2026年線性代數(shù)矩陣逆運(yùn)算測(cè)試試題及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿(mǎn)分：100分試卷名稱(chēng)：2026年線性代數(shù)矩陣逆運(yùn)算測(cè)試試題及答案考核對(duì)象：高等院校理工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生（中等級(jí)別）題型分值分布：-判斷題（20分）-單選題（20分）-填空題（20分）-簡(jiǎn)答題（12分）-應(yīng)用題（18分）總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）請(qǐng)判斷下列命題的正誤。1.任何方陣都有逆矩陣。2.若矩陣A可逆，則其轉(zhuǎn)置矩陣A^T也可逆，且(A^T)^-1=(A^-1)^T。3.矩陣的初等行變換不改變其秩。4.若矩陣A和B都可逆，則AB也可逆，且(AB)^-1=A^-1B^-1。5.行列式為零的矩陣一定不可逆。6.單位矩陣I的逆矩陣是其自身。7.若矩陣A的秩小于其階數(shù)，則A不可逆。8.對(duì)角矩陣的逆矩陣仍為對(duì)角矩陣。9.矩陣的伴隨矩陣等于其逆矩陣的行列式乘以自身。10.若矩陣A的列向量線性無(wú)關(guān)，則A可逆。二、單選題（每題2分，共20分）請(qǐng)選擇唯一正確的選項(xiàng)。1.設(shè)A為3階矩陣，若|A|=5，則|A^-1|等于（）。A.5B.1/5C.15D.1/152.下列哪種情況下，矩陣A不可逆？（）A.A的行列式不為零B.A的秩等于其階數(shù)C.A的行向量線性無(wú)關(guān)D.A的列向量線性相關(guān)3.若矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)閱挝痪仃嘔，則說(shuō)明（）。A.A可逆B.A不可逆C.A的秩為零D.A的秩等于其階數(shù)4.設(shè)A為2x2矩陣，A^-1=\(\begin{pmatrix}2&-1\\-3&4\end{pmatrix}\)，則|A|等于（）。A.1B.-1C.2D.-25.下列哪個(gè)矩陣一定可逆？（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}2&3\\4&6\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)6.若矩陣A可逆，且B=A^2，則B^-1等于（）。A.A^-2B.A^-1C.A^2D.A7.矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣為（）。A.\(\begin{pmatrix}-2&1\\1&-0.5\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2&-1\\-3&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}\)8.若矩陣A的逆矩陣為A^-1=\(\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}\)，則A等于（）。A.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2&-1\\-3&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-2&1\\1&-0.5\end{pmatrix}\)9.若矩陣A可逆，且C=A^-1B，則B^-1等于（）。A.CAB.ACC.C^-1AD.A^-1C10.下列哪個(gè)命題正確？（）A.任何非零矩陣都可逆B.矩陣的逆矩陣唯一C.矩陣的伴隨矩陣與其逆矩陣成正比D.矩陣的秩與其逆矩陣無(wú)關(guān)三、填空題（每題2分，共20分）請(qǐng)將答案填入橫線處。1.若矩陣A=\(\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\)，則A^-1=______。2.若矩陣B=\(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)，則|B^-1|=______。3.若矩陣C的秩為2，且C可逆，則C的逆矩陣C^-1的秩為_(kāi)_____。4.若矩陣D=\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)可逆，且|D|=2，則D^-1=______。5.若矩陣E的逆矩陣為E^-1=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則|E|=______。6.若矩陣F=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)不可逆，則其伴隨矩陣F^的秩為_(kāi)_____。7.若矩陣G的逆矩陣為G^-1=\(\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}\)，則|G|=______。8.若矩陣H=\(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)，則H^-1______（存在/不存在）。9.若矩陣I=\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)，則I^-1=______。10.若矩陣J的逆矩陣為J^-1=\(\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}\)，則J=______。四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）請(qǐng)簡(jiǎn)要回答下列問(wèn)題。1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。2.如何通過(guò)初等行變換求矩陣的逆矩陣？3.解釋矩陣的伴隨矩陣與其逆矩陣的關(guān)系。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）請(qǐng)解答下列問(wèn)題。1.設(shè)矩陣A=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求A^-1，并驗(yàn)證(A^-1)^T=(A^T)^-1。2.已知矩陣B=\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，求B^-1，并計(jì)算B^-1B。標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.×（只有行列式不為零的方陣可逆）2.√（轉(zhuǎn)置不改變可逆性，且伴隨矩陣關(guān)系成立）3.√（初等行變換不改變秩）4.√（可逆矩陣乘積仍可逆，且逆矩陣順序相反）5.√（行列式為零的矩陣不可逆）6.√（單位矩陣的逆是其自身）7.√（秩小于階數(shù)不可逆）8.√（對(duì)角矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角元不為零）9.×（伴隨矩陣等于行列式乘以逆矩陣的轉(zhuǎn)置）10.√（列向量線性無(wú)關(guān)是可逆的充要條件）二、單選題1.B（|A^-1|=1/|A|）2.D（列向量線性相關(guān)不可逆）3.A（初等行變換可化為單位矩陣說(shuō)明可逆）4.B（|A|=24-1(-3)=11，|A^-1|=1/11）5.D（交換矩陣可逆）6.A（B^-1=(A^2)^-1=A^-2）7.A（|A|=-2，A^-1=(1/|A|)adj(A)=-1/2adj(A)）8.B（A=(A^-1)^-1=\(\begin{pmatrix}2&-1\\-3&1\end{pmatrix}\)）9.C（C=A^-1B=>C^-1=B^-1A）10.B（可逆矩陣的逆矩陣唯一）三、填空題1.\(\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\)2.-1（|B^-1|=1/|B|=-1）3.2（可逆矩陣的逆矩陣仍可逆，秩等于原矩陣）4.\(\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}/2\)5.4（|E^-1|=1/|E|=>|E|=4）6.1（不可逆矩陣的伴隨矩陣秩為1）7.1/4（|G^-1|=1/|G|=>|G|=1/4）8.不存在（全零行矩陣不可逆）9.I（單位矩陣的逆是其自身）10.\(\begin{pmatrix}1/3&1/2\\1/2&3\end{pmatrix}\)（J=(J^-1)^-1）四、簡(jiǎn)答題1.充要條件：方陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)其行列式不為零且列向量線性無(wú)關(guān)。2.初等行變換：通過(guò)行變換將A化為單位矩陣I，同時(shí)將單位矩陣化為A^-1。3.伴隨矩陣：A^-1=(1/|A|)adj(A)，即伴隨矩陣除以行列式等于逆矩陣。五、應(yīng)用題1.A^-1=\(\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}\)，驗(yàn)證：(A^-1)^T=\(\begin{pmatrix}-2&1.5\\1&-0.5\end{pmatrix}\)，(A^T)^-1=\(\begin{pmatrix}-2