伴隨矩陣的性質(zhì)及應用研究目錄摘要 1第1章伴隨矩陣的定義與性質(zhì) 31.1伴隨矩陣的定義 31.2伴隨矩陣的基本性質(zhì)及證明 31.3伴隨矩陣的運算性質(zhì)及證明 41.4伴隨矩陣的繼承性 81.5伴隨矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì) 111.6自伴隨矩陣的性質(zhì) 12第2章伴隨矩陣的求法 142.1定義法求伴隨矩陣 142.2初等變換法求伴隨矩陣 15第3章伴隨矩陣的應用 19第4章結(jié)論與展望 24參考文獻 25PAGE\*Arabic2摘要伴隨矩陣是學習矩陣時不可或缺的一環(huán)，同時對于數(shù)學分支研究來說這一塊也是非常重要的．伴隨矩陣作為矩陣中很特別的一種矩陣，在性質(zhì)和應用兩方面都有其自身的特點．本文先從伴隨矩陣的定義和基本性質(zhì)的基礎出發(fā)，比較全面的總結(jié)歸納了伴隨矩陣的運算性質(zhì)、繼承性、特征值與特征向量的性質(zhì)以及自伴隨矩陣的相關性質(zhì)．并對以上所有的性質(zhì)給出了詳細的證明，使伴隨矩陣的性質(zhì)更具有科學性和系統(tǒng)性．隨后探討了兩種求解伴隨矩陣的方法，即定義法和初等變換法，使用這兩種方法可以解決大部分求解伴隨矩陣所遇到的困難．最后給出了伴隨矩陣的性質(zhì)在線性代數(shù)解題中的具體應用．本文不僅拓寬了我們在解決線性代數(shù)問題時的思路，也有助于伴隨矩陣成為各學科以及各領域研究的工具．關鍵詞：伴隨矩陣；繼承性；初等變換法第1章伴隨矩陣的定義與性質(zhì)矩陣在大學高等代數(shù)的學習中非常重要，其應用也相當?shù)膹V泛．伴隨矩陣具有較為獨特的特點，在計算矩陣時經(jīng)常會使用伴隨矩陣，因此系統(tǒng)的討論伴隨矩陣的性質(zhì)是非常有必要的．伴隨矩陣的定義定義1在行列式里，把元素中的第行和第列去掉之后，那么其余的階行列式，就叫做元素的余子式，記作．令，就稱為元素的代數(shù)余子式．定義2[1]設是矩陣，中元素的代數(shù)余子式，則矩陣．叫做的伴隨矩陣．定義３設，若存在滿足，則稱為的逆矩陣，記為．前面給出了余子式、代數(shù)余子式、伴隨矩陣以及逆矩陣的定義，這對我們接下來研究它們的性質(zhì)和應用有非常重要的意義．伴隨矩陣的基本性質(zhì)及證明性質(zhì)1設是階矩陣，則，當可逆時，即，有，即．證明由行列式按一行或一列展開的公式得到，其中．可得．固有，我們得到伴隨矩陣與逆矩陣的關系，該性質(zhì)經(jīng)常用來求矩陣的逆和伴隨矩陣，也是最直接最一般的方法．我們會在下面的應用中具體的使用這條性質(zhì)，使解題變得簡單．性質(zhì)２若階矩陣可逆，則也可逆，且，．證明因為可逆，，則，故．又，即．這個性質(zhì)說明了與的聯(lián)系，這個知識點也經(jīng)常出現(xiàn)在我們的考試中，有效的掌握這個性質(zhì)對于解題很有幫助．在后面也會有這個性質(zhì)的具體應用．伴隨矩陣的運算性質(zhì)及證明性質(zhì)３設為階矩陣，則．證明當時，，由性質(zhì)２可知，而，所以．性質(zhì)４設為階可逆矩陣，．證明因為，所以，由性質(zhì)１得 ，由性質(zhì)３得，所以，結(jié)論成立．性質(zhì)5[2]設是階矩陣，則．證明（１）當時，，由．得．（２）當時，由定義知中至少有一個的階子式不等于，所以，所以，另一方面，因為，所以中所有的階子式（只有一個，即）都等于，從而．所以，故，即，則有．（３）當時，由矩陣的定義可知：中所有的階子式全為，即中所有元素為零，則，所以．這是伴隨矩陣的秩的性質(zhì)，在伴隨矩陣的性質(zhì)中，是綜合性非常強的問題．這個性質(zhì)可以用來求，可以直接求出，同時通過也可以求出．關于求伴隨矩陣的秩的問題我們將在下面的應用中有所體現(xiàn)．性質(zhì)6[3]設是階矩陣，．證明可逆時，由性質(zhì)1可知，不可逆時，，當時，由性質(zhì)5知，若，此時，自然有，若，此時，綜上所述，性質(zhì)6成立．性質(zhì)7[3]設為常數(shù)，為可逆矩陣，則．證明由可逆矩陣的性質(zhì)可以得到，由性質(zhì)2得，所以．數(shù)乘矩陣的伴隨矩陣可以用該性質(zhì)很好的提出．性質(zhì)８一切都有．證明首先，當時，，可逆，又因，則左乘有，所以．（２）當，由性質(zhì)5知，從而，則，可以得出性質(zhì)8成立．該性質(zhì)討論了和的關系，我們在解決很多問題時，都會用到這個性質(zhì)．例如在下面的性質(zhì)19的證明過程中就直接運用了此性質(zhì)，應加以重視．下面應用中有一道化簡題也運用到了這條性質(zhì)．性質(zhì)9[4]設是階矩陣，那么就有．證明（１）當時，得到．（２）當時，令，只要能充分大，且與都可逆，所以就得到，上面的多項式跟是相關聯(lián)的，如果變的無限大時，那么其中相對應的元素也會變得相等，所以說上面的多項式就是對應元素相等的多項式，即上面的多項式對任意的都是成立的．當取時，可以得到．該性質(zhì)也是我們考試中常考的知識點，在計算一些題目時，把求的問題轉(zhuǎn)化為求和求的問題，可以很有效的解決我們在解題時遇到的難題．性質(zhì)10設和為階可逆矩陣，，則．證明因為為階可逆矩陣，所以矩陣可逆且，又知，由于．故有．此性質(zhì)為分塊矩陣的伴隨矩陣的運算性質(zhì)．伴隨矩陣的繼承性首先令為階矩陣，我們就可以得到以下性質(zhì)：性質(zhì)11若為對稱矩陣則也為對稱矩陣．證明因為為對稱矩陣，所以，即中每個元素，繼而有，所以，即也為對稱矩陣．例１設為對稱矩陣，證明也為對稱矩陣．證明因為，根據(jù)伴隨矩陣的定義計算得，所以也為對稱矩陣．性質(zhì)12若為正交矩陣則也為正交矩陣．證明因為為正交矩陣，所以，又根據(jù)性質(zhì)２和性質(zhì)９有．所以也為正交矩陣．性質(zhì)13若矩陣，則矩陣也成立．證明因為矩陣，所以一定有可逆矩陣，使，左右一起取伴隨矩陣就能得到，也就是，又因為矩陣和矩陣是可逆的，所以和也是可逆的，那么由矩陣等價的定義可以得到．性質(zhì)14若矩陣，則矩陣也成立．證明因為矩陣，所以存在矩陣與，使，左右兩邊都取伴隨矩陣就能得到．令，就有，所以．性質(zhì)15若矩陣，則矩陣也成立．證明因為矩陣，所以存在可逆矩陣，使，又因為矩陣與矩陣都可逆，所以將兩邊同時取逆得，即．令，則，故，再將兩邊同時取行列式得，所以，即．令，則有，所以．性質(zhì)16若為可逆矩陣，則也為可逆矩陣；若為不可逆矩陣，則也為不可逆矩陣．證明若可逆，即，由性質(zhì)６知，所以也可逆．若不可逆，即，同樣由性質(zhì)６知，所以也不可逆．性質(zhì)17若為正定矩陣則也為正定矩陣．證明因為為正定矩陣，，故存在可逆矩陣，使得，那么就有，根據(jù)性質(zhì)9可以得出，所以也為正定矩陣．性質(zhì)18[5]若為正規(guī)矩陣，則也為正規(guī)矩陣．證明設為正規(guī)矩陣，則成立，那么就得到，即也為正規(guī)矩陣．性質(zhì)19若為半正定矩陣，則也為半正定矩陣．性質(zhì)20[5]若為上（下）三角矩陣，則也為上（下）三角矩陣．由以上十個性質(zhì)，可以看出，矩陣的許多性質(zhì)都是可以遺傳給它的伴隨矩陣的，所以我們便能夠根據(jù)原矩陣的性質(zhì)來判斷它相應的伴隨矩陣的性質(zhì)，就不必去求它的伴隨矩陣了．伴隨矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)21如果是可逆矩陣，是矩陣的特征值，是矩陣的屬于特征值的特征向量，那么的特征值就是，的屬于特征值的特征向量為．證明因為，設則，所以．所以說是的特征值，就可以叫做的屬于特征值的特征向量．性質(zhì)22如果是不可逆矩陣，并且是的非零特征值，是的屬于的特征向量，那么是的屬于特征值的特征向量．證明設，左右兩邊同時乘以就可以得到即．由于，所以，即是的屬于特征值的特征向量．性質(zhì)23[6]若的特征值為，則的特征值為，的特征值為．證明在兩邊同乘以得即，又因，所以，即．所以的特征值為．在兩邊同乘以，得，即，又因，所以，所以的特征值為．自伴隨矩陣的性質(zhì)前文我們論述了一些伴隨矩陣所擁有的＂共性＂，下面將探究自伴隨矩陣這一特殊的伴隨矩陣，并證明它的性質(zhì)．定義5[7]若矩陣滿足條件，則稱矩陣為自伴隨矩陣．下面說明自伴隨矩陣的幾條性質(zhì)：性質(zhì)24兩個自伴隨矩陣相乘之后仍然是自伴隨矩陣兩個矩陣可交換．證明設為自伴隨矩陣，即，所以，故為自伴隨矩陣成立．反過來，若矩陣和矩陣為自伴隨矩陣，則和也為自伴隨矩陣．因為且，所以，即可交換．性質(zhì)25若為自伴隨矩陣，則或者．證明如果矩陣是階矩陣，由性質(zhì)４可知．又因為是自伴隨矩陣，則，所以或者．推論1行列式為的矩陣為自伴隨矩陣的充要條件是為自逆矩陣．證明必要性若，且，則，即為自逆矩陣．充分性若，并且，那么，因此，即．性質(zhì)26若矩陣的同時是自伴隨矩陣，那么也為自伴隨矩陣．證明因為矩陣，所以存在可逆矩陣使．因為，所以，，因此，是自伴隨矩陣．推論2已知為自伴隨矩陣，，即存在使得，若為正交矩陣，則也為自伴隨矩陣．證明因為為正交矩陣，所以，即可得．所以可得為自伴隨矩陣．

第2章伴隨矩陣的求法在矩陣理論中，求解伴隨矩陣是一個非常重要的問題，我們在探究用定義法求解伴隨矩陣時，通常只能用于二階、三階矩陣，但是當矩陣的級數(shù)很大時，我們用定義法求解就會顯得很復雜．因此，在這里，我們除了給出定義法以外，還給出了一種求解伴隨矩陣的新方法，即初等變換法．因為在線性代數(shù)理論中，矩陣的初等變換應用非常廣泛，所以這一種方法使用簡便而且易于掌握．2.1定義法求伴隨矩陣不管是不是可逆的，運用行列式的代數(shù)余子式，那么伴隨矩陣．一般用于二階、三階方陣．對于四階方陣即四階以上方陣，由于計算量特別大，定義法不太實用，所以下面闡述了使用初等變換求解伴隨矩陣的方法．例2設矩陣，求．解先求矩陣中每個元素的代數(shù)余子式如下，，，，，，，，，．所以由定義法可得．2.2初等變換法求伴隨矩陣利用矩陣的初等變換求伴隨矩陣，當矩陣階數(shù)很大時，其簡便性比利用伴隨矩陣的定義的求法更為突出．定理1[8]設是一個級矩陣，，，且，則，其中都為階可逆方陣，由下面可以得到．證明因為，兩邊取伴隨矩陣得，，故有，從而有．定義4[9]階梯形矩陣具有以下幾個特點（１）元素全部都是的行在下面；（２）元素不是的行，從左往右數(shù)第一個不是的元素叫做主元，各個非零行的主元的列指標隨著行指標的遞增而嚴格增大．定義5[9]簡化行階梯形矩陣是具有以下特點的階梯形矩陣（１）非零行即元素不為零的行的主元是；（２）每個主元所在列的其余元素都是．定理2[9]任意一個矩陣都能通過初等行變換化為簡化行階梯形矩陣．定理3[9]設是一個階矩陣，則是可逆的充要條件是經(jīng)過初等行變換化成的簡化行階梯形矩陣是單位矩陣．結(jié)論當階矩陣是滿秩時，矩陣就是可逆的，并且，從而．并且由定理3可以得到，對于矩陣只需要進行初等行變換就能將其化為標準形．當階矩陣小于時，由定理1可以得到．因此設是一個階矩陣．構造矩陣，并進行初等行變換，將簡化為行階梯形矩陣，就化為矩陣，即．若，則是可逆的，并且，因此．若，那么構造矩陣，并進行初等列變換，將化為標準形，就化為矩陣，即，運用式子，就可以得到矩陣伴隨矩陣．若，則，故．例3設，求．解構造矩陣，并進行初等行變換得．所以．由于QUOTE，則繼續(xù)構造矩陣QUOTE，并對其進行初等列變換，，這樣，所以計算出，因為，由定理1可得，即，所以．

第3章伴隨矩陣的應用下面通過例題說明伴隨矩陣的性質(zhì)在解題中的應用．例4已知，求．分析此題是求的逆矩陣問題，可直接用性質(zhì)1的公式求出．解因為，所以由伴隨矩陣的定義法可以得到，同時，由伴隨矩陣的基本性質(zhì)得．例5已知，是的伴隨矩陣，求．分析此題是求，若用伴隨矩陣的定義法來求解就很復雜，所以可以用性質(zhì)1簡便的求出．解由伴隨矩陣的基本性質(zhì)得，即，又因為，即，所以．例6已知，求．分析此題是求的問題，可直接運用性質(zhì)2的公式求出來解計算可得，所以．例7已知三階矩陣的逆矩陣為，求的逆矩陣．分析此題是把求的問題轉(zhuǎn)化為求的問題，可直接運用性質(zhì)2的公式求出來．解因為，所以，由性質(zhì)2得，所以．例8設階矩陣，當，則為多少？分析這道題是求的秩的問題，可直接用性質(zhì)5得出結(jié)果．解因為，由性質(zhì)3可知，，所以．例9已知和為三階可逆矩陣，且，求．分析這道題為一道綜合題，需綜合性質(zhì)9和性質(zhì)2來解答，將求轉(zhuǎn)化為求和求的問題，可以有效的解決這道題．解經(jīng)計算可得，所以．例10已知和都是階矩陣，，求．分析此題需要先化簡然后運用性質(zhì)6來解決問題．解．例11已知是一個3階矩陣，且已知，求．分析這道題是求數(shù)乘矩陣的伴隨矩陣的問題，可以用性質(zhì)7求解．解因為，所以．例12已知是階可逆矩陣，且，化簡．分析此題是一道化簡題，在解題時就要用到性質(zhì)8，整體是關于和的關系來展開的．解因為，又因，所以．例13設有四階矩陣滿足，其中為四階單位矩陣，求伴隨矩陣的一個特征值．解由題意得，所以為的一個特征值．因為，所以，即，所以的一個特征根為．例14設矩陣，其行列式，有的伴隨矩陣有一個特征值，屬于的一個特征向量為，求和的值．解由題意得，兩邊同乘以得，又因，所以，即．由此可得，由于，即，由上述四個方程式可求得．例15試求出滿足的一切階矩陣．分析此題主要運用性質(zhì)5進行分類討論．證明若時，，自然有．若時，則，即，此時．若，則．當時，顯然．當時，設，則，不可能有，因此假設，則有，且，于是，這與矛盾．所以．若，則，于是由性質(zhì)1可得，當且僅當．綜上可得，滿足的方陣為零方陣以及適合的可逆方陣．

第4章結(jié)論與展望伴隨矩陣在我們大學高等代數(shù)的學習中是以求解逆矩陣的工具的身份出現(xiàn)的，因此對它的研究還是比較淺薄的，并沒有很深入．但從伴隨矩陣的重要性這方面來看，對它的性質(zhì)和應用的探究是十分重要的．伴隨矩陣的出現(xiàn)可以有效的幫助我們解決線性代數(shù)中的問題．本文先是從伴隨矩陣的基本性質(zhì)和運算性質(zhì)出發(fā)，隨后展開討論，給出了伴隨矩陣的繼承性、伴隨矩陣的特征值和特征向量方面的性質(zhì)以及自伴隨矩陣的一些性質(zhì)，并對以上的性質(zhì)給出了詳細的證明過程．其次針對伴隨矩陣，給出兩種求解伴隨矩陣的方法：一是定義法，二是初等變換法；兩種方法各有各的優(yōu)缺點，在具體計算時要針對不同問題選擇不同的方法．比如在計算時遇到求三階矩陣的伴隨矩陣時，就可以選擇定義法更簡便快捷；在遇到四階及四階以上的矩陣求其伴隨矩陣時，那么初等變換法就是最好的選擇．最后我針對以上伴隨矩陣的部分性質(zhì)，給出具體的應用，能更好的熟練和應用伴隨矩陣來求解線性代數(shù)中的問題．這次通過寫伴隨矩陣的性質(zhì)及應用，讓我更加熟練的掌握了伴隨矩陣，課堂上學習到的理論知識在論文的寫作過程中得到了充分的應用．但是學習的腳步是沒有盡頭的，永遠也不能自滿，在寫這篇論文的過程中我也清晰的了解到自己還有很多不足之處，比如沒有對重伴隨矩陣進行延伸和推廣．由于本人學識有限，對此也非常的遺憾．所以非常希望得到各位老師的批評與指正．參考文獻[1]王萼芳，石生明.高等代數(shù)（第四版）[M].北京:高等教育出版社，2013:162～180.[2]張忠.伴隨矩陣的若干性質(zhì)及其應用[J].湖北工程學院新技術學院學報，2019，28:244~245.[3]韓成茂.伴隨矩陣性質(zhì)研究[D].山東大學，2008.[4]王蓮花，田立平.伴隨矩陣的性質(zhì)及其應用[J].河南教育學院學報，2006，15(03):3~6.[5]殷華敏.霍錦霞，齊淵.矩陣的若干性質(zhì)對其伴隨矩陣的傳遞性[J].信仰農(nóng)業(yè)高