活用16個二級結論結論一奇函數的最值性質已知函數f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數,則對任意的x∈D,都有f(x)+f(x)=0.特別地,若奇函數f(x)在D上有最值,則f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,則f(0)=0.例1設函數f(x)=(x+1)2答案2解析顯然函數f(x)的定義域為R,f(x)=(x+1)設g(x)=2x則g(x)=g(x),∴g(x)為奇函數,由奇函數圖象的對稱性知g(x)max+g(x)min=0,∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.跟蹤集訓1.已知函數f(x)=ln(1+9x23x)+1,則f(lg2)+fA.1 B.0 C.1 D.22.對于函數f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),選取a,b,c的一組值計算f(1)和f(1),所得出的正確結果一定不可能是()A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2結論二函數周期性問題已知定義在R上的函數f(x),若對任意x∈R,總存在非零常數T,使得f(x+T)=f(x),則稱f(x)是周期函數,T為其一個周期.除周期函數的定義外,還有一些常見的與周期函數有關的結論如下:(1)如果f(x+a)=f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函數,其中的一個周期T=2a.(2)如果f(x+a)=1f(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函數,其中的一個周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(xa)(a≠0),那么f(x)是周期函數,其中的一個周期T=6a.例2已知定義在R上的函數f(x)滿足fx+A.B.B.1 C.0 D.1答案A解析因為fx+32則有f(1)=f(2)=1,f(2)=f(1)=1,f(3)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)+f(2018)=672×[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=11=2,故選A.跟蹤集訓1.奇函數f(x)的定義域為R.若f(x+2)為偶函數,且f(1)=1,則f(8)+f(9)=()A.2 B.1 C.0 D.12.定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=logA.1 B.0 C.1 D.2結論三函數的對稱性已知函數f(x)是定義在R上的函數.(1)若f(a+x)=f(bx)恒成立,則y=f(x)的圖象關于直線x=a+(2)若f(a+x)+f(bx)=c,則y=f(x)的圖象關于點a+例3已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=f(1x),且在[1,+∞)上是增函數,不等式f(ax+2)≤f(x1)對任意x∈12A.[3,1] B.[2,0] C.[5,1] D.[2,1]答案B解析由定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=f(1x),且在[1,+∞)上是增函數,可得函數圖象關于直線x=1對稱,且函數f(x)在(∞,1)上遞減,由此得出自變量離1越近,函數值越小.觀察四個選項,發(fā)現0,1不存在于A,C兩個選項的集合中,B中集合是D中集合的子集,故可通過驗證a的值(取0與1時兩種情況)得出正確選項.當a=0時,不等式f(ax+2)≤f(x1)變?yōu)閒(2)≤f(x1),由函數f(x)的圖象特征可得|21|≤|x11|,解得x≥3或x≤1,滿足不等式f(ax+2)≤f(x1)對任意x∈12,1恒成立,由此排除A,C兩個選項.當a=1時,不等式f(ax+2)≤f(x1)變?yōu)閒(x+2)≤f(x1),由函數f(x)的圖象特征可得|x+21|≤|x11|,解得x≤1跟蹤集訓1.若偶函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱,f(3)=3,則f(1)=.

2.函數y=f(x)對任意x∈R都有f(x+2)=f(x)成立,且函數y=f(x1)的圖象關于點(1,0)對稱,f(1)=4,則f(2016)+f(2017)+f(2018)的值為.

結論四反函數的圖象與性質若函數y=f(x)是定義在非空數集D上的單調函數,則存在反函數y=f1(x).特別地,y=ax與y=logax(a>0且a≠1)互為反函數,兩函數圖象在同一直角坐標系內關于直線y=x對稱,即(x0,f(x0))與(f(x0),x0)分別在函數y=f(x)與反函數y=f1(x)的圖象上.例4若x1滿足2x+2x=5,x2滿足2x+2log2(x1)=5,則x1+x2=()A.52 B.3 C.72 答案C解析因為2x+2x=5,所以x+2x1=52,同理,x+log2(x1)=52,令t=x1,則x=t+1,即t1是t+2t=32的解,t2是t+log2t=32的解,且t1=x11,t如圖所示,t1為函數y=2t與y=32t的圖象交點P的橫坐標,t2為函數y=log2t與y=32t的圖象交點Q的橫坐標,所以P(t1,2t1),Q(t2,log2t2),所以P,Q關于直線y=t對稱,且t1+t2=t1+2t1=t1+32-t1=32,所以x1跟蹤集訓設點P在曲線y=12exA.1ln2 B.2(1ln2)C.1+ln2 D.2(1+ln2)結論五兩個經典不等式(1)對數形式:xx(2)指數形式:ex≥x+1(x∈R),當且僅當x=0時,等號成立.例5設函數f(x)=1ex.證明:當x>1時,f(x)≥xx證明x>1時,f(x)≥xx+1?x>1,1ex≥xx+1?1xx+1≥ex(x>1)?1x+1≥1e跟蹤集訓1.已知函數f(x)=1ln2.已知函數f(x)=ex,x∈R.證明:曲線y=f(x)與曲線y=12x2結論六三點共線的充要條件設平面上三點O,A,B不共線,則平面上任意一點P與A,B共線的充要條件是存在實數λ與μ,使得OP=λOA+μOB,且λ+μ=1.特別地,當P為線段AB的中點時,OP=12OA+例6已知A,B,C是直線l上不同的三個點,點O不在直線l上,則使等式x2OA+xOB+BC=0成立的實數x的取值集合為()A.{1} B.? C.{0} D.{0,1}答案A解析∵BC=OCOB,∴x2OA+xOB+OCOB=0,即OC=x2OA+(1x)OB,∴x2+(1x)=1,解得x=0或x=1(x=0舍去),∴x=1.跟蹤集訓在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N分別為CD、BC的中點.若AB=λAM+μAN,則λ+μ=.

結論七三角形“四心”向量形式的充要條件設O為△ABC所在平面上一點,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則(1)O為△ABC的外心?|OA|=|OB|=|OC|=a2sin(2)O為△ABC的重心?OA+OB+OC=0.(3)O為△ABC的垂心?OA·OB=OB·OC=OC·OA.(4)O為△ABC的內心?aOA+bOB+cOC=0.例7已知A,B,C是平面上不共線的三點,動點P滿足OP=13[(1λ)OA+(1λ)OB+(1+2λ)OCA.△ABC的內心 B.△ABC的垂心C.△ABC的重心 D.AB邊的中點答案C解析取AB的中點D,則2OD=OA+OB,∵OP=13[(1λ)OA+(1λ)OB+(1+2λ)OC∴OP=13[2(1λ)OD+(1+2λ)OC=2(1-而2(1-∴點P的軌跡一定經過△ABC的重心.跟蹤集訓1.P是△ABC所在平面內一點,若PA·PB=PB·PC=PC·PA,則P是△ABC的()A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心2.O是平面上一定點,A、B、C是平面上不共線的三個點,動點P滿足OP=OB+OC2A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心3.O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足OP=OA+λAB|A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心結論八等差數列設Sn為等差數列{an}的前n項和.(1)an=a1+(n1)d=am+(nm)d,p+q=m+n?ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).(2)ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0.(3)Sk,S2kSk,S3kS2k,…構成的數列是等差數列.(4)Snn=d2n+a(5)Sn=n(a1+a(6)若等差數列{an}的項數為偶數2m,公差為d,所有奇數項之和為S奇,所有偶數項之和為S偶,則所有項之和S2m=m(am+am+1),S偶S奇=md,S偶S奇(7)若等差數列{an}的項數為奇數2m1,所有奇數項之和為S奇,所有偶數項之和為S偶,則所有項之和S2m1=(2m1)am,S奇=mam,S偶=(m1)am,S奇S偶=am,S奇S偶(8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),則Sm+n=(m+n).(9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.例8(1)設等差數列{an}的前n項和為Sn,若Sm1=2,Sm=0,Sm+1=3,則m=()A.3 B.4 C.5 D.6(2)等差數列{an}的前n項和為Sn,已知am1+am+1am2=0,S2m1=38,則m=答案(1)C(2)10解析(1)∵Sm1=2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=SmSm1=2,am+1=Sm+1Sm=3,∴公差d=am+1am=1,由Sn=na1+n(n-1)得m由①得a1=1-(2)由am1+am+1am2=0得2amam2=0,解得a又S2m1=(2m-顯然可得am≠0,所以am=2,代入上式可得2m1=19,解得m=10.跟蹤集訓1.等差數列{an}的前n項和為Sn,若S10=20,S20=50,則S30=.

2.一個等差數列的前12項和為354,前12項中偶數項的和與奇數項的和的比為32∶27,則數列的公差d=.

結論九等比數列已知等比數列{an},公比為q,前n項和為Sn.(1)an=am·qnm,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).(2)若m+n=p+q,則am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立.(3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比數列(m∈N*).(4)公比q≠1時,Sn,S2nSn,S3nS2n,…成等比數列(n∈N*).(5)若等比數列的項數為2n(n∈N*),公比為q,奇數項之和為S奇,偶數項之和為S偶,則S偶(6){an},{bn}是等比數列,則{λan},1an,{anbn},an(7)通項公式an=a1qn1=a1q·q(8)與等差中項不同,只有同號的兩個數才能有等比中項;兩個同號的數的等比中項有兩個,它們互為相反數.(9)三個數成等比數列,通常設為xq,x,xq;四個數成等比數列,通常設為xq3,x例9(1)已知{an}是首項為1的等比數列,Sn是{an}的前n項和,且9S3=S6,則數列1aA.158或5 B.31C.3116 D.(2)設等比數列{an}的前n項和為Sn,若S6S3A.2 B.73 C.83 答案(1)C(2)B解析(1)設數列{an}的公比為q,若q=1,則S3=3,S6=6,9S3≠S6,與已知矛盾,故q≠1.所以有9(1-q3解得q=2.所以數列1an是首項為1,公比為12的等比數列,其前5項和為1(2)由已知S6S3=3,得S6=3S3,因為S3,S6S3,S9S6也為等比數列,所以(S6S3)2=S3(S9S6),則(2S3)2=S3(S93S3),化簡得S9=7S3,從而S9S跟蹤集訓已知在數列{an}中,an=4n+5,等比數列{bn}的公比q滿足q=anan1(n≥2),且b1=a2,則|b1|+|b2|+…+|bn|=.

結論十多面體的外接球和內切球1.長方體的體對角線長d與共頂點的三條棱的長a,b,c之間的關系為d2=a2+b2+c2;若長方體外接球的半徑為R,則有(2R)2=a2+b2+c2.2.棱長為a的正四面體內切球半徑r=612a,外接球半徑R=6例10(2017安徽皖北協作區(qū)3月聯考)如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗線(實線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖,則該幾何體外接球的表面積為()A.24π B.29π C.48π D.58π答案B解析如圖,在3×2×4的長方體中構造符合題意的幾何體(三棱錐ABCD),其外接球即為長方體的外接球,表面積為4πR2=π(32+22+42)=29π.跟蹤集訓1.已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角邊長是1,且其外接球的表面積是16π,則該三棱柱的側棱長為()A.14 B.23 C.46 D.32.已知正三角形ABC的三個頂點都在半徑為2的球面上,球心O到平面ABC的距離為1,點E是線段AB的中點,過點E作球O的截面,則截面面積的最小值是()A.7π4 B.2π C.9π結論十一焦點三角形的面積公式(1)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,F1,F2分別為左、右焦點,P為橢圓上一點,則△PF1F2的面積S△PF(2)在雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)中,F1,F2分別為左、右焦點,P為雙曲線上一點,則△PF1F2的面積S△例11已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且∠F1PF2=π3A.433 B.23答案A解析設橢圓和雙曲線的標準方程分別為x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a12y2b12=1(a1>0,b1>0,a>a1),它們的半焦距為c(c>0).根據焦點三角形面積公式可得:b2tanπ6=b12tanπ6,∴b2=3b12.又a2=b2+c2,a12+b12=c跟蹤集訓如圖,F1,F2是橢圓C1:x24+y2=1與雙曲線C2的公共焦點,A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形,則CA.2 B.3 C.32 D.結論十二圓錐曲線的切線問題1.過圓C:(xa)2+(yb)2=R2上一點P(x0,y0)的切線方程為(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=R2.2.過橢圓x2a2+y2b2=1上一點P(x0,y3.已知點M(x0,y0),拋物線C:y2=2px(p≠0)和直線l:y0y=p(x+x0).(1)當點M在拋物線C上時,直線l與拋物線C相切,其中M為切點,l為切線.(2)當點M在拋物線C外時,直線l與拋物線C相交,其中兩交點與點M的連線分別是拋物線的切線,即直線l為切點弦所在的直線.(3)當點M在拋物線C內時,直線l與拋物線C相離.例12已知拋物線C:x2=4y,直線l:xy2=0,設P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點,當點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程.解析聯立方程得x消去y,整理得x24x+8=0,Δ=(4)24×8=16<0,故直線l與拋物線C相離.由結論知,P在拋物線外,故切點弦AB所在的直線方程為x0x=2(y+y0),即y=12x0xy0跟蹤集訓1.過點(3,1)作圓(x1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為()A.2x+y3=0 B.2xy3=0C.4xy3=0 D.4x+y3=02.設橢圓C:x24+y23=1,點P結論十三圓錐曲線的中點弦問題1.在橢圓E:x2a2(1)如圖①所示,若直線y=kx(k≠0)與橢圓E交于A,B兩點,過A,B兩點作橢圓的切線l,l',有l(wèi)∥l',設其斜率為k0,則k0·k=b2(2)如圖②所示,若直線y=kx與橢圓E交于A,B兩點,P為橢圓上異于A,B的點,若直線PA,PB的斜率存在,且分別為k1,k2,則k1·k2=b2(3)如圖③所示,若直線y=kx+m(k≠0且m≠0)與橢圓E交于A,B兩點,P為弦AB的中點,設直線PO的斜率為k0,則k0·k=b22.在雙曲線E:x2a(1)k0·k=b2(2)k1·k2=b2(3)k0·k=b2例13已知橢圓E:x2a2A.x245+y236=1 B.C.x227+y218=1 D.答案D解析如圖所示,設P(1,1),則有kAB·kOP=b2即b2a2=kFP·kOP=0-(-1)3-1跟蹤集訓1.橢圓C:x24+y23=1的左、右頂點分別為A1,A2,點P在橢圓C上且直線PA2的斜率的取值范圍是[2,1],那么直線PA2.如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,過坐標原點的直線交橢圓x24+

結論十四圓錐曲線中的一類定值問題在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中,曲線上的一定點P(非頂點)與曲線上的兩動點A,B滿足直線PA與PB的斜率互為相反數(傾斜角互補),則直線AB的斜率為定值.圖示條件結論已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),定點P(x0,y0)(x0y0≠0)在橢圓上,設A,B是橢圓上的兩個動點,直線PA,PB的斜率分別為kPA,k直線AB的斜率kAB為定值b2已知雙曲線x2a2y2b2=1(a,b>0),定點P(x0,y0)(x0y0≠0)在雙曲線上,設A,B是雙曲線上的兩個動點,直線PA,PB的斜率分別為kPA,k直線AB的斜率kAB為定值b2已知拋物線y2=2px(p>0),定點P(x0,y0)(x0y0≠0)在拋物線上,設A,B是拋物線上的兩個動點,直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB=0.直線AB的斜率kAB為定值py例14已知拋物線C:y2=2x,定點P(8,4)在拋物線上,設A,B是拋物線上的兩個動點,直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB=0.證明:直線AB的斜率kAB為定值,并求出該定值.解析設A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=k,則kPB=k(k≠0),又P(8,4),所以直線PA的方程為y4=k(x8),即y=kx+48k,聯立方程得y=kx+4-8k,y2=2x,消去y得k2x2+(8k16k2同理可得x2=(4+8k)28k2,x2x1=(4+8k)28k2(4-8k)28故y2y1=k(x1+x2)+16k=k×4+16k2k2+16k=-4k,故kAB=y2-y跟蹤集訓已知橢圓C:x24+y2結論十五圓錐曲線中的一類定點問題若圓錐曲線中內接直角三角形的直角頂點與圓錐曲線的頂點重合,則斜邊所在直線過定點.(1)對于橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上異于右頂點的兩動點A,B,以AB為直徑的圓經過右頂點(a,0),則直線lAB過定點(2)對于雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)上異于右頂點的兩動點A,B,以AB為直徑的圓經過右頂點(a,0),則直線l(3)對于拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩動點A,B,若OA·OB=0,則弦AB所在直線過點(2p,0).同理,拋物線x2=2py(p>0)上異于頂點的兩動點A,B,若OA⊥OB,則直線AB過定點(0,2p).例15已知拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩動點A,B滿足以AB為直徑的圓過頂點.求證:AB所在的直線過定點,并求出該定點的坐標.解析由題意知lAB的斜率不為0(否則只有一個交點),故可設lAB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=2px,x=ty+m消去x得y22pty2pm=0,從而Δ=(2pt)24(2pm)=4p因為以AB直徑的圓過頂點O(0,0),所以OA·OB=0,即x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,把式①代入化簡得m(m2p)=0,得m=0或m=2p.(1)當m=0時,x=ty,lAB過頂點O(0,0),與題意不符,故舍去;(2)當m=2p時,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以lAB過定點(2p,0),此時m=2p滿足pt2+2m>0.綜上,lAB過定點(2p,0).跟蹤集訓已知橢圓x24+結論十六拋物線中的三類直線與圓相切問題AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦(焦點弦),過A,B分別作準線l:x=p2的垂線,垂足分別為A1,B1,E為A1B1(1)如圖①所示,以AB為直徑的圓與準線l相切于點E.(2)如圖②所示,以A1B1為直徑的圓與弦AB相切于點F,且EF2=A1A·BB1.(3)如圖③所示,以AF為直徑的圓與y軸相切.例16過拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上一點A(a,0)(a>0)的直線與拋物線相交于M,N兩點,自M,N向直線l:x=a作垂線,垂足分別為M1,N1.當a=p2時,求證:AM1⊥AN1證明證法一:如圖所示,當a=p2時,點Ap2,0為拋物線的焦點,l為其準線x=p2,由拋物線定義得|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,所以∠MAM1=∠MM1因為MM1∥NN1,故∠M1MA+∠N1NA=180°,所以∠MM1A+∠MAM1+∠NN1A+∠NAN1=180°,所以∠MAM1+∠NAN1=90°,即∠M1AN1=90°,故AM1⊥AN1.證法二:依題意,可設直線MN的方程為x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),則有M1(a,y1),N1(a,y2).由x=my+故y于是x1+x2=m(y1+y2)+2a=2m2p+2a,③x1·x2=y122p·y2當a=p2時,點Ap2,0為拋物線的焦點,l為其準線x=p2,此時M1由②可得y1·y2=p2.因為AM1=(p,y1),AN故AM1·AN1=0,即AM證法三:同證法二得y1·y2=p2.因為kAM1=y1p,kAN1=y2跟蹤集訓已知拋物線C:y2=8x與點M(2,2),過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點,若MA·MB=0,則k=.

答案精解精析結論一奇函數的最值性質跟蹤集訓1.D∵f(x)=ln(1+9x∴f(x)=ln(1+9(-①+②得f(x)+f(x)=ln(1+9x23x)+ln(=ln[(1+9x23x)·(=ln(1+9x29x2)+2=2.∴f(lg2)+flg12.D令g(x)=f(x)c=asinx+bx,則g(x)是奇函數.又g(1)+g(1)=f(1)c+f(1)c=f(1)+f(1)2c,而g(1)+g(1)=0,c為整數,∴f(1)+f(1)=2c為偶數.1+2=3是奇數,故不可能,選D.結論二函數周期性問題跟蹤集訓1.D由f(x+2)是偶函數可得f(x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函數得f(x+2)=f(x2),所以f(x+2)=f(x2),f(x+4)=f(x),f(x+8)=f(x),故f(x)是以8為周期的周期函數,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故選D.2.C當x>0時,f(x)=f(x1)f(x2),①則f(x+1)=f(x)f(x1),②①+②得f(x+1)=f(x+2),即f(x+3)=f(x).所以f(x+6)=f(x+3)=f(x),T=6.故f(100)=f(4)=f(1)=f(1)f(0)=log22=1,故選C.

結論三函數的對稱性跟蹤集訓1.答案3解析因為f(x)的圖象關于直線x=2對稱,所以f(x)=f(4x),f(x)=f(4+x),又f(x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),則f(1)=f(41)=f(3)=3.2.答案4解析因為函數y=f(x1)的圖象關于點(1,0)對稱,所以f(x)是R上的奇函數,f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4.所以f(2017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2016)+f(2018)=f(2014)+f(2014+4)=f(2014)+f(2014)=0,所以f(2016)+f(2017)+f(2018)=4.結論四反函數的圖象與性質跟蹤集訓B函數y=12ex和函數y=ln(2x)互為反函數,它們的圖象關于y=x對稱,則只有直線PQ與直線y=x垂直時,|PQ|才能取得最小值.設Px,12ex,則點P到直線y=x的距離為d=12ex-x2,令g(x)=12exx(x>0),則g'(x)=12ex1,令g'(x)=12ex1>0,得x>ln2;令g'(x)=12ex1<0,得0<x<ln2,則g(x)在(0,ln2)上單調遞減,在(ln2,+∞)上單調遞增,所以當x=ln2時g(x)取得極小值,即最小值,g(x)結論五兩個經典不等式跟蹤集訓1.B因為f(x)的定義域為x+1令g(x)=ln(x+1)x,則由經典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=1g2.證明令g(x)=f(x)12x2+x+1=ex12x由經典不等式ex≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上為單調遞增函數,且g(0)=0,所以函數g(x)有唯一零點,即兩曲線有唯一公共點.結論六三點共線的充要條件跟蹤集訓答案45解析解法一:由AB=λAM+μAN,得AB=λ·12(AD+AC)+μ·12(AC+AB),則μ2-1AB+λ2AD+λ2+μ2AC=0,得μ2-1AB+λ2AD+λ2+又因為AB,AD不共線,所以由平面向量基本定理得14λ+所以λ+μ=45解法二:如圖,連接MN并延長交AB的延長線于T.由已知易得AB=45∴45AT=AB=λAM+μ∴AT=54λAM+54μ∵T、M、N三點共線,∴54λ+5∴λ+μ=45結論七三角形“四心”向量形式的充要條件跟蹤集訓1.D由PA·PB=PB·PC,可得PB·(PAPC)=0,即PB·CA=0,∴PB⊥CA,同理可證PC⊥AC,PA⊥BC,∴P是△ABC的垂心.2.C設BC的中點為M,則OB+OC2=OM,則有OP=OM+λAP,即MP3.B解法一:AB|AB|為AB上的單位向量,AC|AC|為AC上的單位向量,則AB|AB|+AC|AC|的方向為∠BAC的平分線AD的方向.又λ∈[0,+∞),∴λAB|解法二:由于P點軌跡通過△ABC內一定點且該定點與O點位置和△ABC的形狀無關,故取O點與A點重合,由平行四邊形法則很容易看出P點在∠BAC的平分線上,故選B.

結論八等差數列跟蹤集訓1.答案90解析S10=10a1+45d=20,①S20=20a1+190d=50,②由①②解得d=110∴S30=S10+S20+10×20×d=20+50+200×1102.答案5解析設等差數列的前12項中奇數項的和為S奇,偶數項的和為S偶,等差數列的公差為d.由已知條件