重難點(diǎn)03嵌套函數(shù)與零點(diǎn)歸來內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點(diǎn)，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點(diǎn)的解題策略與實(shí)戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級題感”與應(yīng)變能力近三年：2023-2024均為第15題（填空壓軸），5分；2025為選擇，5分；核心考查嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)/參數(shù)范圍，2023：分段函數(shù)嵌套f(f(x))，求恰有2個(gè)零點(diǎn)的參數(shù)范圍；核心是換元拆解+分段圖象分析，易錯(cuò)點(diǎn)為忽略內(nèi)層函數(shù)值域限制。2024：指數(shù)/對數(shù)嵌套函數(shù)，求恰有1個(gè)零點(diǎn)的參數(shù)范圍；關(guān)鍵是外層零點(diǎn)→內(nèi)層方程解的個(gè)數(shù)，易錯(cuò)點(diǎn)為邊界值漏判與定義域疏忽。2025：復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間判定，結(jié)合指數(shù)、冪函數(shù)；側(cè)重零點(diǎn)存在性定理+單調(diào)性，難度略降但仍需嚴(yán)謹(jǐn)轉(zhuǎn)化。共性規(guī)律：必考換元法（令t=f(x)），高頻結(jié)合分段、指數(shù)、對數(shù)、三角等；核心是“外層零點(diǎn)→內(nèi)層方程解的個(gè)數(shù)”兩步轉(zhuǎn)化；易錯(cuò)點(diǎn)集中在內(nèi)層值域、定義域、臨界值、重復(fù)零點(diǎn)。預(yù)測2026年：大概率第15題（填空壓軸），5分；難度中偏難，維持區(qū)分度。核心載體：主流：分段函數(shù)+指數(shù)/對數(shù)/三角嵌套（如f(g(x))、f(f(x))）。新動向：可能結(jié)合向量、復(fù)數(shù)、統(tǒng)計(jì)量簡單嵌套，或出現(xiàn)類周期/放縮型嵌套函數(shù)，背景更靈活但邏輯不變?？疾樾问剑阂阎泓c(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（最易出區(qū)分度）。判斷嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；或嵌套函數(shù)零點(diǎn)分布（區(qū)間、奇偶性等）?？枷?：判斷函數(shù)存在零點(diǎn)判斷函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，主要利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷．首先看函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，然后看是否有．若有，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)．1．（2025·天津紅橋·一模）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可【詳解】函數(shù)是上的連續(xù)增函數(shù),,可得,所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C2．已知表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，為取整函數(shù)，是函數(shù)的零點(diǎn)，則（

）A．4 B．5 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可判斷出零點(diǎn)所在的相鄰整數(shù)區(qū)間，即可由定義求得的值.【詳解】函數(shù)在遞增，且，，所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，故，故選：C.3．（2026·天津和平·模擬預(yù)測）函數(shù)與的圖象交點(diǎn)為，則所在區(qū)間是（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】令函數(shù)，，由于，所以區(qū)間(2,3)必有零點(diǎn)．4．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】的定義域?yàn)椋峙c在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，所以在上存在唯一的零點(diǎn).故選：C.5．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，又，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：A.考向2：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（1）解方程：當(dāng)對應(yīng)方程易解時(shí)，可通過解方程，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行判斷；（3）通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷，畫函數(shù)圖象，觀察圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷．1．（2025·天津·三模）設(shè)函數(shù)，記函數(shù)有且僅有個(gè)互不相同的零點(diǎn)，則當(dāng)取到最大值時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】考慮時(shí)，得到時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)取其他值時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，再考慮時(shí)，變形得到且時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，寫出分段函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到其與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而最終求出最多有4個(gè)零點(diǎn)，得到的取值范圍.【詳解】，即，當(dāng)時(shí)，，即，故滿足要求，若，則無解，若，則，解得不滿足；若，則的解，若，則的解，且當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)取其他值時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，無解，當(dāng)且時(shí)，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，又時(shí)，，其中，，，，畫出的圖象如下：當(dāng)或或或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，綜上：最多有4個(gè)零點(diǎn)，則.故答案為：.2．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】本題首先可根據(jù)函數(shù)解析式研究函數(shù)在區(qū)間和上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后根據(jù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)或根據(jù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，得，即，該方程至多兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，令，得，該方程至多兩個(gè)根，因?yàn)楹瘮?shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間和上均有零點(diǎn)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t，解得，若函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，則或，解得或，若函數(shù)在區(qū)間上也有兩個(gè)零點(diǎn)，令，解得，，則，解得，若函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，則且，解得；所以當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需滿足，解得，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)時(shí),需滿足，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2024·天津·二模）已知函數(shù)，關(guān)于有下面四個(gè)說法：的圖象可由函數(shù)的圖象向右平行移動個(gè)單位長度得到；在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)．以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先把用三角恒等變換公式化簡，再逐一比對各個(gè)命題，判斷真假即可.【詳解】因?yàn)椋?對于，函數(shù)的圖象向右平行移動個(gè)單位長度，得到，所以正確；對于，，則，先減后增，所以錯(cuò)誤；對于，當(dāng)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，，所以的取值范圍為，所以正確；對于，由，則，則當(dāng)時(shí)，，所以在上有個(gè)零點(diǎn)，所以錯(cuò)誤.故選：B.4．已知定義在上的奇函數(shù)恒有，當(dāng)時(shí)，，已知，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．3個(gè)或4個(gè) D．4個(gè)或5個(gè)【答案】D【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)和關(guān)系式轉(zhuǎn)化求出的關(guān)系式并利用單調(diào)性畫出簡圖，再利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)的取值范圍求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以的周期?，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，令，得，又，所以，當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)遞減得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，得，作出函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)在上只有3個(gè)零點(diǎn).當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)在上只有3個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有4個(gè)或5個(gè)零點(diǎn).故選：D5．（2025·天津北辰·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若在區(qū)間上存在個(gè)不同的數(shù)，使得成立，則的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，可知為方程的解的個(gè)數(shù)，判斷的單調(diào)性，作出與的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解．【詳解】解：設(shè)，則方程有個(gè)根，即有個(gè)根，，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，令得，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，作出與的大致函數(shù)圖象，如圖所示：由圖象可知的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為1，2，3，4，又，所以的值為2，3，4．故選：D．考向3：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，再數(shù)形結(jié)合求解．1．（2025·天津·一模）已知定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將問題化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究過原點(diǎn)的切線斜率，數(shù)形結(jié)合判斷參數(shù)的范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖示：當(dāng)時(shí)，，則，若切點(diǎn)為，則，則切線為，由切線過原點(diǎn)，則，所以為的一條切線方程，當(dāng)時(shí)，，則，若切點(diǎn)為，則，則切線為，由切線過原點(diǎn)，則，即，所以為的一條切線，當(dāng)時(shí)，，則，若切點(diǎn)為，則，則切線為，由切線過原點(diǎn)，則，即，所以為的一條切線，綜上，考慮直線，，與曲線相切，由圖知，當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以時(shí)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)．故選：B2．（2025·天津南開·模擬預(yù)測）設(shè)，已知函數(shù)，，若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，通過兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?所以，即，整理得．因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)解，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.令，則函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，兩函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，故不合題意；②當(dāng)時(shí)，易知，且，令,得,，令,得,若與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，需滿足，解得．③當(dāng)時(shí)，易知．由②的分析可得，若與的圖象有兩交點(diǎn)，需滿足解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.3．（2020·天津和平·一模）已知函數(shù)，則；若方程在區(qū)間有三個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】81【分析】（1）利用分段函數(shù)解析式求出，再根據(jù)對數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)推出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，則，所以.作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖所示：設(shè)，由圖象可知要使方程在區(qū)間上有3個(gè)不等實(shí)根，則直線應(yīng)位于與之間或直線的位置，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或，所以或.故答案為：81；.4．（2025·天津·一模）已知函數(shù)．若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】首先分析得且，進(jìn)一步分和，兩種情況討論即可，原問題可以轉(zhuǎn)換為的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4來求參數(shù)，從而可以通過畫圖進(jìn)行求解.【詳解】若，則等價(jià)于，解得或，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，其零點(diǎn)不超過兩個(gè)，從而必然有且，的零點(diǎn)有四個(gè)等價(jià)于的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與的圖象相切，直線經(jīng)過點(diǎn)，其中的橫坐標(biāo)是的較小的那個(gè)根，且經(jīng)過直線所過的那個(gè)定點(diǎn)，由求根公式可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從而，所以要滿足題意的話，那么當(dāng)且僅當(dāng)，其中分別表示直線的斜率，顯然有，聯(lián)立直線與得，，從而有，解得或（舍去），舍去是因?yàn)槔碚撋蟻碚f與可能有兩種相切的情況，一種是相切于對稱軸左邊的一點(diǎn)，一種是相切于對稱軸右邊一點(diǎn)，從而，所以時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與的圖象相切，直線經(jīng)過點(diǎn)，其中的橫坐標(biāo)是的較大的那個(gè)根，且經(jīng)過直線所過的那個(gè)定點(diǎn)，由求根公式可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從而，所以要滿足題意的話，那么當(dāng)且僅當(dāng)，其中分別表示直線的斜率，顯然有，聯(lián)立直線與得，，從而有，解得或（舍去），舍去是因?yàn)槔碚撋蟻碚f與可能有兩種相切的情況，一種是相切于對稱軸左邊的靠上面的一點(diǎn)，一種是相切于對稱軸左邊的靠下面的一點(diǎn)，從而，所以時(shí)，，即，解得或，綜上所述，所求為.故答案為：.5．（2025·天津南開·二模）已知函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】，當(dāng)時(shí)，變形為，令，則，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象列出不等式即可求解.【詳解】，即，當(dāng)，，，所以不是交點(diǎn)橫坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，，即，令，則，所以的圖象與有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)恒過點(diǎn)，當(dāng)，即，，即，解得或，當(dāng)，解得或，所以函數(shù)與相切時(shí)的最小值為或，由圖象可知當(dāng)（1）時(shí)，即；（2），即時(shí)函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，綜上：當(dāng)時(shí)，的圖象與有3個(gè)交點(diǎn)，故答案為：.考向4：嵌套函數(shù)的分析思路定義：①函數(shù)里調(diào)用另一個(gè)函數(shù)簡稱函數(shù)嵌套. ②函數(shù)里調(diào)用函數(shù)本身簡稱遞歸嵌套.函數(shù)嵌套原理求函數(shù)解析式步驟如下：形如：第一步：令第二步：令，,解出第三步：求出的解析式.1．（2025·天津·二模）已知函數(shù)，若方程有且只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】第一步換元，分兩大類：當(dāng)時(shí)，，或當(dāng)時(shí)，，解得或即可得解.【詳解】設(shè)，則，情形一：當(dāng)時(shí)，，解得或，因?yàn)?，故不可能有，從而只能是有唯一的解，這就要求，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，這與矛盾，此時(shí)滿足題意的的取值范圍是；情形二：當(dāng)時(shí)，，解得，這就要求，由于，故只能是，解得，這就要求，此時(shí)滿足題意的的取值范圍是；綜上所述，滿足題意的的取值范圍是.故答案為：.2．（2025·天津·模擬預(yù)測）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出函數(shù)圖象，有個(gè)實(shí)根，故方程有個(gè)實(shí)根，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出參數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得或，作出的圖象，如圖所示，由圖可知，方程有2個(gè)實(shí)根，故方程有3個(gè)實(shí)根，故m的取值范圍為.故選：A3．（2025·天津和平·三模）已知函數(shù)，，且有，若關(guān)于的方程有8個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】．【分析】由題意設(shè)，，根據(jù)對稱軸、單調(diào)性等知識畫出圖象，由題意當(dāng)且僅當(dāng)，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，，進(jìn)一步換元分離參數(shù)，并結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意設(shè)，，由此可知，的對稱軸均為，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，由此可以畫出這兩函數(shù)的大致圖像如圖所示：所以，所以直線與函數(shù)至多有4個(gè)不同的交點(diǎn)，關(guān)于的方程至多有2個(gè)不同的根，由題意若關(guān)于的方程有8個(gè)相異實(shí)根，則當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)關(guān)于的方程，共有8個(gè)不同的根，其中，，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，令，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，，即有兩個(gè)不同的根，，設(shè)，由對勾函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，所以有兩個(gè)不同的根，，當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.4．（2024·天津?yàn)I海新·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，則a的范圍為.【答案】或【分析】把函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出圖象，列出限制條件可得答案.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，；……作出函數(shù)的部分圖象如下，因?yàn)榈牧泓c(diǎn)個(gè)數(shù)為2，所以的圖象與的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，由圖可知，或.故答案為：或5．已知函數(shù)若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】換元后轉(zhuǎn)化為，該方程存在唯一解，且，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，圖象為以和軸為漸近線的雙曲線的一支；當(dāng)時(shí)，有，可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增且，，畫出圖象如下:

由題意，有唯一解，設(shè)，則，（否則至少對應(yīng)2個(gè)，不滿足題意），原方程化為，即，該方程存在唯一解，且.轉(zhuǎn)化為與有唯一公共點(diǎn)，且該點(diǎn)橫坐標(biāo)在，畫圖如下：情形一：與相切，聯(lián)立得，由解得，此時(shí)滿足題意：情形二：與有唯一交點(diǎn)，其中一個(gè)邊界為(與漸近線平行)，此時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足題意；另一個(gè)邊界為與相切，即過點(diǎn)的切線方程，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以求得，此時(shí)左側(cè)的交點(diǎn)D橫坐標(biāo)為滿足條件，右側(cè)存在切點(diǎn)E，故該邊界無法取到；所以的范圍為.綜上，的取值范圍為或.故答案為：或（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二次函數(shù)最多兩個(gè)零點(diǎn)，討論在區(qū)間分別取4、5、6個(gè)零點(diǎn)時(shí)的的取值范圍，再討論在區(qū)間分別取0、1、2個(gè)零點(diǎn)時(shí)的的取值范圍，最后進(jìn)行組合即可.【詳解】?函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，且二次函數(shù)最多兩個(gè)零點(diǎn)，?當(dāng)時(shí)，至少有四個(gè)根，令，則解得：，?，?，即，當(dāng)時(shí)，，①若有4個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，即；②若有5個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，即；③若有6個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，，令，解得：，①若，沒有零點(diǎn)；②若，，有1個(gè)零點(diǎn)；③若，，且對稱軸，當(dāng)時(shí)，即，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即，有1個(gè)零點(diǎn)綜上所述，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)需要滿足，或或解得故選：A.2．（2025·天津武清·模擬預(yù)測）設(shè)，已知方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】或【分析】原方程可化為恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，即的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出的圖象，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，不成立，所以恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，；原方程可化為恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，即的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，的圖象如下，由圖可知，當(dāng)，且與相切時(shí)，由，所以，,所以（另一解舍去），若要有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則；，的圖象沒有3個(gè)不同的交點(diǎn)；當(dāng)，且與相切時(shí)，由同理可得（另一解舍去），當(dāng)過時(shí)，，當(dāng)，不符合題意；若要有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則；綜上所述，或.故答案為：或.3．（2025·天津·二模）記表示不大于x的最大整數(shù)，例如，，則方程所有解的和為．【答案】【分析】由題意得到，和，求解一元二次不等式即可求解.【詳解】由已知有，即，則由，可得，即，解得．同理，有，解得，或，故，或，因此．當(dāng)時(shí)，有，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，不符合題意；當(dāng)時(shí)，有，不符合題意．綜上，方程所有解的和為．故答案為：4．（2025·天津河西·二模）已知函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是.【答案】【分析】由可得，數(shù)形結(jié)合可知、為方程的兩根，、為方程的兩根，求出的取值范圍，利用韋達(dá)定理求出關(guān)于的表達(dá)式，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的值域，即為所求.【詳解】由題意可知，由可得，可得，所以，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由可得或，結(jié)合圖象可知，、為方程的兩根，即方程的兩根，，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，則，、為方程的兩根，即方程的兩根，，可得，故，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，所以，所以，令，，所以，對任意的，，則，即對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，故當(dāng)時(shí)，，因此，的取值范圍是.故答案為：.5．（2025·天津·二模）設(shè)，函數(shù).若在區(qū)間上恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是；若在定義域內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化將問題轉(zhuǎn)化為在有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，構(gòu)造，即可利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布即可求解第一空，對討論，當(dāng)時(shí)，容易驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為在無零點(diǎn)，取絕對值后平方可得，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，問題轉(zhuǎn)化為需要在有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式，為了求解不等式，構(gòu)造由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可解不等式，即可求解空2.【詳解】由于在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，故在有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故在有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，記，則，解得或，接下來求解在定義域內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)的范圍.①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在無零點(diǎn)，故需要在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，故，②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)沒有零點(diǎn)，不符合題意，③當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，此時(shí)在有兩個(gè)零點(diǎn)，故只需要在無零點(diǎn)，令，即，記由于，且而，故，，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，若時(shí)，，，此時(shí)有兩個(gè)根，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不滿足題意，舍去，接下來只需要考慮的情況，此時(shí)對于來說，，故在沒有零點(diǎn)，因此需要在有兩個(gè)零點(diǎn)，故，即，即，故當(dāng)在單調(diào)遞增，當(dāng)在單調(diào)遞減，，因此對任意的，均有，故且綜上可得在定義域內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，故答案為：，6．（2025·天津·二模）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且恰有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】先根據(jù)、得出的表達(dá)式，再通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可利用對稱性以及圖象變換畫出的圖象，利用圖象交點(diǎn)得出的取值范圍.【詳解】因關(guān)于直線對稱，則，且，則且，解得，則，經(jīng)檢驗(yàn)：對任意恒成立，即的圖象關(guān)于直線對稱，則符合題意；因恰有6個(gè)零點(diǎn)，則與的函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)研究函數(shù)的單調(diào)性：因，則得；得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又因，則根據(jù)圖象變換以及對稱性可畫出函數(shù)的圖象：由圖象可知，，則的取值范圍為.故答案為：.7．（2025·天津和平·二模）已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】首先分析的交點(diǎn)情況，再分類討論的范圍，作出圖象，即可求解．【詳解】因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，所以有2個(gè)交點(diǎn)，先判斷與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，令，即，，所以與無交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，，即，令，解得或，所以當(dāng)或，與有2個(gè)交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)情況，令，即，解得或，其中，所以與有2個(gè)交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)情況，，即，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)；①當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，符合題意；②當(dāng)時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，不合題意；③當(dāng)時(shí)，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；④當(dāng)時(shí)，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；⑤當(dāng)時(shí)，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；⑥當(dāng)時(shí)，，如圖所示，只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；⑦當(dāng)時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)，與有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，符合題意；綜上所述，，故答案為：．8．（2025·天津河北·二模）若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由已知可得在上有且僅有一個(gè)根，討論、，導(dǎo)數(shù)研究區(qū)間單調(diào)性并確定右側(cè)的值域，即可得參數(shù)范圍.【詳解】令有且僅有一個(gè)根，且，所以，在上有且僅有一個(gè)根，當(dāng)，則，令且，則，所以在上單調(diào)遞增，趨向于0時(shí)，，趨向于1時(shí)，，所以；當(dāng)，則，令在上單調(diào)遞減，且，趨向于時(shí)，，所以；綜上，.故答案為：9．（2023·天津?yàn)I海新·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二次方程解的情況，再分類討論并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列方程，解方程.【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，由，得，即，當(dāng)時(shí)，由，得，而兩個(gè)方程分別至多有個(gè)解，又函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則兩個(gè)方程共有個(gè)解，①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，則，，解得；此時(shí)當(dāng)時(shí)，方程有且只能有一個(gè)解，則方程在上只有一解，即，解得，或方程有兩解，并滿足，則，解得，因此；②當(dāng)時(shí)，方程方程有一個(gè)解，顯然，則方程在上只有一解，即，解得，或方程有兩解，則，解得；此時(shí)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，并滿足，即，解得，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：10．（2024·天津·二模）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】或.【分析】函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)說明與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分別畫出不同取值情況下的函數(shù)圖象，通過斜率的變化即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，所以與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象如圖1所示，的圖象與的圖象僅有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，且時(shí)，，，如圖2，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立得，，由得或（舍），如圖3，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上有一個(gè)交點(diǎn)，在上有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意.如圖4，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上沒有交點(diǎn)，在上有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意.如圖2，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上沒有交點(diǎn)，在上有三個(gè)交點(diǎn)，不合題意.如圖5，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上沒有交點(diǎn)，在上有四個(gè)交點(diǎn)，符合題意.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，且時(shí)，，，如圖6，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立得，，由得或（舍），如圖7，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，在上有四個(gè)交點(diǎn)，不合題意.如圖6，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，在上有三個(gè)交點(diǎn)，不合題意.如圖8，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，在上有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意.如圖9，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上有一個(gè)交點(diǎn)，在上有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故答案為：或.11．（2020·江蘇南通·二模）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到在上的單調(diào)性和最值，根據(jù)函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)得到和時(shí)分別有4和2個(gè)零點(diǎn)，然后列不等式求解即可.【詳解】解：當(dāng)，，由可得，由可得，故可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在有最小值為，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，由函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，故可得兩段函數(shù)分別存在4和2個(gè)零點(diǎn).若存在四個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)需滿足：，若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有兩種情況：①：；②：，綜上：.故答案為：.12．（2022·天津?qū)氎妗ざ＃┮阎瘮?shù)若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，且，則非零實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】命題等價(jià)于的圖象與和的交點(diǎn)數(shù)之和為，然后結(jié)合圖象判斷交點(diǎn)數(shù)目，即可得到答案.【詳解】命題等價(jià)于與和的交點(diǎn)數(shù)之和為，作出的圖象如下：可以看出，對任意的非零實(shí)數(shù)，的圖象和的交點(diǎn)數(shù)滿足：若，則；若，則；若，則.而條件即為，此即，且或，從而的范圍是或.綜上，所求取值范圍是．故選：C.13．（2023·天津·模擬預(yù)測）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；