第第頁2026年高中數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃模擬卷（一）一、解答題1．求四元組的個(gè)數(shù)，使得，且.2．在中，若為形外一點(diǎn)，滿足，線段與線段交于，且，，求.3．求的排列的個(gè)數(shù)，使得排列中沒有出現(xiàn)連續(xù)的.

4．三個(gè)復(fù)數(shù)的模分別為，且這三個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部虛部均為整數(shù)，則這三個(gè)復(fù)數(shù)的積有多少個(gè)可能值？5．滿足的二元集有幾個(gè).6．求.

7．已知，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)作拋物線的切線交與點(diǎn)P，求的最小值和P的軌跡．8．在中，若在上，平分的內(nèi)心與的外心重合，求.9．用表示正整數(shù)的數(shù)碼和，求滿足與均為5的倍數(shù)的的最小值.

10．都為質(zhì)數(shù)，整除整除，有多少組和．滿足各位數(shù)字由組成，且含偶數(shù)個(gè)2的2025位數(shù)有幾個(gè).一、解答題1．求四元組的個(gè)數(shù)，使得，且.【答案】25【分析】根據(jù)，可得可能的取值，再利用排列組合求得四元組的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，且，所以的取值有三種不同的組合：或或，即，當(dāng)時(shí)，四元組有個(gè)，當(dāng)時(shí)，四元組有1個(gè)當(dāng)時(shí)，四元組有個(gè)，故滿足題意的四元組的個(gè)數(shù)為個(gè).2．在中，若為形外一點(diǎn)，滿足，線段與線段交于，且，，求.【答案】【分析】使用平面幾何知識(shí)證明點(diǎn)是外接圓的圓心，然后利用圓的相交弦定理即得結(jié)果.【詳解】由于線段與線段有交點(diǎn)，故點(diǎn)和點(diǎn)一定在線段的同側(cè)（否則線段和整體各位于線段的兩側(cè)且端點(diǎn)不同，不可能有交點(diǎn)）.而，，且和在的同側(cè)，故由圓心角是圓周角的2倍，可知點(diǎn)一定是外接圓的圓心.記的外接圓為，并設(shè)為在上的對(duì)徑點(diǎn)，則根據(jù)相交弦定理有.再由已知有，故.3．求的排列的個(gè)數(shù)，使得排列中沒有出現(xiàn)連續(xù)的.【答案】【分析】先考慮包含連續(xù)的排列對(duì)應(yīng)的七個(gè)集合，計(jì)算它們通過取交得到的集合的元素個(gè)數(shù)，然后利用容斥原理得到不滿足條件的排列數(shù)，再用總排列數(shù)與該數(shù)相減即得答案.【詳解】對(duì)有限集合，記其元素個(gè)數(shù)為.在的所有排列中，設(shè)為所有包含連續(xù)的的排列構(gòu)成的集合，這里.則對(duì)而言，集合中的所有排列，都相當(dāng)于在將需要相鄰的數(shù)進(jìn)行捆綁以后，個(gè)整體元素的全排列，從而.故由容斥原理即得.這就表明出現(xiàn)了連續(xù)的中之一的排列有個(gè)，所以不出現(xiàn)連續(xù)的的排列有個(gè).故所求排列的個(gè)數(shù)為.4．三個(gè)復(fù)數(shù)的模分別為，且這三個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部虛部均為整數(shù)，則這三個(gè)復(fù)數(shù)的積有多少個(gè)可能值？【答案】【分析】先根據(jù)模長及實(shí)部虛部均為整數(shù)可求三個(gè)復(fù)數(shù)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的三角形式探究三個(gè)復(fù)數(shù)的幅角與復(fù)數(shù)乘積對(duì)應(yīng)的幅角的關(guān)系，從而可求積的可能值的個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)，由題設(shè)可得、為整數(shù)，故，或或或，故，故，設(shè)，，由可得，故，因?yàn)橐矠檎麛?shù)，故，故，故或，或，其中，，且.設(shè)，，由可得，同理，故或或，其中且，且.又，，，，故，，，所以，，，又，結(jié)合，故共有種不同的和即它們的終邊不重合且不在坐標(biāo)軸上，而其中且，而，故共有種不同的終邊，故的可能值共有種.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與復(fù)數(shù)乘積有關(guān)的計(jì)算問題，應(yīng)該結(jié)合三角形式來處理，在處理過程中注意結(jié)合幅角的性質(zhì)和范圍來討論.5．滿足的二元集有幾個(gè).【答案】個(gè)【分析】應(yīng)用韋恩圖知將空間分成四個(gè)，分別為、、、，注意討論、、的情況，應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理及間接法求二元集的個(gè)數(shù).【詳解】如下韋恩圖，將空間分成四個(gè)，分別為、、、，所以S中2025個(gè)元素，每個(gè)元素都有4種位置情況，故共有個(gè)，其中有個(gè)，有個(gè)，有1個(gè)，綜上，的二元集有個(gè).6．求.【答案】【分析】令得，結(jié)合已知求和公式，討論、得到，即可得.【詳解】令，則，而，故，對(duì)于且，則區(qū)間中共有個(gè)數(shù)值，對(duì)于，則區(qū)間中共有個(gè)數(shù)值，所以，令，則，所以，則，所以.7．已知，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)作拋物線的切線交與點(diǎn)P，求的最小值和P的軌跡．【答案】最小值為4，點(diǎn)的軌跡方程為【詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得由韋達(dá)定理可知設(shè)切線AP方程為設(shè)切線BP方程為聯(lián)立解得；則P的軌跡方程為此時(shí)當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立8．在中，若在上，平分的內(nèi)心與的外心重合，求.【答案】【分析】利用與全等，得到求出【詳解】設(shè)題中的內(nèi)心和外心為，即圖中兩點(diǎn)，一方面在的角平分線上，又所以與為等腰三角形，又所以所以 所以得到.另一方面,所以,綜上可得.9．用表示正整數(shù)的數(shù)碼和，求滿足與均為5的倍數(shù)的的最小值.【答案】49999【分析】利用的必要條件為得到最小為4,得到最后的結(jié)果.【詳解】設(shè)的末尾有個(gè)9,即,所以,此時(shí)必要條件為,所以最小為4,當(dāng)時(shí)不符合題意,所以最小可能為五位數(shù),經(jīng)檢驗(yàn)最小值為49999.10．都為質(zhì)數(shù)，整除整除，有多少組和．【答案】6【分析】根據(jù)整除性可得，再逐個(gè)討論可得不同的組數(shù).【詳解】由題設(shè)可得，不妨設(shè)，設(shè)，，則即，故，又，故，故，故，當(dāng)時(shí)，，，故，當(dāng)時(shí)，，，故，當(dāng)時(shí)，，，故無解，當(dāng)時(shí)，，，故無解，當(dāng)時(shí)，，，故無解，由對(duì)稱性可得可為，共有6組.11．滿足各位數(shù)字由組成，且含偶數(shù)個(gè)2的2025位數(shù)有幾個(gè).【答案】個(gè)【分析】根據(jù)已知得到2025位數(shù)的生成函數(shù)為，進(jìn)而求出偶數(shù)次冪的系數(shù)和，即可得.【詳解】解法一：由題設(shè)，每位數(shù)字取自集合，因此每位有4種選擇，且數(shù)字2出現(xiàn)的次數(shù)為偶數(shù)（包括0次），下面按2025位數(shù)中含有2的個(gè)數(shù)分類求解如下：①當(dāng)含有0個(gè)2時(shí)：數(shù)字2的填法有種填法，每一位都從4，6，8中選一個(gè)數(shù)字有3種，2025位有種不同填法，共有種不同填法。②當(dāng)含有1個(gè)2時(shí)：數(shù)字2的填法有種填法，在剩下的每一位都從4，6，8中選一個(gè)數(shù)字填入有3種，2024位有共有種填法，共有種不同填法；③當(dāng)含有2個(gè)2時(shí)：數(shù)字2的填法有種填法，在剩下的每一位都從4，6，8中選一個(gè)數(shù)字填入有3種，2023位有共有種填法，共有種不同填法；④當(dāng)含有個(gè)2時(shí)：數(shù)字2的填法有種填法，在剩下的每一位都從4，6，8中選一個(gè)數(shù)字填入有3種，位有有種填法，共有種不同填法。（其中）所以，由加法原理，滿足各位數(shù)字由2，4，6，8組成的2025位數(shù)的不同數(shù)的總個(gè)數(shù)是。又，由①②得滿足各位數(shù)字由2，4，6，8組成，且含偶數(shù)個(gè)2的2025位數(shù)的總個(gè)數(shù)為，所以滿足各位數(shù)字由2，4，