3，所以

圓錐=πRRR球=R.

32283V球32

π9

故答案為：；

332

題型04可補(bǔ)為圓錐的外接球

解｜題｜策｜略

1、若在平面上的射影是的外接圓圓心，則可以把三棱錐補(bǔ)為圓錐，根據(jù)圓

錐?的外接球??模?型來(lái)求外接??球??半徑。?????

2、若，則可以得出P在的射影為其外接圓圓心，同理補(bǔ)為圓錐。

3、正?棱?錐=都??可=以??補(bǔ)成圓錐，可以按?圓??錐?的外接球模型來(lái)求。

1．（2025·四川達(dá)州·二模）三棱錐PABC各個(gè)頂點(diǎn)均在球O表面上，ABAC，ABC外接圓的半徑為3，

π

點(diǎn)P在平面ABC的射影為BC中點(diǎn)，且PA與平面ABC所成的角為，則球O的表面積為（）

3

A．8πB．16πC．32πD．24π

【答案】B

【分析】連接PD，所以O(shè)必在PD上，在△PAD中求得PD，在BOD中得OD，由勾股定理計(jì)算得球半

徑，從而得球面積．

【詳解】取BC中點(diǎn)D，連接PD，點(diǎn)P在平面ABC的射影為D點(diǎn)，

又因?yàn)锳BAC，所以ABC外接圓圓心為D，所以O(shè)必在直線PD上，

因?yàn)锳BAC，ABC外接圓的半徑為3，所以D是ABC外接圓的圓心，AD3，

π

因?yàn)镻D平面ABC，PA與平面ABC所成的角為，

3

PDPD

則tanPAD3，從而PD3，

AD3

22

設(shè)球O的半徑為R，在OBD中，ODPDR，則3R3R2，解得R2，

所以球O的表面積為S4πR216π.

故選：B．

2．（多選）（2025·廣東揭陽(yáng)·三模）三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，ACBCPC6，PAPB4，

其各頂點(diǎn)均在球O的表面上，則（）

A．PAPBB．點(diǎn)A到平面PBC的距離為14

1324

C．二面角APCB的余弦值為D．球O的表面積為π

67

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A，取AB中點(diǎn)M，連接CM,PM，結(jié)合ACBC可得CMAB，由平面PAB平面ABC可

得CMPM，進(jìn)而結(jié)合勾股定理求出AM22，AB42，進(jìn)而結(jié)合勾股定理判斷A即可；對(duì)于B，

過(guò)點(diǎn)B作BNCP，垂直為N，連接AN，記點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，利用等體積法VCABPVABCP求

解判斷即可；對(duì)于C，分析可得二面角ACPB的平面角為ANB，進(jìn)而求解判斷即可；對(duì)于D，分析可

得球心O在直線CM上，進(jìn)而結(jié)合勾股定理列方程求得球O的半徑，進(jìn)而求出球O的表面積判斷即可.

【詳解】對(duì)于A，取AB中點(diǎn)M，連接CM,PM，由ACBC可知CMAB，

因?yàn)槠矫鍼AB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，CM平面ABC，

所以CM平面PAB，又PM平面PAB，所以CMPM，

故CP2CM2PM2AC2AM2AP2AM2，

在6262AM242AM2，解得AM22，

則AB42，所以AP2BP2AB2，則PAPB，故A正確；

對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)B作BNCP，垂直為N，連接AN，

記點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，

CMS

11△ABP

由VCABPVABCP，則CMS△ABPdS△BCP，故d，

33S△BCP

221

而CMACAM27，S△ABPAPBP8，

2

BC2CP2BP23636167

由余弦定理得cosBCP，

2BCCP2669

42

故sinBCP1cos2BCP，

9

4282

故BNBCsinBCP6，

93

1182

SBNCP682，

△BCP223

278

故d14，故B正確；

82

對(duì)于C，由ABCM，ABPM，CMPMM，CM,PM平面PCM，

可知AB平面PCM，因?yàn)镃P平面PCM，所以PCAB，

又BNCP，AB?BN=B，AB,BNì平面ABN，故CP平面NAB，

又AN平面NAB，所以CPAN，

所以二面角ACPB的平面角為ANB，

2

因?yàn)?22824，

NPBPBN4

33

2

222482

所以ANAPNP4，

33

22

82822

42

AN2BN2AB2331

故cosANB，

2ANBN82828

2

33

1

即二面角APCB的余弦值為，故C錯(cuò)誤；

8

1

對(duì)于D，由PAPB，M為AB中點(diǎn)可知PMAB，

2

故PAB的外心為M，由CM平面PAB可知直線CM上的點(diǎn)到點(diǎn)A，B，P的距離相等，故球心O在直線

CM上.

由平面幾何知識(shí)知點(diǎn)O在線段CM上.

記OAOCR，則OM27R，

2297

故R22227R，解得R，

7

324

故球O的表面積S4πR2π，故D正確.

7

故選：ABD.

3．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在體積為36π的球面上，正三棱錐體積最大時(shí)，該正

三棱錐的高為.

【答案】4

【分析】根據(jù)錐體與外接球的性質(zhì)，結(jié)合棱錐的體積公式以及基本不等式的三維形式進(jìn)行求解即可.

【詳解】根據(jù)題意可得，正三棱錐的外接球的半徑R3，

設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為23a，高為h，

則正三角形的外接圓的半徑為2a，所以(2a)2(hR)2R2，

即4a2(h3)29，所以4a29(h3)2h(6h),h(0,6)，

又正三棱錐體積為

11333

(23a)2h3a2h4a2hh(6h)h

32244

3

33122hhh

(122h)hh83，

883

當(dāng)且僅當(dāng)122hh即h4時(shí)，等號(hào)成立，

所以當(dāng)正三棱錐體積最大時(shí)，該正三棱錐的高為4.

故答案為:4.

4．（2025·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）已知球O是三棱錐PABC的外接球，AB2AC2，CAB，若三

3

3

棱錐PABC體積的最大值為，則球O的表面積為.

3

25

【答案】π

4

【分析】利用余弦定理求出BC的長(zhǎng)度，從而得到BCAC，則ABC的外接圓的圓心是斜邊AB的中點(diǎn)D，

得到過(guò)D且垂直于平面ABC的直線一定過(guò)球心O，連接DO并延長(zhǎng)與球相交的點(diǎn)就是使得三棱錐PABC

體積的最大值的點(diǎn)P，利用三棱錐的體積公式得到DP的長(zhǎng)度，設(shè)球的半徑為R，由DPROD得到

OD2R，由OD2AD2AO2建立R的等式，求出R，利用球的表面積公式S4πR2求解即可.

【詳解】AB2AC2，CAB，

3

BC2AB2AC22ABACcosCAB41221cos3，

3

BC3，BC2AC2AB2，BCAC，

ABC的外接圓的圓心是斜邊AB的中點(diǎn)D，

過(guò)D且垂直于平面ABC的直線一定過(guò)球心O，

連接DO并延長(zhǎng)與球相交的點(diǎn)就是使得三棱錐PABC體積取得最大值的點(diǎn)P，

AB2AC2，BCAC，

113

SBCAC31，

ABC222

3

三棱錐PABC體積的最大值為，

3

13

SDP，

3ABC3

133

DP，DP2，

323

設(shè)球的半徑為R，DPROD2，OD2R，

5

OD2AD2AO2，(2R)212R2，R，

4

525

球的表面積為S4πR24π()2π.

44

25

故答案為：π.

4

5．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為3的球面上，且△BCD是邊長(zhǎng)為23的正三角

形，則三棱錐ABCD體積的最大值為.

【答案】3315

【分析】先求出△BCD外接圓的半徑，再結(jié)合球的半徑求出球心到平面BCD的距離，進(jìn)而得到點(diǎn)A到平面

BCD的最大距離，最后根據(jù)三棱錐體積公式求出體積的最大值.

【詳解】設(shè)△BCD外接圓的圓心為O1，半徑為r.

23

由正弦定理，在正△BCD中，a23，A60，則2r.

sin60

23

32r

因?yàn)閟in60，所以3，即42r，解得r2.

2

2

已知球的半徑R3，球心O到平面BCD的距離d，△BCD外接圓的半徑r，根據(jù)勾股定理R2d2r2，

可得dR2r23222945.

當(dāng)點(diǎn)A，球心O，O1共線且A與O在平面BCD同側(cè)時(shí)，點(diǎn)A到平面BCD的距離最大，最大距離

hRd35.

33

根據(jù)正三角形面積公式，可得S(23)21233.

BCD44

11

根據(jù)三棱錐體積公式，可得VSh33(35)3(35)3315.

3BCD3

故答案為：3315.

題型05直棱柱、圓柱的外接球

解｜題｜策｜略

1、圓柱的高為，底面半徑為，則圓柱的外接球半徑

2

2?

2、若是直棱柱，?則可以先找直?棱柱上下底的外接圓，求?=外接?圓+半4徑，然后補(bǔ)成圓柱，按圓柱的外接球

半徑公式來(lái)算即可。

?

1．（2025·湖南婁底·二模）已知正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，一個(gè)能

R

放進(jìn)該正六棱柱內(nèi)部的最大的球半徑為r．若AB2，則當(dāng)最小時(shí)，該正六棱柱的體積為（）

r

A．36B．42C．48D．24

【答案】A

h

【分析】根據(jù)給定條件，求出正六棱柱底面正六邊形的邊心距3，并設(shè)正六棱柱的高為h，可得r取,3

2

R

中最小的，按h23,h23，結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)分類討論求出最小時(shí)的h，再利用柱體體積公式

r

計(jì)算得解.

【詳解】設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為點(diǎn)M，則點(diǎn)M與任意一條邊均構(gòu)成等邊三角形，

因此點(diǎn)M到各邊的距離均為等邊三角形的高，即ABsin603，

h

不妨設(shè)該正六棱柱的高為h，則r≤且r3，r取兩者之中的較小者，

2

由點(diǎn)M到A，B，C，D，E，F(xiàn)的距離均為2，得點(diǎn)M是正六邊形ABCDEF的外接圓圓心，

hh216

因此正六棱柱的外接球半徑R()222，

22

hRh21616167

若h23，則r，11；

2rhh2123

Rh21612167

若h≥23，則r3，≥，

r23233

R712

于是當(dāng)h23時(shí)，取得最小值，正六邊形的面積為62sin6063，

r32

所以該正六棱柱的體積為632336.

故選：A

2．（2020·山東青島·三模）在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAC，側(cè)棱AA1底面ABC，若該三棱柱

的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的表面上，且球O的表面積的最小值為4，則該三棱柱的側(cè)面積為（）

A．63B．33C．32D．3

【答案】B

【詳解】如圖：設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為O1、O2，則O1O2的中點(diǎn)為O，

設(shè)球O的半徑為R，則OAR，設(shè)ABBCACa，AA1h，

1233

則OO2h，OAABa，

22323

22221212133

則在Rt△OO2A中，ROAOOOAha2haah，

2243233

23

當(dāng)且僅當(dāng)ha時(shí)，等號(hào)成立，

3

所以23，所以43，所以，

S球4R4ahah4ah3

33

所以該三棱柱的側(cè)面積為3ah33.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用不等式求解棱柱的外接球面積最小值與側(cè)面積問(wèn)題，屬于中檔題

3．（2025·江蘇·一模）已知一圓柱內(nèi)接于半徑為1的球，當(dāng)該圓柱的體積最大時(shí)，其高為（）

13232

A．B．C．D．

2332

【答案】C

2

22h

【分析】結(jié)合立體圖形，由勾股定理得到Rr1，利用均值不等式求最值，等號(hào)成立時(shí)圓柱體積

2

最大，求出此時(shí)的高h(yuǎn)即可.

【詳解】設(shè)球半徑為R，圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為h，

222242

22hrrhrh

如圖，則有Rr1，即133，

222416

22

24rh2224

整理得rh，當(dāng)且僅當(dāng)，即r,h時(shí)，等號(hào)成立，

332433

4π

此時(shí)圓柱體積Vπr2h取得最大值，