襄陽(yáng)四中2024級(jí)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)虛數(shù)單位的周期性求出的值，再通過(guò)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，最后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和虛部的概念，即可確定的虛部.【詳解】由，則，所以，故的虛部為.故選：D2.李華家養(yǎng)了白、灰、黑三種顏色的小兔各1只，從兔窩中每次摸取1只，有放回地摸取3次，則3次摸取的顏色各不相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，利用古典概型概率公式求解概率即可.【詳解】每次摸取有3種顏色選擇，有放回地摸取3次，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總基本事件數(shù)為，3次摸取的顏色各不相同，即從3種顏色中選3種排列，第1次有3種選擇，第2次不能與第1次相同有2種選擇，第3次不能與前兩次相同有1種選擇，符合條件的事件數(shù)為，所以所求概率為.故選：B.3.直線的傾斜角范圍是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)直線方程，求得，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)直線的傾斜角為直線的斜率為，即，又由，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的應(yīng)用，以及直線的斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.若平面的法向量為，平面的法向量為，直線的方向向量為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)面面平行則法向量共線計(jì)算可判斷A；根據(jù)直線與平面垂直則直線的方向向量與平面法向量共線計(jì)算可判斷B；根據(jù)直線的方向向量與平面法向量垂直則直線與平面平行或直線在平面內(nèi)可判斷C；根據(jù)法向量垂直則面面垂直可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，則，故D正確.故選：D.5.公元前300年，幾何之父歐幾里得在《幾何原本》里證明了世界上只存在正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體這5種正多面體.公元前200年，阿基米德把這5種正多面體進(jìn)行截角操作（即切掉每個(gè)頂點(diǎn)），發(fā)現(xiàn)了5種對(duì)稱的多面體，這些多面體的面仍然是正多邊形，但各個(gè)面卻不完全相同，如圖所示，現(xiàn)代足球就是基于截角正二十面體的設(shè)計(jì)，則圖2所示的足球截面體的棱數(shù)為（）A.60 B.90 C.120 D.180【答案】B【解析】【分析】先分析得出正二十面體的面、頂點(diǎn)以及棱的個(gè)數(shù)，進(jìn)而結(jié)合圖象得出足球截面體各個(gè)面的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】易知正二十面體有20個(gè)面，每個(gè)面都是三角形，每個(gè)頂點(diǎn)都是5條棱的交點(diǎn)，每條棱都是兩個(gè)面的公共邊，所以，正二十面體的棱數(shù)為，頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.由圖象可知，正二十面體的每個(gè)頂點(diǎn)截角后為一個(gè)正五邊形，即每個(gè)頂點(diǎn)處增加了5條棱；原來(lái)的30條棱數(shù)量不變，所以，足球截面體的棱數(shù)為.故選：B.6.已知某比賽中運(yùn)動(dòng)員五輪的成績(jī)互不相等，記為，平均數(shù)為，隨機(jī)刪去其任一輪的成績(jī)，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，對(duì)新數(shù)據(jù)和原數(shù)據(jù)，下面說(shuō)法正確的是（

）A.兩組數(shù)據(jù)的極差不可能相等B.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能相等C.若，則兩組數(shù)據(jù)的方差不可能相等D.若，兩組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)可能相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、方差、百分位數(shù)的求法，通過(guò)舉反例或?qū)τ?jì)算公式、所得數(shù)據(jù)的分析判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A，若隨機(jī)刪去任一輪的成績(jī)，恰好不是最高成績(jī)和最低成績(jī)，此時(shí)新數(shù)據(jù)的極差等于原數(shù)據(jù)的極差，A錯(cuò)誤；B，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，若隨機(jī)刪去的成績(jī)是，此時(shí)新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，B錯(cuò)誤；C，若，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，根據(jù)方差的計(jì)算公式，分子不變，分母變小，此時(shí)方差會(huì)變大，C正確D，在按從小到大的順序排列的個(gè)數(shù)據(jù)中，此時(shí)原數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，刪去一個(gè)數(shù)據(jù)后的個(gè)數(shù)據(jù)，按從小到大的順序排列，可得，此時(shí)新數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)，即或，而，則，顯然新數(shù)據(jù)的分位數(shù)不等于原數(shù)據(jù)的分位數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：C7.已知圓：和圓：，若點(diǎn)在兩圓的公共弦上，則的最小值為（

）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】由兩圓方程可得公共弦方程，由點(diǎn)在弦上有，進(jìn)而利用基本不等式求最小值即可.【詳解】圓：和圓：兩個(gè)方程相減，即可得到兩圓的公共弦：，又點(diǎn)在兩圓的公共弦上，即，則當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為

故選：D.8.如圖，在直角中，，，點(diǎn)是邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)邊反射后又回到點(diǎn)，若光線經(jīng)過(guò)的重心，則的面積等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合光的反射原理，依次求出點(diǎn)關(guān)于直線，軸的對(duì)稱點(diǎn)，并由四點(diǎn)共線，即可得到直線的方程，進(jìn)而解出點(diǎn)的坐標(biāo)并求得線段的長(zhǎng)度，再運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)到直線的距離，最后代入三角形的面積公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，則，所以直線的方程為，的重心為.設(shè)點(diǎn)，其中，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，滿足，解得，即，易得點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，由光的反射原理可知四點(diǎn)共線，直線的斜率，所以直線的方程為，由于直線經(jīng)過(guò)的重心，代入得，化簡(jiǎn)得或（舍去），故點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，所以，又點(diǎn)到直線的距離為，所以.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列四個(gè)命題中正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的2倍的直線的方程為B.向量是直線的一個(gè)方向向量C.若直線與平行，則與的距離為D.圓與圓有兩條公切線【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出直線方程，求截距，列出方程組求解判斷A，根據(jù)直線方向向量的概念判斷B，利用兩平行線間的距離公式判斷C，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：由題意可知直線斜率存在且不為，設(shè)直線方程為，令解得，令解得，因?yàn)樵撝本€在軸上的截距是在軸上截距的倍，所以，解得或，所以直線方程為或，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：直線的斜率為，方向向量為，當(dāng)時(shí)，方向向量為，B正確；選項(xiàng)C：因?yàn)橹本€與平行，所以，由得，則直線與直線之間的距離，C正確；選項(xiàng)D：由題意圓圓心為，半徑，圓圓心為，半徑，因?yàn)?，，所以兩圓相交，有且僅有兩條公切線，D正確；故選：BCD10.在學(xué)習(xí)了解三角形的知識(shí)后，為了鍛煉實(shí)踐能力，某同學(xué)搞了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng)他位于河?xùn)|岸，在靠近河岸不遠(yuǎn)處有一小湖，他于點(diǎn)處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)位于點(diǎn)的南偏西的方向上，由于受到地勢(shì)的限制，他又選了點(diǎn)，，，使點(diǎn)，，共線，點(diǎn)位于點(diǎn)的正西方向上，點(diǎn)位于點(diǎn)的正東方向上，測(cè)得，，，，并經(jīng)過(guò)計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)，則其中正確的是（）A. B.的面積為C. D.點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向上【答案】AC【解析】【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；對(duì)于，先求出，，，再根據(jù)，，即可判斷；對(duì)于，根據(jù)三角形的面積公式求解即可，即可判斷；對(duì)于，在中，由正弦定理，即可判斷；對(duì)于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易知，即可判斷．【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，點(diǎn)位于點(diǎn)的南偏西的方向上，所以，，，又，，，，在，中，，，所以，故A正確；對(duì)于，的面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正確；對(duì)于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易知，所以，故D錯(cuò)誤，故選：．11.如圖，圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，為底面圓的直徑，球與母線，分別切于點(diǎn)，.若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為底面圓的一條直徑（與不重合），則下列說(shuō)法正確的是（）A.球的表面積為B.圓錐的側(cè)面積為C.四面體的體積的取值范圍是D.若為球面和圓錐側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，正內(nèi)切圓即為球的截面大圓，又正的邊長(zhǎng)為2，求出球的半徑，得到球的表面積；B選項(xiàng)，利用圓錐側(cè)面積公式進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，四面體被平面截成體積相等的兩部分，設(shè)到平面的距離為，求出正三角形的邊長(zhǎng)和面積，求出；D選項(xiàng)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，可得，故，因此，由均值不等式得到，故D正確.【詳解】A選項(xiàng)，連接，等邊三角形內(nèi)切圓即為球的截面大圓，球心在線段上，又等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，所以，，則球的半徑，所以球的表面積，故A正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題意可得四面體被平面截成體積相等的兩部分，設(shè)到平面的距離為，球的半徑，三角形為等邊三角形，設(shè)其邊長(zhǎng)為，則，故，故三角形的面積為，即，故C正確；D選項(xiàng)，依題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為，，故，是邊，的中點(diǎn)，可得，，，則有，故，又，故，即，因此，由均值不等式，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故D正確.故選：ACD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則_____.【答案】或【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，兩點(diǎn)到直線的距離相等，所以有或，解得或.故答案為：或13.如圖，在中，已知邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，則的余弦值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的加減法運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】由題可得，，，所以，，，所以，故答案為:.14.在東京奧運(yùn)會(huì)乒乓球男子單打決賽中，中國(guó)選手馬龍戰(zhàn)勝隊(duì)友樊振東，奪得冠軍．乒乓球決賽采用7局4勝制．在決勝局的比賽中，先得11分的運(yùn)動(dòng)員為勝方，但打到10平以后，先多得2分者為勝方．在10∶10平后，雙方實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個(gè)球．若在決勝局比賽中，馬龍發(fā)球時(shí)馬龍得分的概率為，樊振東發(fā)球時(shí)馬龍得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在雙方10∶10平后，馬龍先發(fā)球，則雙方戰(zhàn)至的概率為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】分析雙方戰(zhàn)至?xí)r后四局的具體過(guò)程，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求概率可得結(jié)論.【詳解】記甲為馬龍，乙為樊振東，在比分為后甲先發(fā)球的情況下，甲以贏下此局分兩種情況：①后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為：.②后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為，，乙以贏下此局分兩種情況：③后四球勝方依次為乙甲乙乙，概率為：④后四球勝方依次為甲乙乙乙，概率為，所以，所求事件概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行營(yíng)銷形式，某直播平臺(tái)有1000個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示，為了更好地服務(wù)買賣雙方，該直播平臺(tái)打算用分層抽樣的方式抽取80個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢交流．（1）應(yīng)抽取小吃類商家多少家？（2）在問(wèn)詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的80個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率直方圖如圖②所示．①估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的第75百分位數(shù)；②若將平均日利潤(rùn)超過(guò)480元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)質(zhì)商家”的個(gè)數(shù)．【答案】（1）28家（2）①487.5元；②280【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合圖①求解即可；（2）①先根據(jù)頻率和為1求出，然后列方程求解第75百分位數(shù)，②根據(jù)頻率分布直方圖求出平均均日利潤(rùn)超過(guò)480元的頻率，然后乘以1000可得答案.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)分層抽樣知：應(yīng)抽取小吃類家；【小問(wèn)2詳解】①根據(jù)題意可得，解得，設(shè)75百分位數(shù)為x，因?yàn)?，，所以，解得，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的75百分位數(shù)為487.5元．②，所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為280．16.已知圓C：．（1）過(guò)點(diǎn)向圓C作切線l，求切線l的方程；（2）若Q為直線m：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q向圓C作切線，切點(diǎn)為M，求的最小值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）按斜率存在和不存在兩種情形分類求解，斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，由圓心到直線的距離等于半徑求得參數(shù)值；（2）確定直線與圓相離，由切線長(zhǎng)公式最小即可，只要求得圓心到直線的距離（為最小值）即可得切線長(zhǎng)的最小值．【小問(wèn)1詳解】若切線l的斜率不存在，則切線l的方程為．若切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程為，即．因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以圓心到l距離為2，即，解得，所以切線l的方程為，即．綜上，切線l方程為或．小問(wèn)2詳解】圓心到直線的距離為，直線m與圓C相離，因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，有最小值．當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，所以的最小值為．17.在三棱柱中，已知，，點(diǎn)在底面的投影是線段的中點(diǎn).（1）證明：在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，并求出的長(zhǎng)；（2）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直性質(zhì)以及線面垂直判定定理證明可得結(jié)論，再利用三角形相似可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系分別求得兩平面的法向量，利用面面角的向量求法計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，在中，作于點(diǎn)；因?yàn)?，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以；因?yàn)榭傻?，又，平面，所以平面；因?yàn)槠矫?，所以，而，平面，可得平面；易知，，又∽，可得，即；即在?cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，且；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，由，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為；由（1）的平面的一個(gè)法向量為，又設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得；可得即為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，因此可得，所以平面與平面夾角的正弦值為.18.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）若，，求邊上的角平分線長(zhǎng)；（2）若為銳角三角形，點(diǎn)為的垂心，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)平方關(guān)系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求出；利用余弦定理求出，再由等面積法計(jì)算可得答案；（2）延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，設(shè)，分別求出、，再根據(jù)三角恒等變換化，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，，所以，即，解得，設(shè)邊上的角平分線長(zhǎng)為，則，即，即，解得，即邊上的角平分線長(zhǎng)為；【小問(wèn)2詳解】延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，設(shè)，所以，在中，在中，，，所以，在中，同理可得在中，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即的取值范圍?19.在平面直角坐標(biāo)系中，圖形上任意兩點(diǎn)間的距離若有最大值，將這個(gè)最大值記為對(duì)于點(diǎn)和圖形給出如下定義：點(diǎn)是圖形上任意一點(diǎn)，若，兩點(diǎn)間的距離有最小值，且最小值恰好為，則稱點(diǎn)為圖形的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.（1）如圖1，圖形是矩形，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出的值.在點(diǎn)，，，中，哪些點(diǎn)為矩形的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”？（2）如圖2，圖形是中心在原點(diǎn)的正方形，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為若直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為正方形的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求的取值范圍；（3）已知點(diǎn)，圖形是以為圓心，1為半徑的若線段上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求的取值范圍.【答案】（1），是關(guān)聯(lián)點(diǎn)；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先求出，再分別求出，，，到矩形中的點(diǎn)的距離最小值，根據(jù)定義判斷即可；（2）根據(jù)圖形是中心在原點(diǎn)的正方形，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，寫(xiě)出，，的坐標(biāo)，同時(shí)得到正方形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線長(zhǎng)，從而得到，根據(jù)直線與對(duì)角線平行，設(shè)，