專題強化課三圓周運動的臨界極值問題鏈接高考本專題在高考中常以選擇題或計算題的形式出現(xiàn),具有一定的綜合性方法規(guī)律關(guān)鍵能力三種能力:理解能力、邏輯推理能力、分析綜合能力考點一水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題【核心要點】模型規(guī)律向心力公式Fn=mv2r=mω2r=m向心力來源做勻速圓周運動的物體所受的合力完全提供向心力過程分析向心力由靜摩擦力提供向心力由靜摩擦力和繩的拉力提供【典例剖析】【典例1】(多選)(2025·合肥模擬)如圖甲所示,兩個完全相同的物塊A和B(均可視為質(zhì)點)放在水平圓盤上,它們分居圓心兩側(cè),用不可伸長的輕繩相連。兩物塊質(zhì)量均為1kg,與圓心距離分別為RA和RB,其中RA<RB且RA=1m。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,當(dāng)圓盤以不同角速度ω繞軸OO'勻速轉(zhuǎn)動時,繩中彈力FT與ω2的變化關(guān)系如圖乙所示,重力加速度g取10m/s2。下列說法正確的是()A.物塊與圓盤間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5B.物塊B與圓心距離為RB=2mC.當(dāng)角速度為1rad/s時,圓盤對A的靜摩擦力指向圓心D.當(dāng)角速度為2rad/s時,A【解析】選B、D。角速度較小時,物塊各自受到的靜摩擦力f充當(dāng)向心力,繩中無拉力。根據(jù)牛頓第二定律得f=mω2R,因為RA<RB,所以物塊B與圓盤間的靜摩擦力先達到最大值,隨著角速度增大,輕繩出現(xiàn)拉力,拉力FT和最大靜摩擦力的合力充當(dāng)向心力。對物塊B分析FT+μmg=mω2RB,則FT=mω2RB-μmg,根據(jù)圖像中斜率和截距的數(shù)據(jù)可得mRB=k=10.5kg·m2,-μmg=b=-1N,解得RB=2m,μ=0.1,A錯誤,B正確;當(dāng)ω=1rad/s時,由上述方程得繩子中拉力大小FT=1N,再對A分析,由牛頓第二定律得FT+f=mω2RA,解得f=0,C錯誤;當(dāng)A恰好要相對圓盤發(fā)生滑動時,其摩擦力為最大值且方向沿半徑向外,對A分析有FT-μmg=mω'2RA,此時對B分析有FT+μmg=mω'2RB,聯(lián)立解得ω'=強化訓(xùn)練[強化訓(xùn)練](2024·三明模擬)如圖,兩瓷罐P、Q(可視為質(zhì)點)放在水平圓桌轉(zhuǎn)盤上,質(zhì)量分別為m、2m,與轉(zhuǎn)軸OO'的距離分別為R、2R,與轉(zhuǎn)盤間的動摩擦因數(shù)均為μ。若轉(zhuǎn)盤從靜止開始緩慢地加速轉(zhuǎn)動,P、Q與轉(zhuǎn)盤均保持相對靜止,用ω表示轉(zhuǎn)盤的角速度,則()A.當(dāng)ω增大時,P比Q先開始滑動B.P、Q未滑動前所受的摩擦力大小相等C.P開始滑動時,臨界角速度為ω=μgD.Q開始滑動時,臨界角速度為ω=μg【解析】選C。P、Q未滑動前所受的摩擦力分別為fP=mω2R,fQ=2m·ω2·2R=4mω2R,P、Q未滑動前所受的摩擦力大小不相等,B錯誤;根據(jù)牛頓第二定律得μmg=mω2R,解得ω=μgR,P、Q開始滑動時的角速度分別為ωP=μgR,ωQ=μg2R,當(dāng)ω增大到μg2R時,Q先開始滑動考點二豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題【核心要點】1.豎直面內(nèi)圓周運動“輕繩模型”模型最高點無支撐力學(xué)方程mg+FT=mv過程分析小球過最高點的速度從gr不斷增大由mg=mv2r得2.豎直面內(nèi)圓周運動“輕桿模型”模型最高點有支撐力學(xué)方程mg±FN=mv過程分析小球過最高點的速度從0不斷增大小球恰能做圓周運動的臨界速度v臨=0【典例剖析】角度1輕繩模型【典例2】(2024·撫州模擬)如圖所示,雜技演員表演“水流星”節(jié)目。一根長為L的細繩兩端系著盛水的杯子(繩長遠大于杯子的大小),演員握住繩中間,隨著演員的掄動,杯子在豎直平面內(nèi)做圓周運動,杯子運動中水始終不會從杯子中灑出,重力加速度為g,每個杯子質(zhì)量為m1,里面水的質(zhì)量為m2。則:(1)杯子運動到最高點的角速度ω至少是多少?(2)杯子在最低點的角速度ω'=10gL時,關(guān)鍵點撥解答本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)研究對象。【解析】(1)對最高點杯中的水研究,杯子運動到最高點水不會從杯子中灑出的角速度ω取最小值時,水的重力大小恰好等于水做圓周運動的向心力,由牛頓第二定律則有m2g=m2ω2r且r=L解出ω=2(2)對最低點的杯子(包括里面的水)研究,由牛頓第二定律則有F-(m1+m2)g=(m1+m2)ω'2r解得F=6(m1+m2)g答案:(1)2gL(2)6(m1+m2角度2輕桿模型【典例3】教材習(xí)題改編(必修二第六章復(fù)習(xí)與提高B組T4)如圖所示,長L的輕桿兩端分別固定著小球A、B,桿中心O有水平方向的固定轉(zhuǎn)軸,桿繞轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做角速度為ω的勻速圓周運動。小球A的質(zhì)量為m,重力加速度為g。(1)小球A運動到水平位置時,求桿對球A的作用力大小F1;(2)小球A運動到最高點時,求桿對球A的作用力大小F2;(3)若輕桿角速度為2ω,小球A運動到最低點時,桿對轉(zhuǎn)軸的作用力剛好為零,求小球B的質(zhì)量mB。關(guān)鍵點撥解答本題的關(guān)鍵是分析“三個位置”的受力。【解析】(1)小球A運動到水平位置時,桿對球的豎直方向分力Fy=mg桿對球的水平方向分力Fx=mω2L桿對球A的作用力大小F1=F解得F1=m(2)小球A運動到最高點時,根據(jù)牛頓第二定律mg±F2=mω2L解得F2=|mω2L桿對球A的作用力大小為|mω2L(3)小球A運動到最低點時,根據(jù)牛頓第二定律F3-mg=m·(2ω)2·L由于桿對轉(zhuǎn)軸的作用力剛好為零,則小球B對桿的力與小球A對桿的力等大反向,對小球B有F3+mBg=mB·(2ω)2·L解得mB=2ω答案:(1)m(2)|mω2L2-mg|考點三斜面內(nèi)圓周運動的臨界問題【核心要點】模型向心力公式Fn=mv2r=mω2r=m過程分析圓盤以恒定的角速度轉(zhuǎn)動,物塊從最高點運動至最低點物塊在最高點,所受摩擦力可能向上,可能向下,也可能為0;物塊在最低點所受摩擦力一定向上。若f向上,有mgsinθ-f=mω2r若f向下,有mgsinθ+f=mω2r若f=0,有mgsinθ=mω2r在最低點有f-mgsinθ=mω2r【典例剖析】【典例4】(2024·安康模擬)如圖所示,一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定轉(zhuǎn)軸以恒定角速度ω勻速轉(zhuǎn)動,盤面上離轉(zhuǎn)軸2m處有一小物體(可視為質(zhì)點)與圓盤始終保持相對靜止。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,盤面與水平面間的夾角為30°,g取10m/s2,則()A.若ω越大,則小物體在最高點處受到的摩擦力一定越大B.小物體受到的摩擦力不可能背離圓心C.若小物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為32,則ω的最大值是5D.若小物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為32,則ω的最大值是2.關(guān)鍵點撥解答本題要做到“兩個明確”:【解析】選C。小物體在最高點時,由牛頓第二定律得mgsin30°+f=mω2r,解得ω=mgsin30°+fmr。當(dāng)f=0時,ω=gsin30°r=10×0.52rad/sf<0,即摩擦力方向背離圓心,ω越大,則小物體受到的摩擦力越小;當(dāng)ω>52