寧德市2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末高一質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（滿分：150分時間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，學(xué)生務(wù)必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的學(xué)校、準(zhǔn)考證號、姓名.學(xué)生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與學(xué)生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.答題結(jié)束后，學(xué)生必須將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，，，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A. B.0 C.1 D.22.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.角是第二象限角，其終邊與單位圓交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，則的值為（）A. B. C. D.4.若不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是A. B.C. D.5.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A. B.2 C. D.6.已知函數(shù)，，用表示，中的最大者，記為，則的最小值為（）A. B.0 C.1 D.27.設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.8.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是“懸鏈線”.在適當(dāng)坐標(biāo)系下，該曲線的解析式為，稱為雙曲余弦函數(shù)，與之對應(yīng)的函數(shù)稱為雙曲正弦函數(shù).若對任意，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B. C. D.10.下列各式計算結(jié)果為1的是（）A. B.C. D.11已知函數(shù)，則（）A.是的一個周期B.的值域?yàn)镃.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上有7個零點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________.13.若函數(shù)滿足：對任意實(shí)數(shù)x，y都有成立.寫出函數(shù)的一個解析式__________.14.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量會按確定的比率衰減，若經(jīng)過4個小時他血液中的酒精含量下降到原來的一半.那么他停止喝酒后，至少經(jīng)過__________小時才能駕駛.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.16已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域，判斷并證明的奇偶性；（2）求不等式的解集.17.函數(shù)（，，）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.（1）求的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)縮短到原來的，得到的圖象.若，且，求的值.18.（，）是由正比例函數(shù)和反比例函數(shù)相加構(gòu)成的函數(shù)，其圖象具有獨(dú)特的“雙勾”形狀，被稱為“對勾函數(shù)”.（1）若，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）若兩個不相等的正數(shù)m，n滿足，求證：；（3）若，是否存在實(shí)數(shù)s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，說明理由.19.已知直線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)，是線段上一定點(diǎn)，，.，分別是，上的動點(diǎn)（，均位于線段的右側(cè)）.設(shè).（1）如圖1，若，請寫出的面積關(guān)于角的函數(shù)解析式，并求的最小值：（2）如圖2，若是等邊三角形，求的值；（3）如圖3，若，當(dāng)時，求四邊形面積的最小值.寧德市2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末高一質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（滿分：150分時間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，學(xué)生務(wù)必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的學(xué)校、準(zhǔn)考證號、姓名.學(xué)生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與學(xué)生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.答題結(jié)束后，學(xué)生必須將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，，，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)子集的定義即可求解.【詳解】，，，，，，解得，即，，符合題意.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先求解不等式，再根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】，即或，即是的真子集，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.角是第二象限角，其終邊與單位圓交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)定義求出目標(biāo)值.【詳解】依題意，點(diǎn)在第二象限，縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以.故選：C.4.若不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立討論，即可.【詳解】解：當(dāng)時，對一切實(shí)數(shù)都成立，故符合題意；當(dāng)時，要使不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則，綜上：故選：B.方法點(diǎn)睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.5.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)值的定義及奇函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，又當(dāng)時，，.故選：A.6.已知函數(shù)，，用表示，中的最大者，記為，則的最小值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】先確定函數(shù)的解析式，再分段求函數(shù)的最小值即可.【詳解】由或.所以.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上可得，.故選：B7.設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解法一：根據(jù)，均是偶函數(shù)，分類討論列式計算即可求出；解法二：求出，再判斷為偶函數(shù)，最后分類討論列式計算即可求出；解法三：函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在區(qū)間的交點(diǎn)問題.【詳解】解法一因?yàn)?，均是偶函?shù)，所以只需考慮在上的零點(diǎn)情況，（1）當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，即，解得（2）當(dāng)時，，，所以兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，所以無零點(diǎn).綜上所述，a的取值范圍為.解法二，，易知為偶函數(shù)，故只需考慮的零點(diǎn)情況.當(dāng)時，恒成立，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時，上單調(diào)遞增，要使在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，只需，，得，又也符合題意，得.綜上a的取值范圍為.解法三令得，函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在區(qū)間的交點(diǎn)問題.如圖可知，a的取值范圍為.故選：C.8.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是“懸鏈線”.在適當(dāng)坐標(biāo)系下，該曲線的解析式為，稱為雙曲余弦函數(shù)，與之對應(yīng)的函數(shù)稱為雙曲正弦函數(shù).若對任意，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過換元法化簡式子，再由二次函數(shù)性質(zhì)并利用判別式得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】依題意得，令，，則，故原式化簡為，即在上恒成立，于是，所以a的取值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.所以，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故選項(xiàng)B錯誤；因?yàn)?，所以，，且，所以成立，故選項(xiàng)C正確；由，兩邊同乘以，因?yàn)椋裕蔬x項(xiàng)D錯誤.故選：AC10.下列各式計算結(jié)果為1的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用正弦、余弦、正切的二倍角公式和兩角和的正切即可求出.【詳解】，，，，，.故選：BD.11.已知函數(shù)，則（）A.是的一個周期B.的值域?yàn)镃.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上有7個零點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】對A，由周期性的定義判斷；對B，分段討論函數(shù)值域；對C，驗(yàn)證；對D，分段求解方程求零點(diǎn).【詳解】由，可得是偶函數(shù)，是的一個周期，當(dāng)時，，如圖畫出函數(shù)圖象，，，所以不是的一個周期，故A錯；由圖可知的值域?yàn)?，故B對；，所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故C對；令，即，由圖可得函數(shù)與的圖像有7個交點(diǎn)，故D對.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和誘導(dǎo)公式求值.【詳解】原式.故答案為：13.若函數(shù)滿足：對任意實(shí)數(shù)x，y都有成立.寫出函數(shù)的一個解析式__________.【答案】（不唯一）【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)條件探究滿足的條件即可.【詳解】先假設(shè)為一次函數(shù)，設(shè)，則.所以函數(shù)都滿足條件.故答案為：（不唯一）14.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量會按確定的比率衰減，若經(jīng)過4個小時他血液中的酒精含量下降到原來的一半.那么他停止喝酒后，至少經(jīng)過__________小時才能駕駛.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】10【解析】【分析】設(shè)出未知數(shù)，得到不等式，兩邊取對數(shù)，得到，求出答案.【詳解】因?yàn)轳{駛員體內(nèi)的酒精含量是按確定的比率衰減，設(shè)t小時后駕駛員體內(nèi)的酒精含量為，，依題意得：，解得由，得，整理得，兩邊取對數(shù)解得所以他停止喝酒后，至少經(jīng)過10小時才能駕駛.故答案為：10.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，分別確定集合，，再根據(jù)并集的概念求兩個集合的并集即可.（2）問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)的取值范圍求解.【小問1詳解】，即，.當(dāng)時，，，，..【小問2詳解】“”是“”的充分條件，，，所以a的取值范圍是.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域，判斷并證明的奇偶性；（2）求不等式的解集.【答案】（1），偶函數(shù)，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的知識進(jìn)行證明.（2）解法一：先化簡函數(shù)，再把化為，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可：解法二：先化簡函數(shù)，判斷的單調(diào)性，再根據(jù)偶函數(shù)得到求得即可.【小問1詳解】依題意得解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)榕袛酁榕己瘮?shù)，又的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以是偶函數(shù).【小問2詳解】解法一：所以可化為因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，故有，解得或又因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以的解集為解法二：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.故可化為，所以，即或，又因?yàn)榈亩x域?yàn)?，故的解集?7.函數(shù)（，，）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.（1）求的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)縮短到原來的，得到的圖象.若，且，求的值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖像可直接求出，根據(jù)周期以及點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得解析式，然后利用正弦型的單調(diào)性直接求解單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)圖像變換，得到解析式，利用三角函數(shù)值，結(jié)合兩角差的余弦公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由圖可得且，，，，，，代入，，，，，，，令，的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】依題意得，，，，又，，，，所以的值為.18.（，）是由正比例函數(shù)和反比例函數(shù)相加構(gòu)成的函數(shù)，其圖象具有獨(dú)特的“雙勾”形狀，被稱為“對勾函數(shù)”.（1）若，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）若兩個不相等的正數(shù)m，n滿足，求證：；（3）若，是否存在實(shí)數(shù)s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）上單調(diào)遞增，證明見解析（2）證明見解析（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）由題得，化簡得，再利用均值不等式即可證明；（3）先利用反證法假設(shè)存在實(shí)數(shù)s，t，使得在的值域是