專(zhuān)題07解三角形綜合目錄01析·考情精解 202構(gòu)·知能框架 403破·題型攻堅(jiān) 5考點(diǎn)一解三角形小題 5真題動(dòng)向必備知識(shí)知識(shí)1利用正弦定理解三角形知識(shí)2利用余弦定理解三角形知識(shí)3三角形形狀的判斷命題預(yù)測(cè)題型1正弦定理解三角形題型2余弦定理解三角形題型3利用解三角形判斷三角形解的個(gè)數(shù)考點(diǎn)二解三角形大題 27真題動(dòng)向必備知識(shí)知識(shí)1解三角形應(yīng)用題的步驟知識(shí)2三角形中定值面積求算知識(shí)3三角形中周長(zhǎng)定值求算命題預(yù)測(cè)題型1解三角形面積與周長(zhǎng)題型2三角形中涉及某線(xiàn)（中、角平分）命題軌跡透視有關(guān)解三角形的天津高考試題，解三角形一般以課程學(xué)習(xí)基礎(chǔ)內(nèi)容為主;大題一般以邊角互化為主,求算面積、周長(zhǎng)及邊長(zhǎng),作為載體的三角函數(shù)應(yīng)引起足夠的重視.在備考時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn):(1)熟練掌握正余弦定理及變形，巧妙的進(jìn)行變角互化，做到靈活駕馭;(2)求算三角形面積周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)優(yōu)先考慮全部換成邊好呢還是角好呢，選擇合適的條件,快速求解，同時(shí)也要注意三角形內(nèi)部的隱含條件及余弦正負(fù)號(hào)的準(zhǔn)確判斷，同學(xué)們也要加強(qiáng)邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力的訓(xùn)練,突出理性思維和數(shù)學(xué)探索的學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)考點(diǎn)頻次總結(jié)考點(diǎn)2025年2024年2023年解三角形小題T14，5分解三角形大題T16，14分T16，14分T16，14分2026命題預(yù)測(cè)結(jié)合天津高考數(shù)學(xué)歷年命題特點(diǎn)與2025-2026年高考命題趨勢(shì)，解三角形作為必考內(nèi)容，2026年命題大概率延續(xù)穩(wěn)定風(fēng)格并略有創(chuàng)新，以下是具體預(yù)測(cè)：1.

題型與分值穩(wěn)定：大概率仍固定在第16題解答題位置，分值保持14分的中檔配置。不會(huì)出現(xiàn)偏題怪題，核心圍繞正弦定理、余弦定理的應(yīng)用展開(kāi)，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)定理本質(zhì)的理解，而非單純公式套用。2.

核心考點(diǎn)聚焦綜合：會(huì)延續(xù)與三角恒等變換的綁定考查模式，比如結(jié)合兩角和差、二倍角公式求解邊長(zhǎng)、角度，或計(jì)算三角形面積。同時(shí)可能涉及三角形形狀判定、邊長(zhǎng)及周長(zhǎng)的最值問(wèn)題，還可能融入中線(xiàn)、角平分線(xiàn)等特殊線(xiàn)段相關(guān)計(jì)算，需通過(guò)定理實(shí)現(xiàn)邊角互化來(lái)解題。3.

情境設(shè)計(jì)趨向真實(shí)：響應(yīng)高考情境創(chuàng)新導(dǎo)向，可能結(jié)合真實(shí)場(chǎng)景命題。例如以《九章算術(shù)》中勾股測(cè)量術(shù)為背景設(shè)計(jì)古建筑高度測(cè)量題，或關(guān)聯(lián)橋梁搭建、山體坡度測(cè)量等實(shí)際工程場(chǎng)景，考查利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際距離、角度問(wèn)題的能力。4.

能力考查側(cè)重邏輯：會(huì)強(qiáng)化過(guò)程性評(píng)價(jià)，要求清晰呈現(xiàn)“已知條件—定理應(yīng)用—推導(dǎo)化簡(jiǎn)—得出結(jié)論”的完整邏輯鏈，避免跳步或表述模糊。此外，可能通過(guò)設(shè)置多問(wèn)分層考查，前兩問(wèn)側(cè)重基礎(chǔ)計(jì)算，最后一問(wèn)結(jié)合最值或三角綜合變換提升區(qū)分度，檢驗(yàn)學(xué)生的知識(shí)串聯(lián)與靈活轉(zhuǎn)化能力?？键c(diǎn)一解三角形小題1．（2023·天津·高考真題，14，5分）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．【答案】【詳解】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因?yàn)?，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，則時(shí)，有最大值.故答案為：；.

2．（2004·天津·高考真題，8，5分）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O是底面的中心，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)和所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】取BC的中點(diǎn)G．連接GC1，則GC1FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連接HE、OH，如圖所示，∵E是CC1的中點(diǎn)，∴GC1EH，∴∠OEH為異面直線(xiàn)和所成的角．在△OEH中，，HE＝，OH＝．由余弦定理，可得cos∠OEH＝．故選：B3．（2016·天津·高考真題，4，5分）在中，若

，則=A．1 B．2

C．3 D．4【答案】A【詳解】余弦定理將各值代入得解得或(舍去)選A.4．（2015·天津·高考真題，11，5分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，，則的值為．【答案】【詳解】試題分析：因,故,由題設(shè)可得,即,所以,所以,應(yīng)填.考點(diǎn)：余弦定理及三角形面積公式的運(yùn)用．5．（2014·天津·高考真題，12，5分）在的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則的值為.【答案】【詳解】試題分析：∵代入得，由余弦定理得．知識(shí)1利用正弦定理解三角形正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；（3）每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一．（4）利用正弦定理可以解決下列兩類(lèi)三角形的問(wèn)題：=1\*GB3①已知兩個(gè)角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；=2\*GB3②已知兩邊和其中—邊的對(duì)角，求其他兩個(gè)角及另一邊．利用正弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角；知識(shí)2利用余弦定理解三角形三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍余弦定理的變形公式：3.利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類(lèi)三角形的問(wèn)題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個(gè)角；②已知三角形的三條邊，求其三個(gè)角．知識(shí)3三角形形狀的判斷解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解2．在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到．技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類(lèi)問(wèn)題問(wèn)題1：已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時(shí)有且只有一解。問(wèn)題2：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時(shí)三角形解的情況可能是無(wú)解、一解、兩解，可通過(guò)幾何法來(lái)作出判斷三角形解的個(gè)數(shù)。題設(shè)三角形中，已知一個(gè)角和兩個(gè)邊，判斷三角形個(gè)數(shù)，遵循以下步驟第一步：先畫(huà)一個(gè)角并標(biāo)上字母第二步：標(biāo)斜邊（非對(duì)角邊）第三步：畫(huà)角的高，然后觀察（）6.三角形的形狀的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余關(guān)系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形狀（最大角的余弦值的符號(hào)）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；【易錯(cuò)提醒】利用正弦定理解三角形時(shí)，若已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，易忽視三角形解的個(gè)數(shù).題型1正弦定理解三角形1．（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測(cè)）在中，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理，得，則，解得.故選：C.2．（2025·天津北辰·三模）在中，，，若為其重心，試用，表示為；若為其外心，滿(mǎn)足，且，則的最大值為．【答案】【詳解】連接并延長(zhǎng)交與點(diǎn)，由重心性質(zhì)可得為線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，又，所以，若為的外心，則，設(shè)點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，，所以可化為：，所以，由正弦定理可得，故所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值為.故答案為：，.3．（2025·天津?qū)氎妗つM預(yù)測(cè)）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且滿(mǎn)．則（1）=；（2）若，，則的面積為．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，則由正弦定理可得，，即，則，則;因?yàn)?，則，又，所以.故答案為:;.4．（2025·天津·二模）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.若，則.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故答案為：5．（2025·天津?yàn)I海新·二模）若的面積為，且為鈍角，則；的取值范圍是．【答案】45°【詳解】解：因?yàn)橛深}意得，所以，即因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理可得，，故答案為?5°，6．已知在中，角所對(duì)的邊分別為，且又點(diǎn)都在球的球面上，且點(diǎn)到平面的距離為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)三角形ABC的外接圓的圓心為O',根據(jù)球的截面性質(zhì)可知OO'⊥平面ABC,如圖所示，∵,∴AO'=,∴OA=∴球的體積為,故選：C.7．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】由正弦定理得，進(jìn)而求得的正余弦值，再根據(jù)，即可求解．【詳解】在中，由正弦定理得，即，解得，，則．故選：B．8．在中，，是的平分線(xiàn)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)闉榈钠椒志€(xiàn)，且，在中，根據(jù)正弦定理可知，在中，根據(jù)正弦定理可知，而，，故將上述兩個(gè)等式相除可得，又，所以，則在中，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，則.故選：A.9．在中，角所對(duì)的邊分別為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】在三角形中，由，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)?，，所以或，即或；由，因?yàn)?，所以，則，所以，由，可得或，解得或，故“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D.10．在中，向量與向量垂直，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)的三邊對(duì)的三角分別為，因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，可得，即,可得，所以，又因?yàn)?，可得，即，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：A.11．在中，角所對(duì)的邊為．若，，則的最大值為（

）A．不存在最大值 B． C． D．【答案】C【詳解】，，，，，，（其中，，），，，，又，，，，，∴最大值為.故選：.12．在中，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得：，由余弦定理，，又為三角形?nèi)角，所以.故選：D13．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由正弦定理得，則，又，，所以，解得．故選：B14．在中，的平分線(xiàn)交于，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，根據(jù)正弦定理得，解得，而為三角形內(nèi)角，所以，所以.根據(jù)正弦定理，解得.故選：D.15．在中，若，且該三角形的面積為，則的最小邊長(zhǎng)等于（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【詳解】由以及正弦定理可得，設(shè)，由余弦定理可得,由于則，解得，又最小的邊長(zhǎng)為，故，故選：B題型2余弦定理解三角形16．（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測(cè)）在中，若，，，則的長(zhǎng)度為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【詳解】由余弦定理得：，所以，故選：A.17．（2025·天津南開(kāi)·二模）已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意如圖：

點(diǎn)，其中一條漸近線(xiàn)為即，所以的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以，因?yàn)闉橹苯侨切危?，在中，，即，∵，∴，∴，即的離心率為，故選：D.18．（2025·天津河西·二模）已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)的左、右兩支于，兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，且，，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，即，又，得為的中點(diǎn)，則，又，于是為等邊三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為，由雙曲線(xiàn)定義知，，，則，，又，則，解得，在中，由余弦定理得，即，得，，，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：A19．（2025·天津·二模）雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，如圖所示，設(shè)，則，所以，所以，則，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以，則，在中，，在中，，由余弦定理得，，整理得，，故選：D．

20．（2025·天津河西·二模）已知雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)為、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，且，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】B【詳解】由題意得，設(shè)一條漸近線(xiàn)的方程為，所以，由勾股定理得，因?yàn)榇怪庇跐u近線(xiàn)，所以，因?yàn)?，所以，而，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，故，則B正確.故選：B21．（2024·天津南開(kāi)·二模）已知雙曲線(xiàn)（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為A，若，則此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，由雙曲線(xiàn)的定義可知，所以，由于過(guò)的直線(xiàn)斜率為，所以在等腰三角形中，，則，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)得，可得，即，，可得，，所以此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：.故選：C22．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由O為△ABC外心，可得在方向上的投影向量為，則，故，又，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由可知，，故的最大值為．故選：A．23．（2024·天津河西·三模）已知，是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線(xiàn)的離心率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】C【詳解】解：如圖所示：設(shè)橢圓和雙曲線(xiàn)的方程分別為：，，由題意得，設(shè)，則，解得，在中，由余弦定理得：，即，化簡(jiǎn)得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；故選：C題型3利用解三角形判斷三角形解的個(gè)數(shù)24．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.下列條件中能使唯一確定的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角確定，但三邊不確定，可知不能確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋芍?，所以滿(mǎn)足條件的有2個(gè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以滿(mǎn)足條件的有1個(gè)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)闉樽畲蠼牵?，不滿(mǎn)足大角對(duì)大邊，所以不存在，故D錯(cuò)誤；故選：C.25．在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【詳解】A：，，，為鈍角且，有一解，故A錯(cuò)誤；B：，，，為銳角，，則無(wú)解，故B錯(cuò)誤；C：，，，為鈍角且，則無(wú)解，故C錯(cuò)誤；D：，，，為銳角，，因，故有兩解，故D正確.故選：D26．符合下列條件的三角形有2個(gè)解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，不符合兩邊之和大于第三邊，所以無(wú)解，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由余弦定理得，所以，解得或，即有2個(gè)解，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所?故，三角形只有一解，故D不正確.故選：C.27．（2025·天津·一模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足的三角形有兩個(gè)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在中，，由有兩解，得，即，解得，所以的取值范圍為.故選：D28．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，下面可使得有兩組解的的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】要使得有兩組解，則，又，得到，故選：D.29．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，若有兩解，則c的取值可能為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】由題意可得，即.故選：A.30．在中，已知，，，若存在兩個(gè)這樣的三角形，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由正弦定理可得，由題意可知：關(guān)于A的方程：在有兩解，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出曲線(xiàn)，和水平直線(xiàn)，

因?yàn)樗鼈冇袃蓚€(gè)不同的交點(diǎn)，所以，所以.故選：C.31．在中，，且滿(mǎn)足該條件的有兩個(gè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由正弦定理可得：，所以，所以，因?yàn)闈M(mǎn)足條件的有兩個(gè)，所以，即，所以的取值范圍是故選：D32．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，則能使同時(shí)滿(mǎn)足條件的三角形不唯一的a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，則，要使?jié)M足條件的三角形不唯一，則，即.故選：A.33．命題：“若與滿(mǎn)足：，則”．已知命題是真命題，則的值不可以是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【詳解】在中，由已知可得，.又，所以為銳角.由正弦定理可得，，所以，.要使命題是真命題，則有唯一滿(mǎn)足條件的解.若，則，顯然有唯一滿(mǎn)足條件的解；若，則，滿(mǎn)足；若，且，即，即，此時(shí)有兩解滿(mǎn)足條件，此時(shí)命題是假命題；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有，有唯一解，滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有，顯然無(wú)解，不滿(mǎn)足.綜上所述，當(dāng)或時(shí)，命題是真命題.故選：D.34．命題：“若與滿(mǎn)足：，則．已知是真命題，則的值不可以是（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】因?yàn)槭钦婷}，所以有唯一解，由正弦定理可知，，當(dāng)時(shí)，，，角有唯一解，即有唯一解；當(dāng)時(shí)，，，角有兩解，即有兩解；當(dāng)時(shí)，，，角有唯一解，即有唯一解；當(dāng)時(shí)，，角無(wú)解，即無(wú)解；所以的值可以是,2,4，的值不可以是3.故選：C.35．在中，角所對(duì)的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由正弦定理得，所以,因?yàn)樵撊切斡袃山?，?故，即，故選：B考點(diǎn)二解三角形大題1．（2025·天津·高考真題，16，14分）在中，角的對(duì)邊分別為．已知，，．(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）已知，由正弦定理，得，顯然，得，由，故；（2）由（1）知，且，，由余弦定理，則，解得（舍去），故；（3）由正弦定理，且，得，且，則為銳角，故，故，且；故.2．（2024·天津·高考真題，16，14分）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，即，解得（負(fù)舍）；則.（2）法一：因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，再根據(jù)正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因?yàn)?，則（3）法一：因?yàn)?，且，所以，由?）法一知，因?yàn)?，則，所以，則，.法二：，則，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以3．（2023·天津·高考真題，16，14分）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．4．（2022·天津·高考真題，16，14分）在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，即，而，代入得，解得：．?）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因?yàn)?，所以，故，又，所以，，而，所以，故?．（2021·天津·高考真題，16，14分）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）【詳解】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.6．（2020·天津·高考真題，16，14分）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【詳解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因?yàn)?，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得，進(jìn)而，所以.7．（2018·天津·高考真題，16，14分）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大??；（2）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.詳解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因?yàn)?，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因?yàn)閍<c，故．因此，所以，8．（2017·天津·高考真題，16，14分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A為鈍角，所以.于是，，故.9．（2017·天津·高考真題，16，14分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【詳解】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：在中，因?yàn)?，故由，可?由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.10．（2016·天津·高考真題，16，14分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理，將邊化為角：,再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍化簡(jiǎn)得，；（Ⅱ）已知兩角，求第三角，利用三角形內(nèi)角和為，將所求角化為兩已知角的和，再根據(jù)兩角和的正弦公式求解.試題解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得；（Ⅱ）解：由，可得，則.知識(shí)1解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，如測(cè)量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識(shí)，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析題意，并做到算法簡(jiǎn)練，算式工整，計(jì)算正確．其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；（2）根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形模型；（3）分析與所研究的問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；（4）將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的單位及近似計(jì)算要求，回答實(shí)際問(wèn)題．核心問(wèn)題：什么情況下角化邊?什么情況下邊化角?⑴當(dāng)每一項(xiàng)都有邊且次數(shù)一樣時(shí)，采用邊化角⑵當(dāng)每一項(xiàng)都有角《》且次數(shù)一樣時(shí)，采用角化邊⑶當(dāng)每一項(xiàng)都是邊時(shí)，直接采用邊處理問(wèn)題⑷當(dāng)每一項(xiàng)都有角《》及邊且次數(shù)一樣時(shí)，采用角化邊或變化角均可知識(shí)2三角形中定值面積求算三角形面積公式①②其中分別為內(nèi)切圓半徑及的周長(zhǎng)推導(dǎo)：將分為三個(gè)分別以的邊長(zhǎng)為底，內(nèi)切圓與邊相交的半徑為高的三角形，利用等面積法即可得到上述公式③（為外接圓的半徑）推導(dǎo)：將代入可得將代入可得④⑤海倫公式（其中）推導(dǎo)：根據(jù)余弦定理的推論令，整理得知識(shí)3三角形中周長(zhǎng)定值求算類(lèi)型一：已知一角與兩邊乘積模型 第一步：求兩邊乘積第二步：利用余弦定理求出兩邊之和類(lèi)型二：已知一角與三角等量模型 第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三邊的長(zhǎng)度【易錯(cuò)提醒】當(dāng)解題過(guò)程中出現(xiàn)類(lèi)似于sin2A=sin2B這樣的情況要注意結(jié)合三角形內(nèi)角范圍進(jìn)行討論，另外當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)銳角三角形時(shí)一定要注意條件之間的相互“限制”題型1解三角形面積與周長(zhǎng)1．（2025·天津·二模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，且面積，（?。┣蟮闹?；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)（?。áⅲ驹斀狻浚?）因?yàn)?，所以，可得：，由正弦定理可得：，可得：，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以?）（?。┮?yàn)?，且，解得：，，由余弦定理可得：，解得：；（ⅱ）由余弦定理可得，所以，，，所?2．（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，.(1)求C的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由余弦定理，得，又因?yàn)?，所以；?）因?yàn)椋烧叶ɡ?，得；?）因?yàn)?，所以，所以，所?.3．（2025·天津北辰·三模）在中，角所對(duì)的邊分別為.滿(mǎn)足.(1)求角的大小；(2)若的面積為.①求的值；②求的值.【答案】(1)(2)①；②【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，又，所以.（2）①在中，，由（1）及余弦定理得，即，又，即，而，所以.②由余弦定理得而，則，，.4．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，，．(1)求的值；(2)若，求c的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ?，得，即．因?yàn)?，，所以，．由，得，因?yàn)?，所以．?）由正弦定理，可得．又，由正弦定理，可得．5．（2025·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若的面積為，，．（?。┣蠛偷闹?；（ⅱ）求的值．【答案】(1)(2)（?。?，；（ⅱ）【詳解】（1）由余弦定理，，由，得，由正弦定理，得，則，又，所以，又，所以．（2）（?。┯桑?）知，，得①．由余弦定理，所以②．由①②，得，解得，由，解得，．（ⅱ）由正弦定理，所以，為銳角，，．6．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知，，.(1)求邊b的長(zhǎng)；(2)求C的正切值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由余弦定理得（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，在中，，（3）由（2）可知因?yàn)?，?．（2025·天津和平·三模）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，，，(1)求角的大?。?2)求的值與的面積；(3)求的值．【答案】(1)(2)，(3)【詳解】（1）由可得，可得，因?yàn)椋瑒t，所以，解得.（2）由正弦定理，有，所以，由（1）知，由余弦定理得