專題04直線與圓中的最值（范圍）問題內(nèi)容導(dǎo)航串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺考點(diǎn)鞏固：必考題型講透練透，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：與直線有關(guān)的最值問題1、根據(jù)直線有交點(diǎn)來確定直線斜率畫圖定性：首先根據(jù)題意畫出滿足條件的直線大致位置，直觀判斷傾斜角的大致范圍。找臨界：確定傾斜角變化的邊界（通常是垂直或水平位置）。轉(zhuǎn)化求解：若已知的是斜率k的范圍，則根據(jù)

k=tanα

的單調(diào)性求解。在

(0°,90°)

和

(90°,180°)

上，tanα

分別單調(diào)遞增。若已知的是幾何條件（如直線與線段相交、在兩直線之間等），先求出斜率的范圍，再轉(zhuǎn)化為傾斜角范圍。注意：時(shí)刻檢查是否存在斜率不存在（α=90°）的情況，并判斷它是否包含在范圍內(nèi)。2、兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離的最值在求距離最值問題上，我們從幾何角度出發(fā)，核心為“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短”這兩個(gè)最基本的幾何公理。知識(shí)點(diǎn)2：與圓有關(guān)的最值問題1、圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問題圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最短跟最長的均是過圓心的直線與圓交點(diǎn)的位置2、圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問題圓上到直線距離最短的距離為過圓心與直線垂直的線|PA|的長度3、將軍飲馬求距離最值當(dāng)定點(diǎn)分布在動(dòng)點(diǎn)所在軌跡的兩側(cè)時(shí)，可以構(gòu)造對稱，運(yùn)用將軍飲馬來求距離的最值。A、B在直線同側(cè)時(shí)，|AP|+|BP|的最小值|AP|-|BP|的最大值4、圓的弦長的最值問題過某定點(diǎn)A的直線與圓相交，截得的弦長，在過圓心時(shí)最長，在被直徑垂直平分時(shí)最短。5、圓的切線長的最值問題過直線上的動(dòng)點(diǎn)P做圓的切線長，根據(jù)勾股定理，可以由PC（動(dòng)點(diǎn)與圓心連線），半徑AC長來決定。由于半徑不變，所以PA根據(jù)PC的變化而變化。PC在垂直直線時(shí)最短，這時(shí)候PA也是最短的切線長。知識(shí)點(diǎn)3：代數(shù)式的幾何意義與距離公式有關(guān)的代數(shù)式x?a2與斜率有關(guān)的代數(shù)式y(tǒng)?與圓有關(guān)的x?a2與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的代數(shù)式|ax+by+c|【題型1根據(jù)有交點(diǎn)判斷斜率或傾斜角的取值范圍】高妙技法將題目中關(guān)于直線位置、變化的幾何約束條件，準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率

k

或傾斜角

α1．（25-26高二上·廣西玉林·月考）直線過點(diǎn)，且與以為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別計(jì)算直線過點(diǎn)A，B的斜率，數(shù)形結(jié)合，即得解【詳解】

當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則故要使直線過點(diǎn)，且與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為：或.故選：B.2．（25-26高二上·貴州·期末）設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】結(jié)合斜率公式和圖象確定正確答案.【詳解】如圖所示：由題意得，所求直線的斜率滿足或，即，或，，或，即直線的斜率的取值范圍是或．故選：A3．（25-26高二上·廣東潮州·月考）已知點(diǎn)、、，過點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合圖象分析過點(diǎn)與線段有公共點(diǎn)的情況，求出過線段端點(diǎn)的斜率，從而得出斜率的取值范圍．【詳解】如下圖所示，

若過點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率或，，，直線的斜率或，直線斜率的取值范圍是，故C正確．故選：C．4．（25-26高二上·江蘇常州·月考）已知直線：，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則的傾斜角范圍為．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到直線過定點(diǎn)，再畫出圖形，結(jié)合圖形求解即可.【詳解】直線的方程可化為，由，可得，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，如圖所示：

直線的傾斜角為，則，將代入方程：，可得：不成立，不在直線上，所以直線傾斜角不能為，由圖知：或.故答案為：【題型2點(diǎn)到直線距離問題的最值】高妙技法找定點(diǎn)：如動(dòng)直線過某定點(diǎn)，找到這個(gè)定點(diǎn)，就找到了問題的“錨點(diǎn)”。找軌跡：如題目給出動(dòng)點(diǎn)，若能找到該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，問題就能迎刃而解了。根據(jù)點(diǎn)到直線的垂線是距離最短來解決問題。1．（25-26高二上·吉林長春·月考）已知點(diǎn)，直線，直線隨著取值變化而發(fā)生變化過程中，到的距離的最大值為（）A．3 B． C． D．5【答案】D【分析】整理直線方程得到直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到動(dòng)直線的距離最大，由兩點(diǎn)的距離公式求出最大距離.【詳解】直線方程可以整理為，令，解得，即直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為.故選：D.2．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知定點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A．2 B．2 C． D．【答案】D【分析】求得直線所過的定點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】直線，即，由解得，所以直線過定點(diǎn)，所以的最大值為．故選：3．（25-26高二上·湖北武漢·期中）已知直線過定點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為5，則實(shí)數(shù)（

）A．0或6 B．或7 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)定點(diǎn)到動(dòng)直線的距離最大值列式求解即可.【詳解】設(shè)定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為，解得或6.故選：A.4．（25-26高二上·重慶·期中）點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線所過定點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【詳解】直線，即，由，解得，所以直線過定點(diǎn)，，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選：C【題型3圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值】高妙技法圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離最大最小的線均為過圓心跟定點(diǎn)的直線。1．（25-26高二上·湖南長沙·月考）已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的最大值為（

）A．2 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】依題意，點(diǎn)在圓外，圓的圓心為，半徑為，如圖，，因?yàn)?，?dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí)取等號；所以的最大值為8.故選：C.2．（25-26高二上·北京·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，分析的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為“單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值”，由此可求解出結(jié)果.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，設(shè)，則，所以，則，上式表示到的距離的倍，到的距離的最大值為，所以的最大值為，故選：C.3．（25-26高二上·江蘇鹽城·期中）點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)，那么的最小值為.【答案】【分析】易知直線過定點(diǎn)，再由題意得，進(jìn)而得到M的軌跡是以為直徑的圓，然后利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€即過定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)M，所以，所以M的軌跡是以為直徑的圓，且圓心為，半徑，由得，點(diǎn)N在圓C的外部，如圖：

，故答案為：.4．（25-26高三上·貴州遵義·月考）多年前，我國的思想家墨子給出圓的概念：“一中同長也”．意思是說，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長都相等，這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義要早年．已知點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件判斷出的軌跡，然后將的最大值表示為到圓心的距離加上半徑，由此可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡是圓心為，半徑的圓，因?yàn)?，所以在圓外，所以，故選：B.【題型4圓上點(diǎn)到直線的距離的最值】高妙技法圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離最大最小的線均為過圓心跟定點(diǎn)的直線。1．（25-26高二上·江西上饒·月考）長度為2的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在軸及軸上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】確定線段的中點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】設(shè)，由題意可得：，設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，所以，即，即線段的中點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，圓心到直線的距離為：，所以線段的中點(diǎn)到直線距離的最大值為，故選：C2．（25-26高二上·寧夏·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可求得點(diǎn)軌跡方程為，再求方程后，利用圓上點(diǎn)到直線距離最值的求解方法可解.【詳解】設(shè)，由得：，即，化簡可得：，即點(diǎn)軌跡方程為，直線的方程為，則圓心到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離最小值為.故選：D3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知，直線與直線相交于點(diǎn)，則到直線的距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出兩直線所過定點(diǎn)，確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合圓上的點(diǎn)到定直線的距離的最值，即可求得答案；【詳解】直線整理可得，，即直線恒過，同理可得恒過，又，直線和互相垂直，兩條直線的交點(diǎn)在以，為直徑的圓上，即的軌跡方程為，去掉，（這是因?yàn)椴荒鼙硎局本€，不能表示直線）設(shè)該圓心為，則，則，由于垂直于直線，故M到的距離即為，而，即，而當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，不符合題意.故的取值范圍是，故選：C．4．（多選）（25-26高二上·江西南昌·期中）已知點(diǎn)（），直線l：，下列結(jié)論正確的是（

）A．l恒過定點(diǎn) B．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）C．P到直線l的距離有最小值，最小值為0 D．P到直線l的距離有最大值，最大值為4【答案】ABC【分析】令時(shí)，得到，可判定A正確；由，可判定B正確；由，可得點(diǎn)P的軌跡圓，結(jié)合圓的性質(zhì)，可得判定C正確、D不正確．【詳解】對于A，由直線，當(dāng)時(shí)，，所以恒過定點(diǎn)，所以A正確；對于B，由點(diǎn)，可得，所以B正確；對于C，由，可得點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，直線l過定點(diǎn)，當(dāng)直線l與圓相切且P為切點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最小，最小值為0，所以C正確；對于D,當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，最大值為4，所以P到直線l的距離有最大值，最大值為5，所以D不正確．故選：ABC.【題型5將軍飲馬求|PA高妙技法動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離和或距離差的最值（如|PA|±1．（25-26高二上·江西宜春·月考）已知直線和點(diǎn)，，P是l上一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】首先求解點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，再根據(jù)即可求解答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，則．故答案為：2．（25-26高二上·江西·月考）已知直線，圓，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先作出關(guān)于的對稱點(diǎn)，然后根據(jù)結(jié)合三點(diǎn)共線求解出最小值.【詳解】圓的圓心，半徑，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)且位于線段之間時(shí)取等號，所以的最小值為，故選：A.3．（25-26高二上·浙江·期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線：上，動(dòng)點(diǎn)在直線：上，記線段的中點(diǎn)為，圓：，圓：，，分別是圓，上的動(dòng)點(diǎn)．則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程為，然后求出圓心距，根據(jù)圓的性質(zhì)有，要求的最小值，則求的最小值.【詳解】設(shè).因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式.又因?yàn)樵谥本€上，所以①，在直線上，所以②，①+②得，所以得到點(diǎn)的軌跡方程為.圓心到直線的距離為；圓心到直線的距離為；圓心距為.根據(jù)圓的性質(zhì)有，要求的最小值，則求的最小值，那么要先求關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，然后連接與直線的交點(diǎn)即是，此時(shí)最小等于.關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以，所以的最小值為5，那么的最小值為3.故選：A.4．（25-26高二上·重慶九龍坡·期中）已知兩點(diǎn)，如果點(diǎn)滿足，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】求出點(diǎn)的軌跡方程，作出圓關(guān)于軸對稱的圓，轉(zhuǎn)化為求兩圓上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離的最小值問題，結(jié)合圖形分析即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，整理得，表示圓心為，半徑為的圓，圓的圓心為，半徑為.記點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓，圓的圓心為，半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)五點(diǎn)共線，且在線段上時(shí)等號成立，所以的最小值為.故答案為：【題型6構(gòu)造阿氏圓來解決k|PA|±高妙技法當(dāng)遇到求kPA±PBk≠1時(shí)，需要通過構(gòu)造阿氏圓來轉(zhuǎn)化其中的1．（25-26高二上·四川成都·期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.阿波羅尼斯圓指的是：若平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡是圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)和定點(diǎn)的距離之比為2，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.若點(diǎn)在直線上，則的最小值為.【答案】【分析】令，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式列方程求軌跡，結(jié)合已知圓的方程求出及點(diǎn)的坐標(biāo)，再由，數(shù)形結(jié)合求目標(biāo)式最小值.【詳解】設(shè)，依題意，，即，整理得，則，解得，即，點(diǎn)到直線的距離為，由得，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，此時(shí)直線的斜率為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，故存在點(diǎn)使得三點(diǎn)共線，所以的最小值為.

故答案為：2．（25-26高三上·安徽·月考）阿波羅尼奧斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠.阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值且的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為點(diǎn)和相關(guān)的阿波羅尼斯圓.現(xiàn)已知點(diǎn)和相關(guān)的阿波羅尼斯圓為圓，其中點(diǎn)，且點(diǎn)P在該圓上，點(diǎn)Q在圓上，則的最小值為（

）A．16 B．8 C．12 D．6【答案】A【分析】設(shè)，表示出，根據(jù)阿波羅尼斯圓定義得出點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求出最小值.【詳解】，

設(shè)，則，故，故=====，可得，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，Q，M四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值8，則的最小值為16.故選：A3．（25-26高二上·湖北·期中）已知點(diǎn)，，圓.在圓上求一點(diǎn)，使得的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】【分析】根據(jù)阿氏圓的知識(shí)，設(shè)，，，進(jìn)而待定系數(shù)得，所以,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值問題即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，，所以，整理后得：，又因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡為圓，即圓，所以，解得，所以.所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，即點(diǎn)為圖中點(diǎn)時(shí)，取得最小值.此時(shí)，直線的方程為：，即，所以，聯(lián)立方程得或即直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為或由題知，故舍去，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：4．（25-26高二上·廣東廣州·期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為λ（，），則點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)，的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為．我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題：已知圓O：上的動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取點(diǎn)，推理證明得，把問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到定點(diǎn)，距離和的最小值作答.【詳解】如圖，點(diǎn)在圓上，取點(diǎn)，連接、，有，當(dāng)點(diǎn)、、不共線時(shí)，，又，故，則有；當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，有；故恒成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號，所以的最小值為.故選：C.【題型7與圓的弦長有關(guān)的最值與范圍】高妙技法通常問題是求過定點(diǎn)的直線與圓的相交弦長的最短與最長。當(dāng)直線過圓心時(shí)，與圓的相交弦是最長的，為直徑的長度當(dāng)直線垂直于定點(diǎn)與圓心的連線時(shí)，此時(shí)的相交弦時(shí)最短的，根據(jù)半徑與定點(diǎn)與圓心連線的長度可求得。1．（25-26高二上·山東臨沂·期中）已知圓，直線，當(dāng)圓截直線所得的弦最短時(shí)，的值為（）A．2 B． C． D．-2【答案】C【分析】結(jié)合直線與圓相交所得弦長、直線過定點(diǎn)、兩直線的位置關(guān)系等知識(shí)求得的值.【詳解】由圓，可得圓心為，半徑為，直線過定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓內(nèi)．當(dāng)直線時(shí)，圓心到直線的距離最大，弦最短．因?yàn)橹本€的斜率，所以．故選：C．2．（多選）（25-26高二上·安徽池州·期中）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．直線過定點(diǎn)B．直線與圓恒相交C．直線被圓截得的弦長為4時(shí)，D．直線被圓截得的弦長最短時(shí)，直線的方程為【答案】ABD【分析】直線變形為可得選項(xiàng)A正確；由定點(diǎn)在圓內(nèi)可知選項(xiàng)B正確；利用勾股定理和垂徑定理可計(jì)算圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得到的值，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)直線與圓心和定點(diǎn)確定的直線垂直時(shí)，弦長最短，利用垂直求直線的斜率，即可得到選項(xiàng)D正確.【詳解】直線，即，直線恒過定點(diǎn)，故A正確；由，可知在圓內(nèi)部，故直線與圓相交，故B正確；如圖，直線與圓相交于兩點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，所以，即點(diǎn)到直線的距離，由得或，故C錯(cuò)誤；由圖知，直線于垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長最短，因，此時(shí)，，所以直線的方程為，整理得，故D正確.故選：ABD3．（25-26高二上·河北邢臺(tái)·期中）當(dāng)直線被圓所截得的弦長最短時(shí)，實(shí)數(shù).【答案】0【分析】先確定直線過定點(diǎn)，再確定弦長最短時(shí)，直線的斜率，可求的值.【詳解】對直線：.由.所以直線過定點(diǎn).又，所以點(diǎn)在圓內(nèi).如圖：

所以當(dāng)時(shí)，圓被直線截得的弦長最短.此時(shí)，所以.即.故答案為：04．（25-26高二上·河北張家口·期中）當(dāng)直線被圓所截得的弦長最短時(shí)，實(shí)數(shù)．【答案】0【分析】確定直線過定點(diǎn)，由時(shí)，弦長取最小值，即可求解.【詳解】直線的方程變形為，則由得，所以直線過定點(diǎn)．圓，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)．設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，取最小值，由，得，解得．故答案為：0．【題型8與圓的切線長有關(guān)的最值與范圍】高妙技法根據(jù)切線、動(dòng)點(diǎn)與圓心的連線，半徑構(gòu)造的勾股定理，討論切線長的最值可以由動(dòng)點(diǎn)與圓心的連線的長的最值來決定。1．（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）已知點(diǎn)在上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】點(diǎn)在圓上，分析可得，要使四邊形面積取到最大，只需取得最大值，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，分析計(jì)算，可求出，進(jìn)而可得，計(jì)算即可得答案.【詳解】設(shè)圓的圓心為，則圓心坐標(biāo)為，半徑，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以點(diǎn)P到圓心C的最大距離為，因?yàn)锳為切點(diǎn)，所以，所以，所以四邊形面積的最大值.故選：A.2．（多選）（25-26高二上·安徽·期中）已知圓，直線，過上的動(dòng)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A．圓上的點(diǎn)到的距離最大值為B．的最小值為C．的最大值為1D．的最小值為4【答案】ACD【分析】由圓心到直線的距離可判斷ABD，對于C，根據(jù)解直角三角形可得，根據(jù)可算出的最大值為鈍角，故可判斷正誤.【詳解】連接，對于A，由題設(shè)有，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，而，故直線與圓相離，故圓上的點(diǎn)到的距離最大值為，故A正確；對于B，因?yàn)椋鵀榈街本€的距離，故，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，設(shè)且為銳角，則由可得，而為銳角，故，故，結(jié)合可得的最大值可為1，故C正確；對于D，由對稱性可得，故，其中為四邊形的面積，而，由B的分析可得為到直線的距離，故，故的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，故D正確；

故選：ACD.3．（多選）（25-26高二上·安徽蕪湖·期中）已知圓過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)直線上任意一點(diǎn)，過向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為為，記的最小值為的最大值為.下列說法正確的是（

）A．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．C．四邊形的面積范圍為D．當(dāng)時(shí)，四邊形的外接圓與圓的交點(diǎn)所在的直線為【答案】AD【分析】對于A項(xiàng)，根據(jù)條件判斷得的中點(diǎn)即為圓心，從而求出半徑長，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得選項(xiàng)A正確；對于B項(xiàng)，易證，推斷出當(dāng)且僅當(dāng)最小時(shí)，取最小值，即當(dāng)時(shí)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即，故，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以直線，聯(lián)立方程組可得，四點(diǎn)共圓的圓心聯(lián)立圓減去圓的方程得直線：，故D項(xiàng)正確.【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)閳A過，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故,且該點(diǎn)與的三點(diǎn)距離相等，所以為圓的圓心，即，且圓的半徑.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A項(xiàng)正確.對于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以易證，所以，又因?yàn)?，所以，結(jié)合在單調(diào)遞減，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)最小時(shí)，取最小值，即，此時(shí)，，，即此時(shí)最大，且最大值是一個(gè)鈍角，因?yàn)闉橹本€上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可以一個(gè)銳角連續(xù)變化一個(gè)鈍角，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，即，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.對于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以四點(diǎn)共圓.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以直線，又因?yàn)?，解得，此時(shí)，四點(diǎn)共圓的圓心，半徑為，所以圓，聯(lián)立圓減去圓的方程得直線：，故D項(xiàng)正確.故答案為：AD.4．（多選）（25-26高二上·廣東廣州·期中）已知圓直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線，分別與圓相切于點(diǎn)，，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）.A．四邊形的面積最小值為B．最短時(shí)，弦長為C．最短時(shí)，弦所在直線方程為D．直線過定點(diǎn)【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，又因切線長定理可知，當(dāng)最短時(shí)，面積最??；B選項(xiàng)，由圓的弦長公式結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解；C選項(xiàng)，兩垂直直線的斜率相乘等于，兩平行直線斜率相等；D選項(xiàng)，由向量積公式求定點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】對于A，四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，即，最短時(shí)，面積最小，故當(dāng)時(shí)，最短，即，，故A正確；由上述可知，時(shí)，最短，故最小，且最小值為，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)最短時(shí)，則，又，所以，，，可設(shè)的直線方程為，圓心到直線的距離，解得或，由于直線在圓心的右側(cè)，且在直線的左側(cè)，所以，解得，即直線的方程為，即，故C正確；如圖，設(shè)圓上一點(diǎn)，，，，，，易知，由于，所以，同理，，，，即，令，解得，所以直線過定點(diǎn)為，故D正確．故選：ACD．【題型9代數(shù)式的幾何意義求最值與范圍】高妙技法將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后進(jìn)行數(shù)形結(jié)合來求最值。若遇到帶平方跟開方的，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，把它構(gòu)造成兩個(gè)點(diǎn)。遇到跟x、y有關(guān)的代數(shù)式，可以聯(lián)想到點(diǎn)到直線的距離，兩平行直線的距離公式熟悉圓的方程、直線方程，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成圓上點(diǎn)或者直線上點(diǎn)，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。1．（25-26高二上·江蘇泰州·月考）若實(shí)數(shù)，滿足，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，利用直線與圓有公共點(diǎn)求解即可.【詳解】設(shè)，則，聯(lián)立可得，由直線與圓有公共點(diǎn)可知，，解得，故選：B2．（多選）（25-26高二上·山東·月考）已知實(shí)數(shù)滿足方程，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)到點(diǎn)的距離為定值B．的最大值為C．的最大值為D．的最大值為【答案】ABD【分析】整理可得點(diǎn)的軌跡為圓，根據(jù)為該圓圓心可知A正確；利用可求得B正確；利用的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值，利用圓的幾何性質(zhì)可求得C錯(cuò)誤；采用三角換元的方式，結(jié)合輔助角公式和正弦型函數(shù)最值可求得D正確.【詳解】對于A，由得：，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為該圓的半徑，即定值，A正確；對于B，，，的最大值為，B正確；對于C，的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，圓心到點(diǎn)的距離，的最大值為，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，，，，，，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為，D正確.故選：ABD.3．（多選）（25-26高二上·廣東·月考）已知實(shí)數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最小值是B．的最大值是C．的最小值是D．過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離公式的平方即可求解；選項(xiàng)B轉(zhuǎn)化為斜率即可求解；選項(xiàng)C轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離的倍即可求解；選項(xiàng)D設(shè)出切線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為半徑即可求解【詳解】曲線的方程可化為，它表示圓心為，半徑為的圓.對于A，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，則它的最小值為，此時(shí)的最小值是，故A正確；對于B，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，則該直線的方程為，即由圓心到直線的距離，解得，故B正確；對于C，設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，則到直線的距離為，所以表示曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的倍，而圓心到直線的距離，所以其最小值為，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，的斜率為，則過點(diǎn)的切線斜率為，故切線方程為，即，故D正確.故選：ABD.4．（多選）（25-26高二上·河南新鄉(xiāng)·月考）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為B．的最小值為C．的最小值為D．當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件得出與的關(guān)系，即點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，再結(jié)合基本不等式、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對配方得，，即點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上.選項(xiàng)A：設(shè)，即，可得的最值對應(yīng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)的截距最值，即圓心到直線的距離.又，所以，即，解得，故最小值為，選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B：根據(jù)圓的位置（第一象限）可知，，，故，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，最值對應(yīng)的點(diǎn)位于過原點(diǎn)與圓心的直線與圓的交點(diǎn)上.故最小值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C：令（），則，因此求的最小值等價(jià)于求的最大值，即求的最小值.又表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，可設(shè)過原點(diǎn)的直線為，即.又該直線與圓有交點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，即，即，整理得，解得.當(dāng)時(shí)，，，即的最小值為，C選項(xiàng)正確.選項(xiàng)D：表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記為.令（），點(diǎn)，即拋物線（）右半支上的點(diǎn)，故原式可表示為圓上的點(diǎn)到拋物線上點(diǎn)的距離.而表示到點(diǎn)的距離.所以的最小值即為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值.又圓心到點(diǎn)的距離，所以圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.1．（24-25高二上·天津南開·期中）若過點(diǎn)的直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線斜率的范圍是.【答案】【分析】先求出直線在軸、軸的交點(diǎn)，再結(jié)合直線的斜率公式與圖形，即可求解．【詳解】設(shè)直線在軸的交點(diǎn)為，在軸的交點(diǎn)為，則,，，，，，過點(diǎn)的直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，直線斜率的取值范圍是．故答案為：．2．（2025高二上·江蘇南京·專題練習(xí)）過點(diǎn)作直線，使得直線和連接點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)圖象，求出直線的斜率的取值范圍，再求傾斜角的取值范圍.【詳解】如圖，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，故直線和連接點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則，又，所以故答案為：

3．（2025高二上·江蘇南京·專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線l交圓C：于A，B兩點(diǎn)，若，垂足為Q，則點(diǎn)Q到直線的最大距離為.【答案】【分析】根據(jù)圓C的方程，可得其圓心和半徑，分析可得點(diǎn)P在圓內(nèi)，且直線l的斜率存在，設(shè)，可得，坐標(biāo)，根據(jù)題意可得，整理可得Q點(diǎn)軌跡，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，分析計(jì)算，即可得答案.【詳解】

易知圓的圓心為，半徑，又，所以在圓內(nèi)，因?yàn)?，垂足為Q，由垂徑定理可知Q是AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)圓心C與Q重合，不符合題意，由可得，設(shè)點(diǎn)，則，，所以，即，故點(diǎn)Q的軌跡方程為（除點(diǎn)外），又圓心到直線的距離為，則點(diǎn)Q到直線的最大距離為．故答案為：4．（多選）（25-26高二上·福建莆田·期中）已知圓和直線，則（

）A．直線恒過定點(diǎn) B．截圓所得弦長的最大值為2C．截圓所得弦長取最小值時(shí) D．上動(dòng)點(diǎn)到的距離的最大值為【答案】AC【分析】將直線化簡，即可求出直線過定點(diǎn)，判斷A；直線經(jīng)過圓心時(shí)，弦長最長，此時(shí)為直徑，可判斷B；結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，可判斷C、D.【詳解】對于A，直線即，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；對于B，直線截圓所得弦長最大值為直徑的長，即最大值為，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)椋远c(diǎn)在圓內(nèi)，即直線與圓相交，設(shè)點(diǎn)，由圓的幾何性質(zhì)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦長最小，所以，即，所以，故C正確；對于D，由圓的幾何性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，到的距離最大，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.5．（25-26高二上·湖北·期中）設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（）A． B．5 C． D．4【答案】C【分析】在軸上找一點(diǎn)，此時(shí)，證明，同理在軸上找一點(diǎn)，證明，將所求變?yōu)?，代入整理，?dāng)D、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即可得答案.【詳解】，可在軸上找一點(diǎn)，此時(shí)，，，所以，同理因?yàn)?，可在軸上找一點(diǎn)，使得，，所以，由此知.故選：C.6．（25-26高二上·山東聊城·期中）已知三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，若，則線段（為原點(diǎn)）長度的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由題分析可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，得，根據(jù)化簡可得，從而可知點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，再結(jié)合