第五章一元一次方程5.3實(shí)踐與探索第1課時(shí)體積和面積問(wèn)題

一、教材分析本節(jié)課是華東師大版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第五章第三節(jié)《實(shí)踐與探索》第一課時(shí)的內(nèi)容．本課在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，進(jìn)一步探究利用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題．通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將學(xué)會(huì)借助立體及平面圖形學(xué)會(huì)分析復(fù)雜問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系，建立方程，解決實(shí)際問(wèn)題．

二、學(xué)情分析到了七年級(jí)下冊(cè)，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和方程知識(shí)，對(duì)一元一次方程的基本概念及解法有了一定的理解．然而，由于學(xué)生之間存在個(gè)體差異，部分學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中找出等量關(guān)系，列出一元一次方程可能會(huì)遇到困難．因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師需要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，采取因材施教的教學(xué)策略．

三、教學(xué)目標(biāo)1.借助立體及平面圖形學(xué)會(huì)分析復(fù)雜問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系，建立方程，解決實(shí)際問(wèn)題2.通過(guò)具體問(wèn)題的解決，體會(huì)利用方程解決問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系．3.通過(guò)分析圖形問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系體會(huì)方程模型的作用，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、敢于提出問(wèn)題的能力．4.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探討，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，激發(fā)學(xué)生的好奇心和主動(dòng)學(xué)習(xí)的欲望．

四、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：借助立體及平面圖形學(xué)會(huì)分析復(fù)雜問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系．難點(diǎn)：找等量關(guān)系列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題．

五、教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)回顧填空：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=__________，面積=_______．正方形的周長(zhǎng)=__________，面積=_______．長(zhǎng)方體的體積=______，正方體的體積=____．圓的周長(zhǎng)=_______，面積=___________．圓柱的體積=_______________．預(yù)設(shè)答案：2(a+b)；ab；4a；a2；abc；a3；2πr；πr2；πr2h．情境導(dǎo)入從一個(gè)水杯向另一個(gè)水杯倒水思考：在這個(gè)過(guò)程中什么沒(méi)有發(fā)生變化？設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)回顧已學(xué)知識(shí)，為新課的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.讓學(xué)生觀察倒水的過(guò)程中體會(huì)等體積變化的現(xiàn)象中蘊(yùn)涵的不變量.同時(shí)分析出不變量與變量間的等量關(guān)系．探究新知活動(dòng)一：與平面圖形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題問(wèn)題1用一根長(zhǎng)60cm的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形．(1)如果長(zhǎng)方形的寬是長(zhǎng)的23(2)如果長(zhǎng)方形的寬比長(zhǎng)少4cm，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積；(3)比較小題(1)(2)所得的兩個(gè)長(zhǎng)方形面積的大小，還能圍出面積更大的長(zhǎng)方形嗎？教師活動(dòng)：在這個(gè)過(guò)程中什么沒(méi)有發(fā)生變化？分析：由題意知，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)始終是不變的，即長(zhǎng)與寬的和為：60×12=30(解：（1）如圖所示：設(shè)此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，則它的寬為23xc根據(jù)題意，得(x+解這個(gè)方程，得x=18．23此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為18cm，寬為12cm．（2）如圖所示：設(shè)此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，則它的寬為(x-4)c根據(jù)題意，得(x+x-4解這個(gè)方程，得x=17x-4=13此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為17cm，寬為13cm，所以，長(zhǎng)方形的面積為17×13=221(cm2)．（3）(1)中長(zhǎng)方形的面積為18×12=216(cm2)，∵221＞216，∴(2)中長(zhǎng)方形的面積比(1)中長(zhǎng)方形的面積大．討論：每小題中如何設(shè)未知數(shù)？在小題(2)中，能不能直接設(shè)長(zhǎng)方形的面積為xcm2？若不能，該怎么辦？答：在每小題中均可設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)挒槲粗獢?shù)；小題（2）中，因?yàn)橐阎L(zhǎng)與寬的關(guān)系，而不是面積的關(guān)系，所以不能直接設(shè)出長(zhǎng)方形的面積．只能間接地設(shè)出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)挘蟪鲩L(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)捄?，再進(jìn)一步計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方形的面積．探索：將小題(2)中的寬比長(zhǎng)少4cm改為少3cm、2cm、1cm、0cm(即變?yōu)檎叫?，長(zhǎng)方形的面積有什么變化？答：同理，可計(jì)算當(dāng)寬比長(zhǎng)少2cm時(shí)，S=224cm2；當(dāng)寬比長(zhǎng)少1cm時(shí)，S=224.75cm2；當(dāng)寬與長(zhǎng)相等時(shí)，S=225cm2；所以，還可以圍出面積更大的長(zhǎng)方形．小結(jié)：由此可以得到：當(dāng)長(zhǎng)與寬相差越小時(shí)，長(zhǎng)方形的面積越大，當(dāng)長(zhǎng)與寬相等(相差為0)時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大．設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考發(fā)現(xiàn)：圍成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬在發(fā)生變化，但在圍的過(guò)程中，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)不變，由此便可建立“等量關(guān)系”．同時(shí)，根據(jù)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)隨著長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的變化，長(zhǎng)方形的面積也在發(fā)生變化．培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的嚴(yán)謹(jǐn)性，語(yǔ)言表述的準(zhǔn)確性．活動(dòng)二：立體圖形的等積變形問(wèn)題某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm的圓柱形易拉罐飲料．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研決定對(duì)該產(chǎn)品外包裝進(jìn)行改造，計(jì)劃將它的底面直徑減少為6cm．那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕?？教師活?dòng)：想一想，什么發(fā)生了變化？什么沒(méi)有發(fā)生變化？問(wèn)題1：在這個(gè)問(wèn)題中有一個(gè)怎樣的等量關(guān)系？預(yù)設(shè)答案：舊包裝的容積=新包裝的容積問(wèn)題2：設(shè)易拉罐的高度為xcm，填寫(xiě)下表：預(yù)設(shè)答案：?jiǎn)栴}3：根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：________．解得x=________．因此，易拉罐的高變成了________cm．預(yù)設(shè)答案：π×3.32×12=π×32×x；14.52；14.52教師活動(dòng)：列方程時(shí)，關(guān)鍵是找出問(wèn)題中的等量關(guān)系．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題，尋找圖形問(wèn)題中的等量關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生的積極性.此時(shí)要注意提醒學(xué)生π的取值相關(guān)細(xì)節(jié)問(wèn)題.此類題目中的π值由等式的基本性質(zhì)就已約去，無(wú)須帶具體值；若是題目中的π值約不掉，也要看題目中對(duì)近似數(shù)有什么要求，再確定精確程度.應(yīng)用新知經(jīng)典例題例1用兩根等長(zhǎng)的鐵絲分別繞成一個(gè)正方形和一個(gè)圓，已知正方形的邊長(zhǎng)比圓的半徑長(zhǎng)2(π－2)m，求這兩根等長(zhǎng)的鐵絲的長(zhǎng)度，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)的面積大．分析比較兩圖形的面積大小，關(guān)鍵是通過(guò)題中的等量關(guān)系列方程求得圓的半徑和正方形的邊長(zhǎng)，本題的等量關(guān)系為：正方形的周長(zhǎng)＝圓的周長(zhǎng)．解：設(shè)圓的半徑為rm，則正方形的邊長(zhǎng)為[r＋2(π－2)]m．根據(jù)題意，得2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4．∴鐵絲的長(zhǎng)為2πr＝8π(m)．∴圓的面積是π×42＝16π(m2)，正方形的面積為[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，∴圓的面積大．答：鐵絲的長(zhǎng)為8πm，圓的面積較大．小結(jié)：等長(zhǎng)變形1.線段長(zhǎng)度不變時(shí)，不管圍成怎樣的圖形，周長(zhǎng)不變．即C前=C后．2.當(dāng)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)不變時(shí)，長(zhǎng)方形的面積隨著長(zhǎng)與寬的變化而變化，當(dāng)長(zhǎng)與寬相等時(shí)，面積最大．例2某居民樓頂有一個(gè)底面直徑和高均為4m的圓柱形儲(chǔ)水箱．現(xiàn)該樓進(jìn)行維修改造，為減少樓頂原有儲(chǔ)水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4m減少為3.2m．那么在容積不變的前提下，水箱的高度將由原先的4m變?yōu)槎嗌倜祝拷猓喝绻O(shè)水箱的高變?yōu)閤m，填寫(xiě)下表：根據(jù)舊水箱的容積=新水箱的容積，列方程得π×22×4=π×1.62×x解得x=6.25因此，水箱的高度變成了6.25m．小結(jié)：等積變形1.形狀變了，體積沒(méi)變；原材料的體積＝成品的體積．2.解決等積變形的問(wèn)題時(shí)，通常利用體積相等建立方程．【思考交流】在上面的問(wèn)題中，所列方程的兩邊分別表示什么量？列方程的思路是什么？與同伴進(jìn)行交流．預(yù)設(shè)答案：相等的量；方程的思路：審，設(shè)，列，解，檢，答．①審：通過(guò)審題找出等量關(guān)系；②設(shè)：設(shè)出合理的未知數(shù)(直接或間接)，注意單位名稱；③列：依據(jù)找到的等量關(guān)系，列出方程；④解：求出方程的解；⑤檢：檢驗(yàn)所得的解是否符合題意；⑥答：回答題目中要解決的問(wèn)題，注意單位名稱．設(shè)計(jì)意圖：明確如何根據(jù)等積變形和等長(zhǎng)變形找等量關(guān)系，以及列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟．課堂練習(xí)【教材練習(xí)】1.一塊長(zhǎng)、寬、高分別為4cm、3cm、2cm的長(zhǎng)方體橡皮泥，要用它來(lái)捏一個(gè)底面半徑為1.5cm的圓柱，圓柱的高是多少？(精確到0.1cm，π取3.14)解：設(shè)圓柱的高是xcm．根據(jù)題意，得4×3×2＝π×1.52×x，解得x≈3.4．答：圓柱的高是3.4cm．2.在一個(gè)底面直徑5cm、高18cm的圓柱形瓶?jī)?nèi)裝滿水，再將瓶?jī)?nèi)的水倒入一個(gè)底面直徑6cm、高10cm的圓柱形玻璃杯中，能否完全裝下？若裝不下，那么瓶?jī)?nèi)水面還有多高？若未能裝滿，求杯內(nèi)水面離杯口的距離．解：圓柱形瓶?jī)?nèi)的體積為π×(5÷2)2×18＝112.5π(cm3)，圓柱形玻璃杯的體積為π×(6÷2)2×10＝90π(cm3)，因?yàn)?12.5π＞90π，所以不能完全裝下，設(shè)將圓柱形玻璃杯裝滿后，圓柱形瓶?jī)?nèi)水面還有xcm高，根據(jù)題意列方程，得112.5π－90π＝π×(5÷2)2×x，解得x＝3.6，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以底面直徑6cm、高10cm的玻璃杯完全裝不下，瓶?jī)?nèi)水面還有3.6cm高．師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考再作答．3.墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如下圖虛線所示(單位：cm)．小穎將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個(gè)長(zhǎng)方形，如下圖實(shí)線所示．小穎所釘長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少厘米？【分析】等量關(guān)系是變形前后周長(zhǎng)相等．解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是xcm．根據(jù)題意，得x+x+10+10=10+10+10+10+6+6解得x=16答：小穎所釘長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為16cm，寬為10cm．師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考再作答．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)一元一次方程的理解和應(yīng)用能力．通過(guò)解決具體的體積和面積問(wèn)題，鞏固一元一次方程的應(yīng)用．【課堂檢測(cè)】1.某工廠要制造直徑長(zhǎng)為120mm，高為20mm的圓鋼毛坯，現(xiàn)有的原料是直徑長(zhǎng)為60mm的圓鋼若干米，則應(yīng)取原料的長(zhǎng)為()A.50mmB.60mmC.70mmD.80mm答案：D2.一種牙膏出口處直徑為5mm，小明每次刷牙都擠出1cm長(zhǎng)的牙膏，這樣一支牙膏可以用36次，該品牌牙膏推出新包裝，只是將出口處直徑改為6mm，小明還是按習(xí)慣每次擠出1cm的牙膏，這樣，這一支牙膏能用多少次？【分析】等量關(guān)系是變形前后體積相等．解：設(shè)這一支牙膏能用x次，根據(jù)題意得π×5解這個(gè)方程，得x＝25．答：這一支牙膏能用25次．教師活動(dòng)：注意單位要統(tǒng)一哦！3.把一塊長(zhǎng)、寬、高分別為5cm、3cm、3cm的長(zhǎng)方體鐵塊，浸入半徑為4cm的圓柱形玻璃杯中(盛有水)，水面將增高多少？(結(jié)果保留兩位小數(shù))【分析】等量關(guān)系是水面增高體積=長(zhǎng)方體體積．解：設(shè)水面增高x厘米，則解得x≈0.90因此，水面增高約為0.90厘米．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂檢測(cè)，學(xué)生能夠在短時(shí)間內(nèi)快速回顧和鞏固本堂課所學(xué)相關(guān)知識(shí)．同時(shí)，也鍛煉了學(xué)生的解題速度和對(duì)題目的理解能力，同時(shí)培養(yǎng)他們的時(shí)間管理意識(shí)和學(xué)習(xí)興趣．歸納總結(jié)師生活動(dòng)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容．1.本節(jié)課你學(xué)到了什么？2.列方程解決實(shí)際問(wèn)題的思路是什么？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)．實(shí)踐作業(yè)用兩個(gè)等體積的橡皮泥捏兩個(gè)底面不同的圓柱，測(cè)量出其中一個(gè)圓柱的高，再通過(guò)列方程解決問(wèn)題求出另一個(gè)圓柱的高．

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

七、教學(xué)反思本節(jié)課是第七章“一元一次方程”的第三節(jié)《實(shí)踐與探索》中的第一課時(shí)《體積和面積問(wèn)題》，本節(jié)課是代數(shù)學(xué)習(xí)中的重要組成部分．本課在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元