專題09數(shù)列的綜合應(yīng)用目錄01析·考情精解 ④知識2幾種數(shù)列求和的常用方法幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．常見的裂項(xiàng)技巧模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）模型4：對數(shù)型模型5：三角型（1）（2）知識3常見不等式證明放縮公式常見不等式證明放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．（15）二項(xiàng)式定理①由于，于是②，；，（16）糖水不等式若，則；若，則．（17）指數(shù)恒等式：次方差公式這樣的話，可得：，就放縮出一個(gè)等比數(shù)列.（18）利用導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生數(shù)列放縮：由不等式可得：.【易錯(cuò)提醒】用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，一般來說前面剩余幾項(xiàng)后面也剩余幾項(xiàng)，若前面剩余的正數(shù)項(xiàng)，則后面剩余的是負(fù)數(shù)項(xiàng)。題型1通項(xiàng)為等差通項(xiàng)乘以等比通項(xiàng)（錯(cuò)位相減法求和）1．（2025·天津·二模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足：，，，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)已知，數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則有，所以，所以，又，所以，所以，所以；（2）令，所以；（3）由已知有，所以①，②，所以①②有：，解得，由有，即，令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，又，所以，所以.2．（2025·天津武清·模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的公差d不等于0，，設(shè)、、是公比為q的等比數(shù)列的前三項(xiàng).(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(2)將數(shù)列與中相同的項(xiàng)去掉，中剩下的項(xiàng)依次構(gòu)成新的數(shù)列，設(shè)其前n項(xiàng)和為，求的值；(3)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)m、n且，使得、、依次成等差數(shù)列，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)1(3)存在，【詳解】（1）由已知、、成等比數(shù)列，則，即，整理可得，∵，∴，所以，，∴，，∴，所以，，，，上述兩個(gè)等式作差得，所以，.（2）因?yàn)樾碌臄?shù)列的前項(xiàng)和為數(shù)列的前項(xiàng)的和減去數(shù)列前n項(xiàng)的和，所以，所以.（3）∵，∴，其中，，，假設(shè)存在正整數(shù)m、n且，使得、、依次成等差數(shù)列，則有，即，所以，解得，又因?yàn)?，，所以，此時(shí)，所以存在滿足題設(shè)條件的m、n，.3．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，數(shù)列滿足，，且.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為的前n項(xiàng)和，求.【答案】(1)，(2)【詳解】（1），，，，又，，，，由兩邊同除以，得，從而數(shù)列為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知，，，設(shè)，則，兩式相減得，整理得，.4．（2025·天津·一模）已知等差數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和，而形成新的數(shù)列，這樣的過程叫做該數(shù)列的一階“H拓展”．例如，對于數(shù)列，一階“H拓展”得到數(shù)列；二階“H拓展”得到數(shù)列；……設(shè)n階“H拓展”得到數(shù)列，設(shè)，則，．（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）設(shè)數(shù)列滿足求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)椋瑒t解得故.（2）(ⅰ)，，所以，即.又，則是首項(xiàng)為12，公比為的等比數(shù)列..(ⅱ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，記，則，，兩式相減，得，化簡，得，得；為偶數(shù)時(shí)，記，則.故.5．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，若對于一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，在和之間插入個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；以此類推，在和之間插入個(gè)數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列．若，求．【答案】(1)，(2)(3)【詳解】（1）由題意，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以．?）由（1）可得，因?yàn)椋?，所以?shù)列的最大項(xiàng)為和，且，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）因?yàn)?，設(shè)，則設(shè)，所以，兩式相減得，所以，故，設(shè)，所以．題型2通項(xiàng)為分?jǐn)?shù)形式時(shí)（裂項(xiàng)相消法求和）6．（2025·天津和平·三模）已知，等差數(shù)列的前項(xiàng)和，正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若．（?。┎坏仁胶愠闪?，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．【答案】(1)，(2)（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1）對任意的，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.也滿足，故對任意的，，所以，即數(shù)列為等差數(shù)列，合乎題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，，所以，，因此，.（2）（i），，故原不等式可化為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即恒成立，顯然為遞減數(shù)列，且，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，顯然外遞減數(shù)列，所以，所以，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（ii）因?yàn)?，設(shè)，所以，上述兩個(gè)等式作差可得①，設(shè)，所以，兩式作差得，即，代入①式可得，故，故結(jié)論得證.7．（2025·天津?yàn)I海新·三模）已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，．(1)求、通項(xiàng)公式；(2)若對數(shù)列、，在與之間插入個(gè)，組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列前100項(xiàng)和；(3)若（其中），證明：．【答案】(1)；(2)209(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，解得，所以；因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，；?）設(shè)，在數(shù)列中，從項(xiàng)開始到項(xiàng)（不含）之前，共有項(xiàng)數(shù)為，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列前100項(xiàng)是項(xiàng)之后還有32項(xiàng)為2，所以；（3）當(dāng)時(shí)，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，因?yàn)?，，所以，?8．（2025·天津南開·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，其中為二項(xiàng)式系數(shù)．（ⅰ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）【詳解】（1）設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由題意得解得，所以．（2）（?。┯桑?）知，因?yàn)?，所以，所以．所以，所以．（ⅱ）因?yàn)?，所以?．（2025·天津河西·二模）已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求的通項(xiàng)公式及；(2)當(dāng)在單調(diào)遞增時(shí)，設(shè)，求的值；(3)當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列且為擺動數(shù)列時(shí)，設(shè)，求的最大值和最小值.【答案】(1)，.(2)(3)最大值為1，最小值為.【詳解】（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，所以，所以，.（2）當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，由（1）知，顯然在不單調(diào)；當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，假設(shè)公比為，，解得或，當(dāng)時(shí)，，易知在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，易知在不單調(diào)，所以，所以，.（3）當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，由（2）知或，又為擺動數(shù)列，所以，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)取得最大值1，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)取得最小值，所以的最大值為1，最小值為.10．（2025·天津·二模）從數(shù)列中選取第項(xiàng)，第項(xiàng)，…，第項(xiàng)，并按原順序構(gòu)成的新數(shù)列稱為數(shù)列的“連續(xù)子列”.已知數(shù)列中，，，對，數(shù)列的“連續(xù)子列”是公比為的等比數(shù)列.(1)求，的值；(2)求；(3)證明：.【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由題意知，，是公比為的等比數(shù)列，對恒成立，又，，，，又，所以；（2）因?yàn)閷愠闪?，所以，，，?dāng)時(shí)也成立，，又，；（3）由（2）知，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上可得.題型3通項(xiàng)通過加減分為幾部分（分組求和）11．（2025·天津·二模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，，，，且的公比是公差的倍．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，且當(dāng)，.（i）求證：；（ii）求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則等比數(shù)列的公比為，，，，，解得：，，，，.（2）（i）由（1）得：，，，，令，又，，則，即，.（ii）記，則，；當(dāng)時(shí)，，；經(jīng)檢驗(yàn)：，滿足，綜上所述：.12．（2025·天津北辰·三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，公差為整數(shù)且滿足，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，其中，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；(3)定義為除數(shù)函數(shù)，即它的函數(shù)值等于的正因數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，記，求證：.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1）由題設(shè)，解得，公差為整數(shù)，則，又，故，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，（負(fù)值舍），故.（2），當(dāng)時(shí)，，令.當(dāng)時(shí)，，令，綜上，；（3）除數(shù)函數(shù)的函數(shù)值等于的正因數(shù)的個(gè)數(shù)，，，，，當(dāng)時(shí)，，綜上，.13．（2025·天津·二模）數(shù)列的項(xiàng)是由1或2構(gòu)成，且首項(xiàng)為1，在第個(gè)1和第個(gè)1之間有個(gè)2，即數(shù)列為：.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則：.【答案】【詳解】由條件可知，前20項(xiàng)有4個(gè)1，2的個(gè)數(shù)為個(gè)，所以數(shù)列的前20項(xiàng)的和為；前個(gè)1之間有個(gè)2，所以個(gè)1和個(gè)2的個(gè)數(shù)為，令，滿足條件的最大為，當(dāng)時(shí)，個(gè)數(shù)，第45個(gè)1后面有個(gè)2，所以故答案為：；14．（2025·天津·二模）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.對于任意，在和之間插入k個(gè)數(shù)，，…，，使得，，，…，，這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記新得到的數(shù)列為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，證明對于任意的，；(3)求（其中）.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)，故，，因?yàn)椋?，所以，解得，而，則公比，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得等差數(shù)列的公差，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，則，，，因此，所以.（3）依題意，在內(nèi)的數(shù)列的所有項(xiàng)和為，數(shù)列中，項(xiàng)及前面的項(xiàng)數(shù)和為，當(dāng)時(shí)，令，則，兩式相減得，解得，而，因此，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.15．（2025·天津·二模）已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令，去掉數(shù)列中的第3n項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿