3/12專題2.1空間幾何體外接球內(nèi)切球問題內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢(shì)鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點(diǎn)，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點(diǎn)的解題策略與實(shí)戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級(jí)題感”與應(yīng)變能力近三年：空間幾何體外接球內(nèi)切球問題一直是高考中的重難點(diǎn)，也是空間幾何體中的一個(gè)比較難得知識(shí)點(diǎn)，近年來，也是高考中的高頻考點(diǎn)。預(yù)測(cè)2026年：考向01棱錐墻角模型考向02對(duì)棱相等的三棱錐外接球考向03常規(guī)棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體模型考向04二面角外接球模型考向05圓錐，圓柱，圓臺(tái)外接球模型考向06不規(guī)則幾何體外接球問題考向07空間幾何體內(nèi)切球問題考向08空間幾何體內(nèi)切多球問題考向01棱錐墻角模型墻角模型是棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是棱錐模型（一般是三棱錐或者是四棱錐），在空間內(nèi)不在同一個(gè)平面的四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面及球面．即可以通過補(bǔ)成長(zhǎng)方體或者是正方體，棱錐外接球即是對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體外接球。去轉(zhuǎn)化外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)(在長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒殺公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半徑從而解決問題．有以下四種類型：1已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，且，，則球的體積為（

）A． B． C． D．2（2025·貴州銅仁·三模）在三棱錐中，已知平面，，．若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．考向02對(duì)棱相等的三棱錐外接球三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（，，）設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．注意當(dāng)長(zhǎng)方體中時(shí)候，長(zhǎng)方體即是正方體，此四棱錐即是正四面體。正四面體的棱長(zhǎng)為m,,則正四面體的高即為1在四面體中，三組對(duì)棱的棱長(zhǎng)分別相等且依次為，，5，則此四面體的外接球的半徑．2在四面體中，，，則它的外接球的表面積（

）A． B． C． D．3已知三棱錐中，，若均在半徑為2的球面上，求的范圍．考向03常規(guī)棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體模型1垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補(bǔ)為直棱柱內(nèi)接于球，由對(duì)稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點(diǎn)，．第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：2或者是有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個(gè)互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點(diǎn)O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問題．設(shè)三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m2，))解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－eq\f(l2,4)(其中r1、r2為兩個(gè)面的外接圓的半徑，l為兩個(gè)面的交線的長(zhǎng))1已知四邊形，是以為邊長(zhǎng)的等邊三角形，，現(xiàn)把沿著對(duì)角線進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)在面上的投影落在點(diǎn)處，則此時(shí)三棱錐外接球的表面積為.2在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，且，，二面角的大小為，則此三棱錐外接球的表面積為.3如圖，在三棱錐中，，，，且直線與所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為

考向04二面角外接球模型一直三棱錐或者是四棱錐問題，已知對(duì)應(yīng)的二面角，求對(duì)應(yīng)的外接球的半徑問題，如圖所示求對(duì)應(yīng)的外接球的半徑，（或者是菱形的沿著對(duì)角線進(jìn)行折疊問題）1已知平面平面，球O與直線l相切于點(diǎn)A，平面與平面分別截球O所得截面圓的半徑為1，．若二面角的大小為，則球O的半徑為．2在四邊形中，，對(duì)角線，將沿翻折成，使二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為．3在邊長(zhǎng)為6的菱形中，，沿對(duì)角線將折起，使得二面角的大小為，連接，則四面體的外接球的表面積為．考向05棱臺(tái)，圓錐，圓柱，圓臺(tái)外接球模型1棱臺(tái)模型：2．圓錐的外接球(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).3圓柱的外接球(R是圓柱外接球的半徑，h是圓柱的高，r是圓柱底面圓的半徑).4圓臺(tái)外接球1已知正四棱臺(tái)，，高為，則該正四棱臺(tái)外接球的表面積為.2已知某三棱臺(tái)的高為，上、下底面分別為邊長(zhǎng)為和的正三角形，若該三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為．考向06不規(guī)則幾何體外接球問題空間幾何體內(nèi)切多球問題主要思路空間內(nèi)不在同一個(gè)平面的四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)球面，對(duì)于不規(guī)則幾何體的外接球，應(yīng)該轉(zhuǎn)化成規(guī)則幾何體。或者是補(bǔ)成常規(guī)的幾何體，利用找到兩個(gè)平面的外心，從而找到兩個(gè)平面過外心的垂線的交點(diǎn)即是所要求的外接球的球心即可。其解題思維流程如下：1定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；2作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；3求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.1＂阿基米德多面體＂也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示，將正方體沿同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去8個(gè)三棱錐，得到8個(gè)面為正三角形、6個(gè)面為正方形的一種半正多面體．若，則此半正多面體外接球的表面積為.2已知正四面體的棱長(zhǎng)為，現(xiàn)截去四個(gè)全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個(gè)八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小值為.3如圖，在平面四邊形中，，沿對(duì)角線將折起，使平面平面，連接，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

考向07空間幾何體內(nèi)切球問題1空間幾何體（椎體，柱體，臺(tái)體）的內(nèi)切球問題半徑，一般思路是利用等體積法。即2對(duì)于空間旋轉(zhuǎn)體(圓臺(tái)，圓柱，圓錐)一般是采用將幾何體內(nèi)切球問題轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)軸截面的內(nèi)接圓問題，如圖，圓錐，圓柱，圓臺(tái)的內(nèi)切球一般轉(zhuǎn)化成軸面的內(nèi)切圓1已知某三棱柱的底面為邊長(zhǎng)為6的正三角形，且該三棱柱存在內(nèi)切球，則該三棱柱的高為．2工人要將一個(gè)圓錐形的實(shí)心鐵塊打磨成一個(gè)鐵球，若圓錐形鐵塊的體積為，則可能得到的鐵球體積的最大值為.3已知圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，母線長(zhǎng)為2，則圓臺(tái)的外接球體積為．考向08空間幾何體內(nèi)切多球問題空間幾何體內(nèi)切多球問題主要思路1利用內(nèi)切球的球心，連接對(duì)應(yīng)的球心，從而組成相應(yīng)的椎體或者是柱體，在利用對(duì)應(yīng)的截面圖形，找到半徑與空間幾何體對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系。2利用幾何體的截面，從而將空間幾何體的多內(nèi)切球問題轉(zhuǎn)化成平面幾何體的內(nèi)接圓問題，1如圖，在正四面體中，中間1個(gè)大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，4個(gè)小球與大球?正四面體的三個(gè)面均相切.若，則該正四面體中，其中一個(gè)小球與大球的體積比為.2甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如圖所示，在裝滿酸奶的圓臺(tái)形杯具內(nèi)有半徑分別為和的兩個(gè)巧克力球，巧克力小球與杯底和杯壁均相切，大球與小球?杯壁?杯蓋均相切，則杯具中酸奶的體積為.3已知某種益智玩具如圖所示，它由兩個(gè)同底的正四棱錐拼接而成，若上面的正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2，下面的正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，則其內(nèi)切球的表面積為.4在正三棱錐中，，，三棱錐的內(nèi)切球球心為O，若在此三棱錐中再放入一個(gè)球，使其與三個(gè)側(cè)面及內(nèi)切球O均相切，則球的半徑為．（建議用時(shí)：60分鐘）一、填空題1已知某正三棱柱既有內(nèi)切球又有外接球，外接球的表面積為，則該三棱柱的體積為.2在三棱錐中，平面ABC，，，，則三棱錐的外接球的體積為.3如圖，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將半徑為1的雞蛋（視為球）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋最高點(diǎn)與蛋巢底面的距離為．4一個(gè)四面體有五條棱的棱長(zhǎng)為，且外接球的表面積為，則不同于這五條棱的棱的棱長(zhǎng)為．5已知一個(gè)圓臺(tái)母線長(zhǎng)為3，側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為的半圓形扇環(huán)（如圖所示），在該圓臺(tái)內(nèi)能放入一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體（圓臺(tái)表面厚度忽略不計(jì)），則該正四面體體積的最大值為．6在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)面底面，.若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為，三棱錐體積的最大值為.7中國(guó)雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動(dòng)，是中國(guó)玉雕工藝的一個(gè)重大突破.今一雕刻大師在棱長(zhǎng)為10的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球，在球內(nèi)部又套雕出一個(gè)正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐)，若不計(jì)各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為8空間利用率是指構(gòu)成晶體的原子在整個(gè)晶體空間中所占有的體積比，即空間利用率．如圖1是六方最密堆積晶胞的示意圖．以上下層球心為頂點(diǎn)得平行六面體，如圖2，其中是中間層球的球心，已知該示意圖中原子的平均個(gè)數(shù)為2，則該晶胞的空間利用率為（用含的式子表示）．

9一正四棱錐形狀的中空水晶，其側(cè)面分別鐫刻“自”“信”“自”“立”四字，內(nèi)部為一個(gè)正四面體形狀的水晶，表面上分別鐫刻“自”“主”“自”“強(qiáng)”四字，當(dāng)其在四棱錐外殼內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，好似折射出可穿越時(shí)空的永恒光芒.已知外部正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為，為使內(nèi)部正四面體在外部正四棱錐內(nèi)(不考慮四棱錐表面厚度)可繞四面體中心任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體棱長(zhǎng)最大為.10在三棱錐中，底面，側(cè)面?zhèn)让?，且，的面積為4.若三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球表面積的最小值為.11一個(gè)高為，上、下底面半徑分別是和的封閉圓臺(tái)容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)有一個(gè)鐵球，則鐵球表面積的最大值為．12如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體內(nèi)有兩個(gè)球、相外切，兩球又分別與正方體內(nèi)切，則兩球體積之和的最小值為.（參考公式：.）13如圖，半徑為2的四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，放入一個(gè)玩具小球，合上盒蓋，當(dāng)小球的半徑最大時(shí)，小球的表面積為.14如圖，三個(gè)半徑都是6的球，球，球放在一個(gè)半球面的碗（碗的厚度不計(jì)）中，球，球，球兩兩外切，并且球，球，球的頂端恰好與碗的上沿處于同一水平面，碗的半徑是，又有一個(gè)半徑為的球與球，球，球均外切，并且球的頂端也恰好與碗的上沿處于同一水平面，則．15如圖，石獅子是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中常用的裝飾物，石獅子口含石球．將石球看作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球體，石獅子張開的嘴內(nèi)部形狀看作下底邊長(zhǎng)為24，上底邊長(zhǎng)為14，高為12的正四棱臺(tái)，若石球整體都在棱臺(tái)的內(nèi)部，且始終與棱臺(tái)的上下底面相切，則石球球心能運(yùn)動(dòng)的區(qū)域的面積為．

專題2.1空間幾何體外接球與內(nèi)切球問題內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢(shì)鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點(diǎn)，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點(diǎn)的解題策略與實(shí)戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級(jí)題感”與應(yīng)變能力近三年：空間幾何體外接球內(nèi)切球問題一直是高考中的重難點(diǎn)，也是空間幾何體中的一個(gè)比較難得知識(shí)點(diǎn)，近年來，也是高考中的高頻考點(diǎn)。預(yù)測(cè)2026年：考向01棱錐墻角模型考向02對(duì)棱相等的三棱錐外接球考向03常規(guī)棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體模型考向04二面角外接球模型考向05圓錐，圓柱，圓臺(tái)外接球模型考向06不規(guī)則幾何體外接球問題考向07空間幾何體內(nèi)切球問題考向08空間幾何體內(nèi)切多球問題考向01棱錐墻角模型墻角模型是棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是棱錐模型（一般是三棱錐或者是四棱錐），在空間內(nèi)不在同一個(gè)平面的四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面及球面．即可以通過補(bǔ)成長(zhǎng)方體或者是正方體，棱錐外接球即是對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體外接球。去轉(zhuǎn)化外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)(在長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒殺公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半徑從而解決問題．有以下四種類型：1已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，且，，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，把三棱錐可補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，求得，結(jié)合球的體積公式，即可求解.【詳解】在三棱錐中，因?yàn)槠矫?，且，，，則三棱錐可補(bǔ)成如圖所示的一個(gè)長(zhǎng)方體，其中三棱錐的外接球與該長(zhǎng)方體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，在直角中，可得，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，可得，所以，則球的體積為.故選：B.2（2025·貴州銅仁·三模）在三棱錐中，已知平面，，．若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三棱錐兩兩垂直的特性將三棱錐補(bǔ)為長(zhǎng)方體，三棱錐外接球的半徑為所補(bǔ)長(zhǎng)方體的直徑，計(jì)算求出半徑，代入體積公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫?，，，，所以，即．把三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑．根據(jù)長(zhǎng)方體體對(duì)角線公式，則，球的體積.故選：C．考向02對(duì)棱相等的三棱錐外接球三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（，，）設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．注意當(dāng)長(zhǎng)方體中時(shí)候，長(zhǎng)方體即是正方體，此四棱錐即是正四面體。正四面體的棱長(zhǎng)為m,,則正四面體的高即為1在四面體中，三組對(duì)棱的棱長(zhǎng)分別相等且依次為，，5，則此四面體的外接球的半徑．【答案】【分析】將四面體補(bǔ)形為為一個(gè)面對(duì)角線長(zhǎng)分別為，，5的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體外接球即四面體外接球.【詳解】四面體中，三組對(duì)棱的棱長(zhǎng)分別相等，可將其補(bǔ)形為一個(gè)面對(duì)角線長(zhǎng)分別為，，5的長(zhǎng)方體．設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高為，由題有：，即長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方體外接球半徑，即四面體外接球半徑為.故答案為：2在四面體中，，，則它的外接球的表面積（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四面體棱長(zhǎng)的特點(diǎn)，可將其與長(zhǎng)方體結(jié)合，求得長(zhǎng)方體體對(duì)角線即可求得外接球表面積.【詳解】因?yàn)?，，所以可以將四面體“放入”一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖所示：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則有，即有，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，即外接球半徑為，故外接球的表面積.故選：D3已知三棱錐中，，若均在半徑為2的球面上，求的范圍．【答案】【分析】將三棱錐補(bǔ)為長(zhǎng)方體，設(shè)出長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)，利用球的直徑即可表示出，結(jié)合參數(shù)方程即可求解.【詳解】由，均在半徑為2的球面上，可將三棱錐放置于長(zhǎng)方體中，如圖，

設(shè)棱長(zhǎng)分別為，則，故長(zhǎng)方體對(duì)角線平方為，可設(shè)，，，考慮到是三角形邊長(zhǎng),故，其范圍是．故答案為：考向03常規(guī)棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體模型1垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補(bǔ)為直棱柱內(nèi)接于球，由對(duì)稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點(diǎn)，．第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：2或者是有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個(gè)互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點(diǎn)O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問題．設(shè)三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m2，))解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－eq\f(l2,4)(其中r1、r2為兩個(gè)面的外接圓的半徑，l為兩個(gè)面的交線的長(zhǎng))1已知四邊形，是以為邊長(zhǎng)的等邊三角形，，現(xiàn)把沿著對(duì)角線進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)在面上的投影落在點(diǎn)處，則此時(shí)三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】因?yàn)辄c(diǎn)在面上的投影落在點(diǎn)處，所以平面BCD，根據(jù)條件，求出各個(gè)長(zhǎng)度，根據(jù)余弦定理，求出的余弦值，進(jìn)而可得其正弦值，根據(jù)正弦定理，可得的外接圓半徑，設(shè)棱錐外接球的球心為O，則平面BCD，根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，計(jì)算求解，即可得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在面上的投影落在點(diǎn)處，所以平面BCD，則，因?yàn)?，所以，在中，，所以，設(shè)的外接圓圓心為，外接圓半徑r，由正弦定理得，解得，設(shè)三棱錐外接球的球心為O，外接球半徑為R，，則平面BCD，過O作，交AC于點(diǎn)E，則，在中，，即，在中，，即，與上式聯(lián)立，解得，，所以外接球的表面積.故答案為：2在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，且，，二面角的大小為，則此三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合面面垂直的性質(zhì)分析可知平面，將三棱錐補(bǔ)形成直三棱柱，結(jié)合直三棱柱求外接球的半徑和表面積.【詳解】由題意可知：，，，則，即，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，可知的外接圓半徑，將三棱錐補(bǔ)形成直三棱柱，

結(jié)合直三棱柱可知外接球的半徑，所以此三棱錐外接球的表面積為.故答案為：3如圖，在三棱錐中，，，，且直線與所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為

【答案】【分析】由題意，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體中，根據(jù)已知條件建立關(guān)于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高的邊長(zhǎng)a，b，c的方程組，求解得，進(jìn)而可得外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，從而根據(jù)球的體積公式即可求解.【詳解】由題意知，，平面ADC，則平面ADC，又平面ADC，所以，又，，平面ABC，所以平面ABC，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體中，如圖：

易知，所以為直線AB與DC所成的角，所以，解得.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為a，b，c，則，，，三式相加得，所以長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，所以該三棱錐的外接球的體積為.故答案為：考向04二面角外接球模型一直三棱錐或者是四棱錐問題，已知對(duì)應(yīng)的二面角，求對(duì)應(yīng)的外接球的半徑問題，如圖所示求對(duì)應(yīng)的外接球的半徑，（或者是菱形的沿著對(duì)角線進(jìn)行折疊問題）1已知平面平面，球O與直線l相切于點(diǎn)A，平面與平面分別截球O所得截面圓的半徑為1，．若二面角的大小為，則球O的半徑為．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理和余弦定理即可列方程求解.【詳解】根據(jù)題意以及球的對(duì)稱性可得圖形的剖面圖如下：設(shè)分別為與球所截得的圓的半徑，不妨設(shè)，，球的半徑為,故，解得，故,故答案為：，

2在四邊形中，，對(duì)角線，將沿翻折成，使二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為．【答案】【分析】取中點(diǎn)，連接，弦2由題設(shè)和二面角定義得到，分別取外接圓圓心，分別過作垂直于平面和平面的垂線得到兩垂線交點(diǎn)O為四面體外接球的球心，依據(jù)題設(shè)信息求出和即可分析計(jì)算求解.【詳解】由題可得是正三角形，如圖取中點(diǎn)，連接，則，所以為二面角的一個(gè)平面角，故，分別取外接圓圓心，連接，則分別在上，且，分別過作垂直于平面和平面的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)O，則O為四面體外接球的球心，且，連接，則，所以，所以四面體外接球的半徑R滿足.所以四面體外接球的表面積為.故答案為：3在邊長(zhǎng)為6的菱形中，，沿對(duì)角線將折起，使得二面角的大小為，連接，則四面體的外接球的表面積為．【答案】【分析】取中點(diǎn)，分別取和的外心，過分別作平面和平面的垂線，交于點(diǎn)，則是四面體外接球球心，中，求得，求出半徑后可得表面積．【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，分別取和的外心，過分別作平面和平面的垂線，交于點(diǎn)，則是四面體外接球球心，連接，由原平面圖形是菱形，且，知，分別在上，且，是二面角的平面角，因此，是等邊三角形，邊長(zhǎng)為，，中，，所以，又，所以，所以四面體的外接球的表面積為，故答案為：．考向05棱臺(tái)，圓錐，圓柱，圓臺(tái)外接球模型1棱臺(tái)模型：2圓錐的外接球(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).3圓柱的外接球(R是圓柱外接球的半徑，h是圓柱的高，r是圓柱底面圓的半徑).4圓臺(tái)外接球1已知正四棱臺(tái)，，高為，則該正四棱臺(tái)外接球的表面積為.【答案】【分析】取，的中點(diǎn)，連接，則平面，平面，設(shè)正四棱臺(tái)外接球的球心為，半徑為，利用勾股定理求出，即可求出，從而得解.【詳解】如圖，取，的中點(diǎn)，連接，則，由對(duì)稱性可得正四棱臺(tái)的外接球的球心在直線上，則平面，平面，連接，由，，得，，設(shè)正四棱臺(tái)的外接球的半徑為，則，又，所以，解得，則，所以該正四棱臺(tái)外接球的表面積為.故答案為：.

2已知某三棱臺(tái)的高為，上、下底面分別為邊長(zhǎng)為和的正三角形，若該三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為．【答案】【分析】求出三棱臺(tái)上下底面正三角形外接圓的半徑，確定球心位置，結(jié)合球的截面圓性質(zhì)求出球半徑，再由球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】依題意，該三棱臺(tái)為正三棱臺(tái)，設(shè)為三棱臺(tái)，如圖，上底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，下底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，由正三棱臺(tái)的性質(zhì)知，其外接球的球心在直線上，令該球半徑為，于是，或，解得，所以球的表面積是．故答案為：考向06不規(guī)則幾何體外接球問題空間幾何體內(nèi)切多球問題主要思路空間內(nèi)不在同一個(gè)平面的四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)球面，對(duì)于不規(guī)則幾何體的外接球，應(yīng)該轉(zhuǎn)化成規(guī)則幾何體?；蛘呤茄a(bǔ)成常規(guī)的幾何體，利用找到兩個(gè)平面的外心，從而找到兩個(gè)平面過外心的垂線的交點(diǎn)即是所要求的外接球的球心即可。其解題思維流程如下：1定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；2作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；3求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.1＂阿基米德多面體＂也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示，將正方體沿同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去8個(gè)三棱錐，得到8個(gè)面為正三角形、6個(gè)面為正方形的一種半正多面體．若，則此半正多面體外接球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性可知,該半正多面體外接球的球心為正方體的中心，進(jìn)而可求球的半徑和表面積.【詳解】如圖，在正方體中，分別取正方體、正方形的中心、，連接，∵分別為的中點(diǎn)，則，∴正方體的邊長(zhǎng)為，故，可得，根據(jù)對(duì)稱性可知：點(diǎn)到該半正多面體的頂點(diǎn)的距離相等，則該半正多面體外接球的球心為，半徑，故該半正多面體外接球的表面積為.故答案為：2已知正四面體的棱長(zhǎng)為，現(xiàn)截去四個(gè)全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個(gè)八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小值為.【答案】【分析】畫出圖形，做出輔助線，求出大正四面體的外接球半徑，這個(gè)八面體的外接球半徑為，則截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小，根據(jù)勾股定理列出方程，求出答案，舍去不合要求的解.【詳解】如圖，正四面體在點(diǎn)截去小正四面體，取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作⊥平面，則在上，且⊥平面，垂足為，連接，則為正的中心，大正四面體的外接球球心在高上，設(shè)為，連接，則，因?yàn)榇笳拿骟w的棱長(zhǎng)為，故，解得，由勾股定理得，在中，，即，解得，則大正四面體的外接球半徑為6，若這個(gè)八面體的外接球半徑為，則截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小，由對(duì)稱性可知，這個(gè)八面體的外接球的球心與正四面體的外接球球心重合，連接，則，設(shè)截去的小正四面體的棱長(zhǎng)為，則，即，則，故，故高，所以，在中，，即，解得或，，不合要求，舍去，符合要求，截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小值為.故答案為：.3如圖，在平面四邊形中，，沿對(duì)角線將折起，使平面平面，連接，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

【答案】【分析】設(shè)，利用表示出AD，CD，由正弦定理可得外接圓的半徑，由已知條件和平面可得，然后用換元法和基本不等式可得.【詳解】在平面四邊形中設(shè)，即在Rt中，.在等腰中，.設(shè)外接圓圓心為，外接圓半徑為，由正弦定理可得.設(shè)三棱錐外接球球心為，則平面.又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，則，所以四邊形為直角梯形.設(shè)外接球的半徑為，在平面四邊形中，過做于，在中，為的中點(diǎn)，，由，所以.令，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)（滿足）等號(hào)成立.所以，所以外接球表面積的最小值為.

故答案為：考向07空間幾何體內(nèi)切球問題1空間幾何體（椎體，柱體，臺(tái)體）的內(nèi)切球問題半徑，一般思路是利用等體積法。即對(duì)于空間旋轉(zhuǎn)體(圓臺(tái)，圓柱，圓錐)一般是采用將幾何體內(nèi)切球問題轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)軸截面的內(nèi)接圓問題，如圖，圓錐，圓柱，圓臺(tái)的內(nèi)切球一般轉(zhuǎn)化成軸面的內(nèi)切圓1已知某三棱柱的底面為邊長(zhǎng)為6的正三角形，且該三棱柱存在內(nèi)切球，則該三棱柱的高為．【答案】【分析】由題意內(nèi)切球半徑等于底面內(nèi)切圓半徑，據(jù)此可得解.【詳解】如圖，邊長(zhǎng)為6的正三角形的內(nèi)切圓半徑為：，所以正三棱柱的高為．故答案為：．2工人要將一個(gè)圓錐形的實(shí)心鐵塊打磨成一個(gè)鐵球，若圓錐形鐵塊的體積為，則可能得到的鐵球體積的最大值為.【答案】【分析】圓錐能打磨得鐵球體積的最大值，即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，內(nèi)切球的半徑為，根據(jù)圓錐體積公式、三角形相似、勾股定理可得，要使得關(guān)于的方程有解，由得的取值范圍，從而得所求.【詳解】圓錐能夠打磨出鐵球體積的最大值，即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，內(nèi)切球的半徑為，取圓錐的軸截面如下，則，球與母線相切于點(diǎn)，則，，又圓錐的體積為，所以，因?yàn)椋瑒t，所以在中，，則，整理得，由得，代入整理得：，關(guān)于的方程有解，則，解得，所以可能得到的鐵球體積的最大值為.故答案為：.3已知圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，母線長(zhǎng)為2，則圓臺(tái)的外接球體積為．【答案】【分析】結(jié)合題意利用勾股定理建立方程求出，再建立方程組求解，最后利用球的體積公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，母線為，圓臺(tái)的高為，由已知得，設(shè)球心O到下底面的距離為，球的半徑為，由勾股定理得，解得，當(dāng)圓臺(tái)的外接球球心O在圓臺(tái)里面時(shí)，，解得，不符合題意，當(dāng)圓臺(tái)的外接球球心O在圓臺(tái)外面時(shí)，必在下底面下方，則，解得，由球的體積公式得圓臺(tái)的外接球體積為.故圓臺(tái)的外接球體積為．故答案為：考向08空間幾何體內(nèi)切多球問題空間幾何體內(nèi)切多球問題主要思路1利用內(nèi)切球的球心，連接對(duì)應(yīng)的球心，從而組成相應(yīng)的椎體或者是柱體，在利用對(duì)應(yīng)的截面圖形，找到半徑與空間幾何體對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系。2利用幾何體的截面，從而將空間幾何體的多內(nèi)切球問題轉(zhuǎn)化成平面幾何體的內(nèi)接圓問題，1如圖，在正四面體中，中間1個(gè)大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，4個(gè)小球與大球?正四面體的三個(gè)面均相切.若，則該正四面體中，其中一個(gè)小球與大球的體積比為.【答案】【分析】根據(jù)正四面體的體積公式和球的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示，設(shè)為大球的球心，大球的半徑為，大正四面體的底面中心為，棱長(zhǎng)為，高為，的中點(diǎn)為，連接，，，，，，則，，又，則，所以，大球的體積為.設(shè)小球的半徑為，小球也可看作一個(gè)小的正四面體的內(nèi)切球，則小正四面體的高，所以，所以一個(gè)小球的體積為，故其中一個(gè)小球與大球的體積比為.故答案為：.2甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如圖所示，在裝滿酸奶的圓臺(tái)形杯具內(nèi)有半徑分別為和的兩個(gè)巧克力球，巧克力小球與杯底和杯壁均相切，大球與小球?杯壁?杯蓋均相切，則杯具中酸奶的體積為.【答案】【分析】先由題意作出軸截面，根據(jù)四邊形，四邊形，四邊形，四邊形兩兩之間相似，可得，求出，由體積公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)大球半徑為，小球半徑為，則大球體積，小球體積.圓臺(tái)的高為.根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：，.由圖易知四邊形，四邊形，四邊形，四邊形兩兩之間相似，即.解得：，則，則圓臺(tái)體積為則酸奶的體積為：.故答案為：3已知某種益智玩具如圖所示，它由兩個(gè)同底的正四棱錐拼接而成，若上面的正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2，下面的正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，則其內(nèi)切球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，利用等體積法求解內(nèi)切球半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)上面正四棱錐為，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，中心為，側(cè)棱長(zhǎng)，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，正四棱錐的側(cè)面積為；設(shè)下面正四棱錐為，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，中心為，側(cè)棱長(zhǎng)，在中，根據(jù)勾股定理得，，正四棱錐的側(cè)面積為；組合體的體積為，組合體的表面積為.設(shè)組合體的內(nèi)切球半徑為，利用可得，，，組合體內(nèi)切球的表面積為.故答案為：.4在正三棱錐中，，，三棱錐的內(nèi)切球球心為O，若在此三棱錐中再放入一個(gè)球，使其與三個(gè)側(cè)面及內(nèi)切球O均相切，則球的半徑為．【答案】【分析】設(shè)內(nèi)切球O的半徑為，球的半徑為.由題意可得三棱錐的體積和表面積.由等積法得.用一平行于底面且與球O上部相切的平面去截此三棱錐得到一個(gè)小棱錐,求此小棱錐的高，再根據(jù)相似關(guān)系求得小棱錐的體積和表面積，進(jìn)而由等積法求得球的半徑.【詳解】設(shè)內(nèi)切球O的半徑為，球的半徑為.設(shè)此棱錐的高為,底面的中心為，三棱錐的表面積為.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為，底面的高，，所以，棱錐的高,側(cè)面的高，三棱錐的體積所以，所以三棱錐的表面積為.由等積法知，得.用一平行于底面且與球上部相切的平面截此三棱錐，棱錐的內(nèi)切球半徑即為球的半徑，設(shè)棱錐的高為，三棱錐的表面積為.因?yàn)槔馀_(tái)的高為，所以，根據(jù)相似關(guān)系，，棱錐的表面積為，根據(jù)等體積法，得，解得.故答案為：.（建議用時(shí)：60分鐘）一、填空題1已知某正三棱柱既有內(nèi)切球又有外接球，外接球的表面積為，則該三棱柱的體積為.【答案】【分析】點(diǎn)為等邊的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，即底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，由題意可知正三棱柱的高，求出外接球的半徑，結(jié)合球的表面積可得，進(jìn)而可求正三棱柱的體積.【詳解】如圖，點(diǎn)為等邊的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，則，，則的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)榇苏庵扔袃?nèi)切球又有外接球，設(shè)為正三棱柱內(nèi)切球的球心，則點(diǎn)也是外接球的球心，由內(nèi)切球的半徑為，可得，則正三棱柱的高，正三棱柱的外接球的半徑，因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e為，則，解得，所以該三棱柱的體積.故答案為：.2在三棱錐中，平面ABC，，，，則三棱錐的外接球的體積為.【答案】【分析】求出，可得外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑．即可求出體積．【詳解】，.由正弦定理可知，的外接圓的直徑，因此半徑.平面，該三棱錐的外接球的半徑，則三棱錐的外接球的體積.故答案為：.3如圖，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將半徑為1的雞蛋（視為球）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋最高點(diǎn)與蛋巢底面的距離為．【答案】【分析】由條件可求4個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑，結(jié)合球的截面性質(zhì)可求球心到截面圓的距離，進(jìn)一步加上垂直折起的4個(gè)小直角三角形的高以及雞蛋（球）的半徑即可得解.【詳解】由已知蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以蛋巢過原正方形的四個(gè)頂點(diǎn)的平面截雞蛋（球）所得的截面圓的直徑為1，且蛋巢的高度為，又球的半徑為1，所以球心到截面的距離為,故雞蛋最高點(diǎn)與蛋巢底面的距離為.故答案為：.4一個(gè)四面體有五條棱的棱長(zhǎng)為，且外接球的表面積為，則不同于這五條棱的棱的棱長(zhǎng)為．【答案】【分析】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接、，?。拷c(diǎn)）的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則為三棱錐的外接球半徑，求出的值，可求出的長(zhǎng)，即可得出的長(zhǎng)，即為所求.【詳解】設(shè)，則和都是正三角形．取的中點(diǎn)，連接、，取（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)為的外心，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，因?yàn)楹投际钦切?，為的中點(diǎn)，則，，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，如圖，則，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則，如圖，則點(diǎn)即為三棱錐外接球的圓心，是外接球的半徑．設(shè)外接球的半徑為，則，可得，所以，，，，所以，，故，又因?yàn)椋?，故，即不同于五條棱的棱的棱長(zhǎng)為．故答案為：.5已知一個(gè)圓臺(tái)母線長(zhǎng)為3，側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為的半圓形扇環(huán)（如圖所示），在該圓臺(tái)內(nèi)能放入一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體（圓臺(tái)表面厚度忽略不計(jì)），則該正四面體體積的最大值為．【答案】【分析】由題中條件可求得圓臺(tái)的側(cè)面展開圖半圓形扇環(huán)的內(nèi)圓半徑為，外圓半徑為，進(jìn)而可求圓臺(tái)上、下底面圓半徑.還臺(tái)為錐，設(shè)上、下底面圓心為，分析可求得圓臺(tái)的高.通過比較圓錐的內(nèi)切圓直徑與圓臺(tái)的高的大小可知：圓錐內(nèi)切球即圓臺(tái)內(nèi)能放入的最大的球，其半徑為.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，外接球半徑為，求出正四面體的外接球半徑為，讓其等于圓錐的內(nèi)切球半徑即可求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖半圓形扇環(huán)的內(nèi)圓半徑為，外圓半徑為，則，化簡(jiǎn)得.又圓臺(tái)母線長(zhǎng)為，所以，聯(lián)立，解得，.設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓半徑分別為，則，，解得.如圖1，還臺(tái)為錐，設(shè)上、下底面圓心為，在中，.又為銳角，所以.由相似性可知，圓臺(tái)的軸截面等腰梯形的底角為，故圓臺(tái)的高.如圖2，圓錐軸截面為正三角形，則正三角形的內(nèi)切圓半徑即圓錐內(nèi)切球半徑長(zhǎng)為.因?yàn)檎切蝺?nèi)切圓直徑，故圓錐內(nèi)切球即圓臺(tái)內(nèi)能放入的最大的球，其半徑為.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，外接球半徑為，則在正四面體中，可知點(diǎn)為底面的中心，由正弦定理可求得，正四面體的高為，在中，，即，解得.正四面體的外接球半徑為，所以，解得，此時(shí)正四面體的體積最大，體積為.故答案為：.6在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)面底面，.若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為，三棱錐體積的最大值為.【答案】【分析】設(shè)的外接圓的圓心分別為，外接球的球心為O，取AB的中點(diǎn)為E，可證得四邊形為矩形.通過勾股定理，列方程求解即可得外接球半徑；過作于點(diǎn)H，可證為三棱錐的高.問題轉(zhuǎn)化為中最值問題，借助三角形外接圓可求得最大值為，從而求得三棱錐體積的最大值.【詳解】如圖①，設(shè)的外接圓的圓心分別為，半徑為，三棱錐的外接球的球心為O，半徑為，取AB的中點(diǎn)為E，連接，.在中，由正弦定理，得，即，同理可得.因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，面，所以底面，所以.由外接球的性質(zhì)可得底面?zhèn)让?，所以四邊形為矩?在中，，因?yàn)?，所以，所以球的表面積為.設(shè)三棱錐的高為h，過作于點(diǎn)H，由面面垂直的性質(zhì)可得，底面，即為三棱錐的高.及其外接圓如圖②所示，由圖可知，當(dāng)位于劣弧的中點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為，所以三棱錐體積的最大值為.故答案為：，.7中國(guó)雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動(dòng)，是中國(guó)玉雕工藝的一個(gè)重大突破.今一雕刻大師在棱長(zhǎng)為10的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球，在球內(nèi)部又套雕出一個(gè)正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐)，若不計(jì)各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為【答案】/【分析】求出求的半徑，將正四面體補(bǔ)成正方體，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，可得出正方體的棱長(zhǎng)為，利用正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)小于等于球的直徑可得出關(guān)于的不等式，即可求得的最大值.【詳解】由題意可知，球?yàn)槔忾L(zhǎng)為的內(nèi)切球，則該球的半徑為，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，將正四面體補(bǔ)成正方體，如下圖所示：則正方體的棱長(zhǎng)為，則該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，解得，顯然等號(hào)可以成立.故答案為：.8空間利用率是指構(gòu)成晶體的原子在整個(gè)晶體空間中所占有的體積比，即空間利用率．如圖1是六方最密堆積晶胞的示意圖．以上下層球心為頂點(diǎn)得平行六面體，如圖2，其中是中間層球的球心，已知該示意圖中原子的平均個(gè)數(shù)為2，則該晶胞的空間利用率為（用含的式子表示）．

【答案】/【分析】首先根據(jù)球與球相切的幾何性質(zhì)，在正四面體中，求點(diǎn)到底面的距離，再代入柱體體積公式求晶胞的體積，再計(jì)算柱體中含有球的部分的體積，代入公式，即可求解.【詳解】

由圖2知，為正四面體（如圖3）．設(shè)，，如圖4，在正四面體中，作平面于，連，則為等邊三角形的中心，，在中，，，

，該晶胞的空間利用率．故答案為：9一正四棱錐形狀的中空水晶，其側(cè)面分別鐫刻“自”“信”“自”“立”四字，內(nèi)部為一個(gè)正四面體形狀的水晶，表面上分別鐫刻“自”“主”“自”“強(qiáng)”四字，當(dāng)其在四棱錐外殼內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，好似折射出可穿越時(shí)空的永恒光芒.已知外部正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為，為使內(nèi)部正四面體在外部正四棱錐內(nèi)(不考慮四棱錐表面厚度)可繞四面體中心任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體棱長(zhǎng)最大為.【答案】/【分析】先求出正四棱錐的內(nèi)切球半徑，由正四面體在正四棱錐內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體在正四棱錐的內(nèi)切球內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，要使正四面體體積最大，則該球即為正四面體的外接球，將正四面體嵌套在正方體中，通過求正四面體的外接球半徑可求得正方體的棱長(zhǎng)a.【詳解】對(duì)