專題強(qiáng)化9動(dòng)態(tài)平衡問題[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.掌握構(gòu)建矢量平行四邊形或三角形的方法，并能用圖解法分析動(dòng)態(tài)平衡問題(重點(diǎn))。2.會(huì)用解析法、相似三角形法解決動(dòng)態(tài)平衡問題(重難點(diǎn))。動(dòng)態(tài)平衡：平衡問題中的一部分力是變力，是動(dòng)態(tài)力，力的大小或方向緩慢變化，所以叫動(dòng)態(tài)平衡，這是共點(diǎn)力平衡問題中的一類題型。一、用圖解法解決動(dòng)態(tài)平衡問題如圖所示，A、B為同一水平線上的兩個(gè)繞繩裝置，轉(zhuǎn)動(dòng)A、B改變繩的長(zhǎng)度，使帶有輕質(zhì)光滑掛鉤的物體C緩慢下降。當(dāng)物體C緩慢下降過程中，兩繩之間的夾角如何變化？請(qǐng)通過作圖的方式來直觀地展示出兩繩拉力大小隨夾角的變化規(guī)律。答案如圖所示，作出矢量平行四邊形，兩拉力F1、F2的合力為F，由平衡條件可知F＝G，物體C下降的過程中，θ不斷減小，則F1、F2不斷變小。例1如圖所示，用網(wǎng)兜把足球掛在豎直墻面上，懸繩對(duì)網(wǎng)兜的拉力為FT，墻壁對(duì)足球的支持力為FN，若不計(jì)墻面摩擦，緩慢增加懸繩的長(zhǎng)度，下列選項(xiàng)正確的是()A.FT和FN都增大 B.FT和FN都減小C.FT減小，F(xiàn)N增大 D.FT增大，F(xiàn)N減小答案B解析對(duì)足球受力分析，如圖甲，足球受重力G、懸線的拉力FT和墻的支持力FN；畫出力的矢量三角形，如圖乙，緩慢增加懸繩長(zhǎng)度過程中，重力不變，支持力的方向不變，懸線與墻壁間的夾角減小，由圖乙可知，F(xiàn)T與FN均變小，故選B。例2(多選)(2024·昆明市高一期末)如圖所示，輕質(zhì)細(xì)繩AO與BO的一端系在半圓形支架上，另一端系于結(jié)點(diǎn)O，結(jié)點(diǎn)O下端用細(xì)繩懸掛一重物Q。初始時(shí)細(xì)繩AO與水平方向夾角為60°，細(xì)繩BO處于水平方向，結(jié)點(diǎn)O位于半圓的圓心處?，F(xiàn)將細(xì)繩B端沿支架順時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)60°，細(xì)繩AO的位置保持不變，在此過程中下列說法正確的是()A.細(xì)繩AO的拉力一直在變小B.細(xì)繩AO的拉力先變小后變大C.細(xì)繩BO的拉力一直在變大D.細(xì)繩BO的拉力先變小后變大答案AD解析對(duì)結(jié)點(diǎn)O受力分析，如圖所示，由矢量三角形可知，細(xì)繩AO的拉力一直在變小，細(xì)繩BO的拉力先變小后變大。故選A、D。物體受三個(gè)力而處于動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，首先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，并依據(jù)題圖構(gòu)建初始狀態(tài)的力的矢量三角形。(1)先畫出大小、方向都不變的恒力；(2)再畫出方向不變、大小可變的力，并把表示此力的線段適當(dāng)畫長(zhǎng)一些；(3)明確方向變化的力的方向如何變化，并依次畫出2~3條矢量線段表示變化趨勢(shì)。注意：當(dāng)方向變化的力垂直已知方向的力時(shí)有最小值。二、用解析法解決動(dòng)態(tài)平衡問題例1中，如果不用動(dòng)態(tài)圖解法，能否通過平行四邊形定則利用函數(shù)關(guān)系式，求出FT、FN如何變化？答案由cosθ＝mgF得FT＝mgcos由tanθ＝FNmg得FN＝mg所以，當(dāng)增大懸繩的長(zhǎng)度時(shí)θ變小，故FT減小，F(xiàn)N減小。例3如圖所示，重型自卸車?yán)靡簤貉b置使車廂緩慢傾斜到一定角度，車廂內(nèi)的石塊就會(huì)自動(dòng)滑下。在石塊下滑前，下列說法正確的是()A.在石塊下滑前后自卸車與石塊整體的重心位置不變B.自卸車車廂傾角越大，石塊與車廂的動(dòng)摩擦因數(shù)越小C.自卸車車廂傾角變大，車廂與石塊間的正壓力減小D.自卸車車廂傾角變大，車廂對(duì)石塊的摩擦力減小答案C解析物體重心的位置跟形狀還有質(zhì)量分布有關(guān)，石塊下滑前后，自卸車與石塊整體的質(zhì)量分布變化，所以重心位置改變，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；石塊與車廂的動(dòng)摩擦因數(shù)與車廂傾角無關(guān)，取決于石塊和車廂接觸面的粗糙程度，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；石塊靜止時(shí)對(duì)石塊受力分析，如圖所示，有FN＝mgcosθ，F(xiàn)f＝mgsinθ，則壓力FN'隨傾角θ變大而減小，F(xiàn)f隨θ的變大而變大，C正確，D錯(cuò)誤。例4(多選)如圖所示，質(zhì)量分別為M、m的甲、乙兩個(gè)物體系在一根通過輕質(zhì)光滑定滑輪的輕繩兩端，甲放在水平地面上，乙被懸在空中，若將甲沿水平地面向左緩慢移動(dòng)少許后，甲仍靜止，則()A.繩中張力變小B.甲對(duì)地面的壓力變大C.繩子對(duì)滑輪的力變大D.甲所受的靜摩擦力變大答案BD解析以物體乙為研究對(duì)象，得到繩子張力F＝mg。以物體甲為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。由平衡條件得地面對(duì)甲的支持力FN＝Mg－Fcosα，靜摩擦力Ff＝Fsinα，甲沿水平地面向左緩慢移動(dòng)少許后α增大，由數(shù)學(xué)知識(shí)得到FN變大，F(xiàn)f變大，根據(jù)牛頓第三定律知甲對(duì)地面的壓力也變大。由力的平行四邊形定則知，繩子對(duì)滑輪的力變小，故選B、D。解析法(數(shù)學(xué)方法)分析動(dòng)態(tài)平衡問題的步驟：(1)對(duì)物體受力分析。(2)列平衡方程寫出各個(gè)力之間關(guān)系的解析式。(3)根據(jù)題目中已知力或夾角的變化，應(yīng)用數(shù)學(xué)中的函數(shù)知識(shí)判斷未知力的變化。*三、用相似三角形解決動(dòng)態(tài)平衡問題在三力平衡問題中，如果有一個(gè)力是恒力，另外兩個(gè)力是變力，大小、方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系，多數(shù)情況下力的矢量三角形與幾何三角形相似，可利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算。例5(多選)固定在水平面上的光滑半球的半徑為R，在球心O的正上方C點(diǎn)固定一個(gè)光滑的小定滑輪，細(xì)線的一端拴接一小球，另一端繞過定滑輪，現(xiàn)用力FT將小球從如圖所示位置的A點(diǎn)緩慢地拉至B點(diǎn)，在小球到達(dá)B點(diǎn)前的過程中，小球?qū)Π肭虻膲毫N，細(xì)線的拉力FT大小變化情況是()A.FN不變 B.FN變小C.FT變小 D.FT變大答案AC解析在小球被拉至B點(diǎn)前的過程中，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，小球受重力、半球?qū)π∏虻膹椓图?xì)線對(duì)小球的拉力，小球在三個(gè)力作用下緩慢滑至B點(diǎn)，小球在運(yùn)動(dòng)過程中可視為受力平衡。作出小球的受力示意圖如圖所示，故小球所受重力mg、半球?qū)π∏虻膹椓N'和細(xì)線對(duì)小球的拉力FT可以構(gòu)成一個(gè)閉合的三角形，由圖可知，三個(gè)力構(gòu)成的三角形與圖中由細(xì)線AC、定滑輪到水平面的高度CO及半球半徑AO構(gòu)成的△ACO始終相似，故有FN'AO＝mgCO＝FTAC，由于小球運(yùn)動(dòng)過程中，CO和AO的長(zhǎng)度不變，AC減小，小球所受重力不變，所以半球?qū)π∏虻膹椓N'不變，細(xì)線對(duì)小球的拉力FT變小，由牛頓第三定律可知小球?qū)Π肭虻膲毫N不變，故利用相似三角形解決動(dòng)態(tài)平衡問題：(1)在圖示狀態(tài)下對(duì)物體進(jìn)行受力分析，并構(gòu)建力的矢量三角形；(2)構(gòu)建與力的矢量三角形對(duì)應(yīng)的幾何三角形；(3)確定三角形的對(duì)應(yīng)邊，利用三角形相似列出比例式；(4)結(jié)合幾何三角形中邊長(zhǎng)的變化，得出力的變化情況。專題強(qiáng)化練[分值：50分][1~4題，每題4分]1.(來自魯科教材)如圖所示，一只可視為質(zhì)點(diǎn)的螞蟻在半球形碗內(nèi)緩慢從底部經(jīng)過b點(diǎn)爬到a點(diǎn)。下列說法正確的是()A.在a點(diǎn)碗對(duì)螞蟻的支持力大于在b點(diǎn)的支持力B.在a點(diǎn)碗對(duì)螞蟻的摩擦力大于在b點(diǎn)的摩擦力C.在a點(diǎn)碗對(duì)螞蟻的作用力大于在b點(diǎn)的作用力D.在a點(diǎn)螞蟻受到的合力大于在b點(diǎn)受到的合力答案B解析螞蟻緩慢從底部經(jīng)過b點(diǎn)爬到a點(diǎn)，則螞蟻在各個(gè)位置處受力平衡，螞蟻受到豎直向下的重力，沿切線斜向上的摩擦力和垂直于切線斜向上的支持力，如圖所示，可知FN＝mgcosθ，F(xiàn)f＝mgsinθ，其中θ為支持力所在直線與豎直方向的夾角，從b點(diǎn)到a點(diǎn)，角度θ變大，sinθ增大，cosθ減小，則Ff變大，F(xiàn)N變小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)上述分析知，螞蟻在各個(gè)位置處受到的合力為零，則碗對(duì)螞蟻的作用力始終等于螞蟻的重力，故選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。2.(來自粵教教材)如圖所示，在兩根豎直木樁等高的兩點(diǎn)上，用兩根等長(zhǎng)輕繩將木板懸掛制成一簡(jiǎn)易秋千。若使兩繩緩慢變短，但仍保持等長(zhǎng)懸掛點(diǎn)不變。木板靜止時(shí)，F(xiàn)1表示木板所受合力的大小，F(xiàn)2表示單根輕繩對(duì)木板拉力的大小，則()A.F1不變，F(xiàn)2變大 B.F1不變，F(xiàn)2變小C.F1變大，F(xiàn)2變大 D.F1變小，F(xiàn)2變小答案A解析木板靜止時(shí)，受自身重力和兩根繩的拉力作用，處于平衡狀態(tài)，故三個(gè)力的合力為零，即F1＝0；對(duì)木板受力分析如圖所示，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件，有2F2cosθ＝mg，解得F2＝mg2cosθ，當(dāng)輕繩變短時(shí)，輕繩與豎直方向的夾角θ增大，cosθ減小，故拉力F2變大，3.如圖所示，一光滑小球靜止放置在固定的光滑半球面底端，用豎直放置的光滑擋板水平向右緩慢推動(dòng)小球，則在小球運(yùn)動(dòng)的過程中(該過程小球未脫離球面)，擋板對(duì)小球的推力F1、半球面對(duì)小球的支持力F2的變化情況正確的是()A.F1增大，F(xiàn)2增大 B.F1減小，F(xiàn)2減小C.F1增大，F(xiàn)2減小 D.F1減小，F(xiàn)2增大答案A解析對(duì)小球受力分析，如圖所示，根據(jù)平衡條件得，F(xiàn)1＝mgtanθ，F(xiàn)2＝mgcosθ，由于θ不斷增大，故F1增大，F(xiàn)2增大，4.(來自魯科教材改編)如圖所示，用OA、OB兩根輕繩將電燈懸掛于兩墻壁之間，開始時(shí)OA水平。現(xiàn)保持O點(diǎn)位置和OB繩長(zhǎng)不變，改變OA繩長(zhǎng)，使繩末端A緩慢上移至A'點(diǎn)，此時(shí)OA'與OB之間夾角θ<90°，下列說法正確的是()A.繩OA的拉力逐漸增大B.繩OA的拉力逐漸減小C.繩OB的拉力逐漸增大D.繩OB的拉力逐漸減小答案D解析以結(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象，分析受力：重力G、繩OA的拉力FOA和繩OB的拉力FOB，如圖所示，根據(jù)平衡條件知，兩根繩子的拉力的合力與重力大小相等、方向相反，作出力的合成圖如圖，由圖看出，F(xiàn)OA先減小后增大，F(xiàn)OB逐漸減小，當(dāng)θ＝90°時(shí)，F(xiàn)OA最小。故選D。[5題6分]5.(多選)(2024·安慶市一中高一期中)如圖所示，配有調(diào)節(jié)傾角的簡(jiǎn)易支架放在水平桌面上，上語文課時(shí)，某同學(xué)將一本古漢語字典放在支架的斜面上，若字典與支架斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝33，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，緩慢地調(diào)節(jié)傾角θ使得字典與支架始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，則下列說法正確的是(A.傾角θ增大，字典受到的摩擦力增大B.傾角θ增大，字典受到的支持力增大C.若字典始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，支架傾角的最大值θ＝30°D.若字典始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，支架傾角的最大值θ＝45°答案AC解析設(shè)字典的質(zhì)量為m，字典受力情況如圖所示，字典受到沿支架斜面向上的靜摩擦力，靜摩擦力等于重力沿支架斜面向下的分力，即Ff＝mgsinθ，隨傾角θ增大，摩擦力增大，故A正確；支持力FN＝mgcosθ，隨傾角θ增大，支持力減小，故B錯(cuò)誤；當(dāng)字典受到的靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，根據(jù)受力平衡可知，mgsinθ＝μmgcosθ，解得tanθ＝33，即θ＝30°，故C正確，D6.(10分)(來自教科教材)如圖所示，把球夾在豎直墻A和木板BC之間，不計(jì)摩擦，球?qū)Φ膲毫镕N1，球?qū)Π宓膲毫镕N2。試分別用作圖和解析的方法分析在將板BC逐漸放至水平的過程中FN1和FN2的變化情況。答案見解析解析如圖甲所示，將球的重力mg分解為對(duì)墻的壓力FN1和對(duì)板的壓力FN2，設(shè)板與墻的夾角為θ，易得FN1＝mgtanθ，逐漸放平過程中則tanθ增大，而mgtanθ減小，即FFN2＝mgsinθ，θ增大時(shí)，sin則mgsinθ減小，即F作出一組FN1、FN2變化動(dòng)態(tài)矢量圖如圖乙所示，易知，F(xiàn)N1、FN2均減小。7.(11分)(來自粵教教材)粗細(xì)均勻的電線架在A、B兩根電線桿之間。由于熱脹冷縮，電線由夏季到冬季緩慢變短，呈現(xiàn)如圖所示的兩種形狀。若電線桿始終處于豎直狀態(tài)，試分析夏、冬兩季哪個(gè)季節(jié)電線對(duì)電線桿的拉力較大。答案見解析解析以整條電線為研究對(duì)象，受力分析如圖所示，由共點(diǎn)力的平衡條件知，兩電線桿對(duì)電線的拉力的合力與電線的重力大小相等，由幾何關(guān)系得2Fcosθ＝G，即F＝G2cos相對(duì)于冬季，夏季時(shí)兩桿正中部位電線下墜的距離h較大，則與桿相連部分電線的切線方向與豎直方向的夾角θ較小，F(xiàn)較小，可知冬季電線對(duì)電線桿的拉力較大。[7分]8.(2023·巴東縣第三高級(jí)中學(xué)高一期中)如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)的最高點(diǎn)處有一光滑的小