專題04函數(shù)的圖象及零點(diǎn)問題內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)聚焦方法精講能力突破熱點(diǎn)聚焦·析考情鎖定熱點(diǎn)，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點(diǎn)題型，明確命題趨勢(shì)下的核心考查方向。題型引領(lǐng)·講方法系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對(duì)應(yīng)高頻熱點(diǎn)題型的解題策略與實(shí)戰(zhàn)方法技巧。能力突破·限時(shí)練實(shí)戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點(diǎn)經(jīng)典題目，限時(shí)訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)解題速度與準(zhǔn)確率雙重躍升。近三年：近三年函數(shù)圖像題穩(wěn)定中檔、零點(diǎn)題2025年難度下調(diào)；2026年大概率圖像題維持中檔、零點(diǎn)題回歸填空壓軸并可能與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，參數(shù)范圍與零點(diǎn)區(qū)間判定仍是核心考法。預(yù)測(cè)2026年：核心考法不變，難度回歸：零點(diǎn)題大概率重回填空壓軸，圖象題維持中檔；參數(shù)范圍、零點(diǎn)區(qū)間、圖象識(shí)別仍是重點(diǎn)。綜合度提升：零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)結(jié)合增強(qiáng)；圖象題加入絕對(duì)值、分參、極限視角，考查更靈活。題型微調(diào)：可能出現(xiàn)解答題小問（如與導(dǎo)數(shù)綜合），或用多選題考圖象多維度辨析，強(qiáng)調(diào)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。易錯(cuò)點(diǎn)預(yù)警：參數(shù)范圍漏邊界、零點(diǎn)存在定理缺單調(diào)性判斷、圖象識(shí)別忽略定義域/奇偶性，仍是失分重災(zāi)區(qū)。．題型01函數(shù)圖象畫法與圖象變換解｜題｜策｜略作函數(shù)圖象的方法1、直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是基本函數(shù)或函數(shù)圖象是解析幾何中熟悉的曲線時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．2、轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，可去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象．3、圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱變換得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序．對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．4、如何制定圖象變換的策略（1）在尋找到聯(lián)系后可根據(jù)函數(shù)的形式了解變換所需要的步驟，其規(guī)律如下：①若變換發(fā)生在“括號(hào)”內(nèi)部，則屬于橫坐標(biāo)的變換；②若變換發(fā)生在“括號(hào)”外部，則屬于縱坐標(biāo)的變換．例如：：可判斷出屬于橫坐標(biāo)的變換：有放縮與平移兩個(gè)步驟．：可判斷出橫縱坐標(biāo)均需變換，其中橫坐標(biāo)的為對(duì)稱變換，縱坐標(biāo)的為平移變換．（2）多個(gè)步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)的變換后，在安排順序時(shí)注意以下原則：①橫坐標(biāo)的變換與縱坐標(biāo)的變換互不影響，無先后要求；②橫坐標(biāo)的多次變換中，每次變換只有發(fā)生相應(yīng)變化．例1（2025·天津和平·調(diào)研）若關(guān)于x的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】首先由題意可知關(guān)于的不等式在上有解，作出函數(shù)和函數(shù)的圖像，然后考慮直線與函數(shù)的圖像相切，以及直線過點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】關(guān)于的不等式在上有解，即關(guān)于的不等式在上有解，作出兩函數(shù)與的圖像，如下圖：

當(dāng)與相切時(shí)，則，即，由，解得：；當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，得.由圖可知，，因此實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：例2（2026·天津河北·月考）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為方程求解，以及函數(shù)求交點(diǎn)，作圖研究，可得答案.【詳解】由題意，令，則，即函數(shù)與函數(shù)恰有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，作函數(shù)與圖象：令，解得或或，易知當(dāng)過時(shí)，即，函數(shù)與只有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)在上，與相切時(shí)，函數(shù)與只有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)聯(lián)立，消去可得，則，解得；故當(dāng)時(shí)，恰有3個(gè)不同的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，作函數(shù)與圖象：當(dāng)函數(shù)與函數(shù)在上有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，符合題意，此時(shí)聯(lián)立，消去可得，則，解得，聯(lián)立，消去可得，則，解得，易知，故當(dāng)時(shí)，恰有3個(gè)不同的零點(diǎn).綜上，.故答案為：.【變式1】（2026·天津河西·調(diào)研）下列四個(gè)命題中：①若奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，則它在上單調(diào)遞增②若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則它在上單調(diào)遞增；③若函數(shù)為奇函數(shù)，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；④若函數(shù)為偶函數(shù)，那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱；正確的命題的序號(hào)是.【答案】②③【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷①②，結(jié)合平移變換可判斷③④.【詳解】奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，故①錯(cuò)誤，②正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的圖象可以由的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故③正確；函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③【變式2】（2025·天津南開·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，先將拋物線關(guān)于原點(diǎn)作中心對(duì)稱變換，再將所得的拋物線關(guān)于軸作軸對(duì)稱變換，那么經(jīng)過兩次變換后所得的新拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意先將拋物線關(guān)于原點(diǎn)作中心對(duì)稱得到解析式為，再將拋物線關(guān)于軸作軸對(duì)稱得到解析式為，最后給出答案即可.【詳解】解：先將拋物線關(guān)于原點(diǎn)作中心對(duì)稱變換，得到，整理得；再將拋物線關(guān)于軸作軸對(duì)稱變換，得到，整理得；所以經(jīng)過兩次變換后所得的新拋物線的解析式為.故選：C題型02由復(fù)雜函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象解｜題｜策｜略圖象辨識(shí)題的主要解題思想是“對(duì)比選項(xiàng)，找尋差異，排除篩選”1、求函數(shù)定義域（若各選項(xiàng)定義域相同，則無需求解）；2、判斷奇偶性（若各選項(xiàng)奇偶性相同，則無需判斷）；3、找特殊值：=1\*GB3①對(duì)比各選項(xiàng)，計(jì)算橫縱坐標(biāo)標(biāo)記的數(shù)值；=2\*GB3②對(duì)比各選項(xiàng)，函數(shù)值符號(hào)的差別，自主取值（必要時(shí)可取極限判斷符號(hào)）；4、判斷單調(diào)性：可取特殊值判斷單調(diào)性.例1（2026·天津北辰·月考）已知函數(shù)的部分圖像如圖，則函數(shù)的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由奇偶性可排除BC，由特殊點(diǎn)可排除D，即可求解【詳解】由于圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，對(duì)于B：由得：，為偶函數(shù)，故可排除B；對(duì)于C：由得：，為偶函數(shù)，故可排除C；由圖知圖象不經(jīng)過點(diǎn)，而對(duì)于D：，故可排除D；故選：A.例2（2026·天津武清·月考）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B，C選項(xiàng)，再由，排除A選項(xiàng)，從而得出正確答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知函數(shù)為奇函數(shù)，而B，C選項(xiàng)中的函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意，排除；又，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，不符合，排除；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，符合條件，所以D選項(xiàng)正確.故選：D【變式1】（2026·天津·月考）函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象大致形狀是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合時(shí)，，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)，可得的定義域?yàn)?，又由，所以為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除A、C；當(dāng)時(shí)，可得，，所以，則，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)B符合題意.故選：B.【變式2】（2025·天津河北·調(diào)研）函數(shù)的圖象為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出函數(shù)定義域，進(jìn)而得到為奇函數(shù)，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值，得到答案.【詳解】的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，排除A；，，，顯然，故，故BC錯(cuò)誤，D正確.故選：D題型03根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式解｜題｜策｜略（1）從圖像的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)分析函數(shù)的最值、極值；（2）從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；（3）從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性。例1（2026·天津·月考）已知，若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性及函數(shù)圖象，分析選項(xiàng)即可.【詳解】由函數(shù)圖象可知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù).對(duì)于，，，故錯(cuò)誤；對(duì)于,，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，當(dāng)，與圖象不符，故錯(cuò)誤；故選：例2（2026·天津薊州·調(diào)研）已知函數(shù)的部分圖象如下，則的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除CD選項(xiàng)，再代入特殊值即可排除A，最后分段討論其單調(diào)性即可判斷B正確.【詳解】由圖知為奇函數(shù)，對(duì)C，，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則此時(shí)它為偶函數(shù)，與題圖不符合，故排除C；對(duì)D，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則此時(shí)它為偶函數(shù)，與題圖不符合，故排除D；由圖知，而對(duì)A解析式，代入知，矛盾，故A錯(cuò)誤.對(duì)B，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則其為奇函數(shù)，則只需研究其時(shí)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且恒成立，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且恒成立，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合其為奇函數(shù)和其在上函數(shù)圖象的連續(xù)性知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，與題目所給圖象符合，則B正確.故選：B.【變式1】（2026·天津·開學(xué)考試）如圖是函數(shù)的部分圖象，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)可排除A；根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除C；根據(jù)函數(shù)的定義域可排除D.【詳解】由圖可知：的定義域?yàn)椋瑘D象關(guān)于軸對(duì)稱，則為偶函數(shù)．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，與圖不符，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋?，則不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在有意義，故D錯(cuò)誤，故選：B．【變式2】（2025·天津·月考）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性判斷AB，由，在區(qū)間上，，判斷C，由奇偶性結(jié)合在區(qū)間上，，判斷D.【詳解】對(duì)于A,，其定義域?yàn)?，有，則函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，其定義域?yàn)椋?，則函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，在區(qū)間上，，不符合題意，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，則為偶函數(shù)，且在區(qū)間上，，符合題意，故D正確.故選：D.題型04根據(jù)實(shí)際問題作函數(shù)圖象解｜題｜策｜略根據(jù)實(shí)際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的方法：（1）根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象（定量分析）；（2）根據(jù)自變量取不同值時(shí)函數(shù)值的變化、增減速度等判斷函數(shù)圖象（定性分析）。例1（2025·天津·開學(xué)考試）已知邊長(zhǎng)為1的正方形，為邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形邊上沿運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)經(jīng)過的路程為，的面積為，則關(guān)于的函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求與的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在正方形邊上沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，則的面積為；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在正方形邊上沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，則的面積為；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在正方形邊上沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，則的面積為；所以，所以A正確，BCD錯(cuò)誤；故選：A.例2（2024·天津·二模）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上沿運(yùn)動(dòng)，表示動(dòng)點(diǎn)由A點(diǎn)出發(fā)所經(jīng)過的路程，表示的面積，則函數(shù)的大致圖像是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】分，，求出解析式，然后可知圖象.【詳解】當(dāng)時(shí)，，是一條過原點(diǎn)的線段；當(dāng)時(shí)，，是一段平行于軸的線段；當(dāng)時(shí)，，圖象為一條線段.故選：A．【變式1】（2025·天津·調(diào)研）某同學(xué)離家去學(xué)校，剛開始心情輕松緩慢行進(jìn)，走了一段路程后，發(fā)現(xiàn)時(shí)間緊張，加快速度跑步前進(jìn).圖中軸表示該學(xué)生離家的距離，軸表示所用的時(shí)間，下列圖象與該同學(xué)走法相吻合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象呈上升趨勢(shì)以及上升速度分析可得答案.【詳解】依題意可知，關(guān)于的函數(shù)圖象呈上升趨勢(shì)，故B和D都錯(cuò)誤；由于該同學(xué)是先走后跑，所以關(guān)于的函數(shù)圖象上升速度是先慢后快，故A錯(cuò)誤，C正確.故選：C【變式2】（2025·天津·開學(xué)考試）一列快車從甲地駛往乙地，一列特快車從乙地駛往甲地，快車的速度為100千米/小時(shí)，特快車的速度為150千米/小時(shí)，甲乙兩地之間的距離為1000千米，兩車同時(shí)出發(fā)，則圖中折線大致表示兩車之間的距離y（千米）與快車行駛時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分析可得相遇時(shí)間為4小時(shí)，此時(shí)兩車距離為0，排除B選項(xiàng)；再求出快車?yán)^續(xù)行駛到達(dá)乙地所需要的時(shí)間排除A選項(xiàng)；再分析可得當(dāng)特快車停止行駛時(shí)，快車還在行駛，結(jié)合速度排除D選項(xiàng).【詳解】當(dāng)兩車同時(shí)相向出發(fā)時(shí)，相遇時(shí)間小時(shí)，此時(shí)兩車距離為0，快車行駛時(shí)間為4小時(shí)，故排除B選項(xiàng)；相遇時(shí)，快車已經(jīng)行駛的路程為千米，還需要行駛小時(shí)才能到達(dá)乙地，故排除A選項(xiàng)；特快車相遇時(shí)已經(jīng)行駛的路程為千米，只需要再行駛小時(shí)才能到達(dá)甲地，所以當(dāng)特快車停止行駛時(shí)，快車還在行駛，此時(shí)直線的傾斜程度要變小一些，故排除D選項(xiàng).故選：C.題型05函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間問題解｜題｜策｜略確定的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法：（1）利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)在區(qū)間上的圖象是否連續(xù)，再看是否有，若有，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)；（2）數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷。例1（2026·天津河西·月考）已知函數(shù)，利用二分法求的零點(diǎn)的近似值，若零點(diǎn)的初值區(qū)間為，精確度為，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先通過函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)有唯一零點(diǎn)，進(jìn)而再用二分法及精確度可判斷零點(diǎn)所在區(qū)間及零點(diǎn)的近似值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和均為R上單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)是R上單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)且區(qū)間長(zhǎng)度為.再取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)且區(qū)間長(zhǎng)度.對(duì)照選項(xiàng)只有在區(qū)間內(nèi)，故可以是.故選：C.例2（2026·天津武清·月考）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出函數(shù)的定義域，討論單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間即可.【詳解】因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?，因?yàn)樵诤蜕暇鶈握{(diào)遞增，由于兩個(gè)函數(shù)在各自區(qū)間上均單調(diào)遞增，因此它們的和也單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，恒成立，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B.【變式1】（2026·天津·月考）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理計(jì)算判斷即可.【詳解】函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)相減而成.單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.，因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，即，，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，即，所以，所以該區(qū)間存在零點(diǎn)，C正確；結(jié)合在上單調(diào)遞減.在、、無零點(diǎn)，故ABD錯(cuò)誤.故選：C.【變式2】（2026·天津?yàn)I海新·月考）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可判斷出答案.【詳解】由解析式知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B題型06確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解｜題｜策｜略零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法1、直接法：直接求零點(diǎn)，令，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).2、定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).3、圖象法：（1）單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)4、性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)例1（2026·天津薊州·月考）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的方程的所有實(shí)數(shù)根的和是（

）A． B．0 C．7 D．6【答案】A【分析】先設(shè)，求出方程的解，利用函數(shù)的奇偶性作出函數(shù)在時(shí)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，則關(guān)于的方程，等價(jià)，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足方程．若，則，即，若，則，即，作出當(dāng)時(shí)，的圖象如圖：

當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)3個(gè)交點(diǎn)．即，∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，由，可得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)4個(gè)交點(diǎn)，即方程的7個(gè)實(shí)根和為．故選：A．例2（2026·天津·月考）已知函數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)方程，解得或5，作出，和的圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得答案.【詳解】有，得，解得或5，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)闉殚_口向上，對(duì)稱軸為的拋物線，令，解得或5，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出，和的圖象，如下圖所示：由圖象可得直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，共有6個(gè)交點(diǎn)，所以方程解的個(gè)數(shù)為6.故選：B【變式1】（2026·天津·月考）若函數(shù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值是.【答案】或【分析】將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)圖象以及判別式求解即可.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫函數(shù)圖象如下;當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有一個(gè)交點(diǎn)，則與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程得到只有一個(gè)解，即，解得或（結(jié)合圖象可知不符合，舍去）綜上可得：或者故答案為：或【變式2】（2026·天津?yàn)I海新·月考）設(shè)函數(shù)，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上有最小值；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R是單調(diào)增函數(shù)；③若，則；④方程可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，把函數(shù)分和兩種情況討論，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)判單調(diào)性，求最值即可；對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，判斷在和是單調(diào)增函數(shù)加以判斷；對(duì)于③：推導(dǎo)即可求解；對(duì)于④：對(duì)b，c取特值求方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故可判斷．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，則有：當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；且函數(shù)連續(xù)不斷，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,在，內(nèi)單調(diào)遞增,且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；故函數(shù)在上無最小值；故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，則有：當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；且函數(shù)連續(xù)不斷，所以在是單調(diào)增函數(shù)；故②正確；對(duì)于③：因?yàn)?，可得，即；故③正確對(duì)于④：令，，則有：當(dāng)時(shí)，令，解得或；當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍去）；所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故④正確．綜上所述：正確的為②③④，有3個(gè)．故選：D題型07根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍解｜題｜策｜略已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的方法1、直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；2、數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；3、分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解．[例1（2026·天津和平·月考）已知為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，且.(1)判斷并用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最小值；(3)若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性，構(gòu)造方程組求出函數(shù)解析式，再由函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）轉(zhuǎn)化為方程在有解，換元后求出最小值即可；（3）利用的奇偶性、單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式，再分離參數(shù)后，求最小值得解.【詳解】（1）因?yàn)棰伲瑒t，又為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，則有②，由①②得到，所以由①②得到，所以.函數(shù)在上單調(diào)遞增.證明如下：取任意，且，則；當(dāng)時(shí)，，，，所以，即；因此在上單調(diào)遞增.（2），由可得，所以在上有零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為在上有解，令，由（1）知，在上為增函數(shù)，所以，則可得，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，，所以.（3）因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以由可得，因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，所以，即在上恒成立.由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故.例2（2026·天津?yàn)I海新·月考）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)為上的增函數(shù)且的取值范圍為可得在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故在上有且僅有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，利用根分布可求的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為上的增函數(shù)且的取值范圍為，故在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故在上有且僅有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，而對(duì)稱軸，故即，故答案為：【變式1】（2026·天津和平·月考）已知函數(shù)（其中均為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn).(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，則關(guān)于的方程有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且滿足；求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意求出的解析式，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷求解；（2）先求出和的值域，再根據(jù)的值域是值域的子集，列式求解；（3）化簡(jiǎn)，令，則，問題轉(zhuǎn)化為需要有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，數(shù)形結(jié)合得，即方程和各有兩個(gè)不同的根，解方程求得根，運(yùn)算得解.【詳解】（1）由的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，得，解得，所以.所以，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減且恒正，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由（1），，在上單調(diào)遞增，故，又，令，由，即，所以，所以，，對(duì)稱軸為，則，，即，由題意，可得的值域是值域的子集，，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3），令，則，故方程，即需要有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由圖可得，所以方程和各有兩個(gè)不同的根，其中方程的兩根為，方程的兩根為，所以，，，，且，由，則對(duì)應(yīng)的，故，，，，，，令，則，函數(shù)，令，且在R上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，所以，即的取值范圍為.【變式2】（2026·天津河西·月考）若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先對(duì)時(shí)，由得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷對(duì)任意a函數(shù)有唯一零點(diǎn)；再對(duì)時(shí)，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為與有2個(gè)交點(diǎn)問題，用數(shù)形結(jié)合可得.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，令，得，因?yàn)槭巧蠁握{(diào)遞增函數(shù)，所以，即，設(shè)，顯然在上單調(diào)遞減，且.所以對(duì)任意的a，方程在上有且僅有一個(gè)解.②當(dāng)時(shí)，，令，得，即，，令，函數(shù)是一個(gè)開口向上的二次函數(shù)的一部分，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則方程就有2個(gè)非正根，即函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖：

由圖可知.綜合①②可知，要使有三個(gè)零點(diǎn)，a的取值范圍為.故選：A.題型08函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍解｜題｜策｜略通過數(shù)形結(jié)合的思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，常結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性考查。例1（2026·天津和平·月考）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則的大小關(guān)系為.【答案】【分析】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，，，的圖像，即可求解．【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，，，的圖像，如圖所示：

由圖像可知：.故答案為：例2（2025·天津南開·月考）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)依次為，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而畫出函數(shù)，，，的圖象，觀察函數(shù)圖象，即可判斷，，的大小關(guān)系.【詳解】令，則，即的零點(diǎn)為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，令，則，即的零點(diǎn)為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，令，則，即的零點(diǎn)為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)，，，的圖象，如圖所示，觀察圖象可知，函數(shù)，，的零點(diǎn)依次是點(diǎn)，，的橫坐標(biāo)，由圖象可知.故選：C.【變式1】（2025·天津靜?！ぴ驴迹┮阎瘮?shù)的零點(diǎn)分別是，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合即可得出答案.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)為與的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)的零點(diǎn)為與的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)的零點(diǎn)為與的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出，，，的圖像，如圖示：根據(jù)圖像可知:,,.故選:A【變式2】（2025·天津河?xùn)|·一模）已知函數(shù)，它們的零點(diǎn)的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把零點(diǎn)變成方程的解，現(xiàn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)，由圖象可得大小關(guān)系．【詳解】，，，，，，作出函數(shù)，，的圖象及直線，由圖象可得，，，所以．故選：B．（建議用時(shí)：20分鐘）1．（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性及特值法可判斷.【詳解】對(duì)于A，令，由，則，，所以是非奇非偶函數(shù)，由圖象不符，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，由，則，，所以是非奇非偶函數(shù)，由圖象不符，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除D，故C正確.故選：C.2．（2025·天津·二模）函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用定義法證明為偶函數(shù)，根據(jù)，結(jié)合排除法即可求解.【詳解】的定義域?yàn)镽，則，所以為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除C，D選項(xiàng)；又因?yàn)?，故排除B選項(xiàng).故選：A．3．（2025·天津·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則該圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)各選項(xiàng)的單調(diào)性與函數(shù)值的情況一一判斷，利用排除法即可得解；【詳解】對(duì)于A：，當(dāng)時(shí)，，故排除A；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，故排除B；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，故排除D；對(duì)于C，為偶函數(shù)，由可得，滿足圖象，故C正確.故選：C．4．（2024·天津北辰·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】B根據(jù)上函數(shù)符號(hào)判斷；C由判斷；D根據(jù)上函數(shù)單調(diào)性判斷，結(jié)合排除法即可得答案.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，排除B；由，排除C；對(duì)于，當(dāng)上單調(diào)遞減，排除D.故選：A5．（2024·天津南開·二模）已知函數(shù)的部分圖象如下：

則的解析式可能為（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖可知函數(shù)由圖可知函數(shù)為奇函數(shù)，可以排除AB兩個(gè)選項(xiàng)，再由特殊點(diǎn)排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而得到正確選項(xiàng).【詳解】由圖可知函數(shù)為奇函數(shù)，排除AB兩個(gè)選項(xiàng)；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，由圖，故排除C選項(xiàng)；D選項(xiàng)，是奇函數(shù)，故D正確.故選：D.6．（2024·天津河?xùn)|·二模）已知函數(shù)，，若方程恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】,,．【分析】作出的圖象，分、、、及五種情況，分別作出圖象進(jìn)行討論，即可得答案．【詳解】依題意畫出的圖象如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)直線與相切時(shí)，由，得，，解得，由圖可知，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象無交點(diǎn)，不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象交于點(diǎn)，不滿足題意；③時(shí)，當(dāng)經(jīng)過函數(shù)圖象上的點(diǎn)時(shí)，恰好經(jīng)過函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則要使方根恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，只需，即，故；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；⑤當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，滿足題意．綜上，或．所以的取值范圍為：,,．故答案為：,,．7．（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，已知方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】或【分析】原方程可化為恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，即的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出的圖象，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，不成立，所以恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，；原方程可化為恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，即的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，的圖象如下，由圖可知，當(dāng)，且與相切時(shí)，由，所以，,所以（另一解舍去），若要有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則；，的圖象沒有3個(gè)不同的交點(diǎn)；當(dāng)，且與相切時(shí)，由同理可得（另一解舍去），當(dāng)過時(shí)，，當(dāng)，不符合題意；若要有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則；綜上所述，或.故答案為：或.8．（2025·天津南開·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，已知函數(shù)，，若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，通過兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?所以，即，整理得．因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)解，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.令，則函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，兩函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，故不合題意；②當(dāng)時(shí)，易知，且，令,得,，令,得,若與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，需滿足，解得．③當(dāng)時(shí)，易知．由②的分析可得，若與的圖象有兩交點(diǎn)，需滿足解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.9．（2025·天津·三模）設(shè)函數(shù)，記函數(shù)有且僅有個(gè)互不相同的零點(diǎn)，則當(dāng)取到最大值時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】考慮時(shí)，得到時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)取其他值時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，再考慮時(shí)，變形得到且時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，寫出分段函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到其與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而最終求出最多有4個(gè)零點(diǎn)，得到的取值范圍.【詳解】，即，當(dāng)時(shí)，，即，故滿足要求，若，則無解，若，則，解得不滿足；若，則的解，若，則的解，且當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)取其他值時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，無解，當(dāng)且時(shí)，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，又時(shí)，，其中，，，，畫出的圖象如下：當(dāng)或或或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，綜上：最多有4個(gè)零點(diǎn)，則.故答案為：.10．（2025·天津·一模）已知函數(shù)．若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】首先分析得且，進(jìn)一步分和，兩種情況討論即可，原問題可以轉(zhuǎn)換為的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4來求參數(shù)，從而可以通過畫圖進(jìn)行求解.【詳解】若，則等價(jià)于，解得或，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，其零點(diǎn)不超過兩個(gè)，從而必然有且，的零點(diǎn)有四個(gè)等價(jià)于的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與的圖象相切，直線經(jīng)過點(diǎn)，其中的橫坐標(biāo)是的較小的那個(gè)根，且經(jīng)過直線所過的那個(gè)定點(diǎn)，由求根公式可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從而，所以要滿足題意的話，那么當(dāng)且僅當(dāng)，其中分別表示直線的斜率，顯然有，聯(lián)立直線與得，，從而有，解得或（舍去），舍去是因?yàn)槔碚撋蟻碚f與可能有兩種相切的情況，一種是相切于對(duì)稱軸左邊的一點(diǎn)，一種是相切于對(duì)稱軸右邊一點(diǎn)，從而，所以時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與的圖象相切，直線經(jīng)過點(diǎn)，其中的橫坐標(biāo)是的較大的那個(gè)根，且經(jīng)過直線所過的那個(gè)定點(diǎn)，由求根公式可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從而，所以要滿足題意的話，那么當(dāng)且僅當(dāng)，其中分別表示直線的斜率，顯然有，聯(lián)立直線與得，，從而有，解得或（舍去），舍去是因?yàn)槔碚撋蟻碚f與可能有兩種相切的情況，一種是相切于對(duì)稱軸左邊的靠上面的一點(diǎn)，一種是相切于對(duì)稱軸左邊的靠下面的一點(diǎn)，從而，所以時(shí)，，即，解得或，綜上所述，所求為.故答案為：.11．（2025·天津·二模）記表示不大于x的最大整數(shù)，例如，，則方程所有解的和為．【答案】【分析】由題意得到，和，求解一元二次不等式即可求解.【詳解】由已知有，即，則由，可得，即，解得．同理，有，解得，或，故，或，因此．當(dāng)時(shí)，有，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，不符合題意；當(dāng)時(shí)，有，不符合題意．綜上，方程所有解的和為．故答案為：12．（2025·天津·二模）已知函數(shù)，若方程有且只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】第一步換元，分兩大類：當(dāng)時(shí)，，或當(dāng)時(shí)，，解得或即可得解.【詳解】設(shè)，則，情形一：當(dāng)時(shí)，，解得或，因?yàn)?，故不可能有，從而只能是有唯一的解，這就要求，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，這與矛盾，此時(shí)滿足題意的的取值范圍是；情形二：當(dāng)時(shí)，，解得，這就要求，由于，故只能是，解得，這就要求，此時(shí)滿足題意的的取值范圍是；綜上所述，滿足題意的的取值范圍是.故答案為：.13．（2025·