名校2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若等比數(shù)列的前n項和，則r的值為（）A. B.C. D.2．計算復(fù)數(shù)：（）A. B.C. D.3．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A B.C. D.4．已知點是橢圓的左右焦點，橢圓上存在不同兩點使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．若圓C與直線：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.6．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則A. B.C. D.7．已知為等差數(shù)列，為其前n項和，，則下列和與公差無關(guān)的是（）A. B.C. D.8．已知拋物線上一點M與焦點間的距離是3，則點M的縱坐標(biāo)為（）A.1 B.2C.3 D.49．直線的傾斜角為（）A.0 B.C. D.10．已知橢圓的左、右焦點分別為，為軸上一點，為正三角形，若，的中點恰好在橢圓上，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.11．已知動點的坐標(biāo)滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.12．?dāng)€（cuán）尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣或園林式建筑．下圖是一頂圓形攢尖，其屋頂可近似看作一個圓錐，其軸截面（過圓錐軸的截面）是底邊長為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)拿娣e約為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為____________.14．已知圓的半徑為3，，為該圓的兩條切線，為切點，則的最小值為___________.15．已知直線和互相平行，則實數(shù)的值為___________.16．若橢圓的長軸是短軸的2倍，且經(jīng)過點，則橢圓的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，，．?dāng)?shù)列的前項和為，且，（1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和，是否存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由18．（12分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，為整數(shù)，且當(dāng)時，恒成立，求的最大值．（其中為的導(dǎo)函數(shù)．）19．（12分）在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面EDC所成的二面角的正弦值20．（12分）如圖，第1個圖形需要4根火柴，第2個圖形需要7根火柴，，設(shè)第n個圖形需要根火柴（1）試寫出，并求；（2）記前n個圖形所需的火柴總根數(shù)為，設(shè)，求數(shù)列的前n項和21．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個條件中任選一個，填在下面的橫線上，并解答若______，判斷這兩個圓的位置關(guān)系；（2）若，求直線被圓C截得的弦長注：若第（1）問選擇兩個條件分別作答，按第一個作答計分22．（10分）已知圓C的圓心在直線上，圓心到x軸的距離為2，且截y軸所得弦長為（1）求圓C的方程；（2）若圓C上至少有三個不同的點到直線的距離為，求實數(shù)k的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用成等比數(shù)列來求得.【詳解】依題意，等比數(shù)列的前n項和，，，所以.故選：B2、D【解析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡可得結(jié)論.【詳解】故選：D.3、D【解析】根據(jù)拋物線方程求出，進(jìn)而可得焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程.【詳解】由可得，所以焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，故選：D.4、C【解析】先設(shè)點，利用向量關(guān)系得到兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合點在橢圓上，代入方程，消去即得，根據(jù)題意，構(gòu)建的齊次式，解不等式即得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由得，，，即，由在橢圓上，故，即，消去得，，根據(jù)橢圓上點滿足，又兩點不同，可知，整理得，故，故.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：圓錐曲線中離心率的計算，關(guān)鍵是根據(jù)題中條件，結(jié)合曲線性質(zhì)，找到一組等量關(guān)系（齊次式），進(jìn)而求解離心率或范圍.5、B【解析】首先求出兩平行直線間的距離，即可求出圓的半徑，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出的值，即可得解；【詳解】解：因為直線：和：的距離，由圓C與直線：和：都相切，所以圓的半徑為，又圓心在軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以或（舍去），所以圓心坐標(biāo)為，故圓的方程為；故選：B6、B【解析】設(shè)，則，若函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點即有正根，當(dāng)有成立時，顯然有，此時．由，得參數(shù)a的范圍為．故選B考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值7、C【解析】依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，所以，，，，故選：C8、B【解析】利用拋物線的定義求解即可【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，因為拋物線上一點M與焦點間的距離是3，所以，得，即點M的縱坐標(biāo)為2，故選：B9、D【解析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】由題的斜率，故傾斜角的正切值為，又，故.故選：D.10、A【解析】根據(jù)題意得，取線段的中點，則根據(jù)題意得，，根據(jù)橢圓的定義可知，然后解出離心率的值.【詳解】因為為正三角形，所以，取線段的中點，連結(jié)，則，所以，得，所以橢圓的離心率.故選：A.【點睛】求解離心率及其范圍的問題時，解題的關(guān)鍵在于畫出圖形，根據(jù)題目中的幾何條件列出關(guān)于，，的齊次式，然后得到關(guān)于離心率的方程或不等式求解11、C【解析】此方程表示點到點的距離與到點的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.12、B【解析】由軸截面三角形，根據(jù)已知可得圓錐底面半徑和母線長，然后可解.【詳解】軸截面如圖，其中，，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由空間向量的模的計算求得向量的模，再由單位向量的定義求得答案.【詳解】解：因為，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為，故答案為：.14、【解析】設(shè)（），，則，，，根據(jù)數(shù)量積的定義和余弦的二倍角公式結(jié)合基本不等式即可求解詳解】如圖所示，設(shè)（），，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，∴的最小值是.故答案為：15、【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出實數(shù)的值.詳解】由直線和互相平行，得，即.故答案為：.16、【解析】分類討論焦點在軸與焦點在軸兩種情況.【詳解】因為橢圓經(jīng)過點，當(dāng)焦點在軸時，可知，，所以，所以，當(dāng)焦點在軸時，同理可得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）利用數(shù)列為等比數(shù)列，將已知的等式利用首項和公比表示，得到一個方程組，求解即可得到首項和公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求出；將已知的等式變形，得到數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求出，再結(jié)合數(shù)列的第項與前項和之間的關(guān)系進(jìn)行求解，即可得到；（2）先利用等比數(shù)列求和公式求出，從而得到的表達(dá)式，然后利用裂項相消求和法求出，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，利用等比中項、等差中項以及進(jìn)行化簡變形，得到假設(shè)不成立，故可得到答案【詳解】（1）因為數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)首項為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因為，所以，所以，所以，由，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為1，故，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，也適合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，則有，所以，則，即，因為，所以，即，所以，所以，則，所以，則，所以，即，所以，這與已知的，，互不相等矛盾，故不存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列【點睛】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.18、（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）的定義域為，，分和兩種情況解不等式和即可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意可得對于恒成立，分離可得，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可求解.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，對于恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由可得；由可得；此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（Ⅱ）若，由可得，因為，所以，所以所以對于恒成立，令，則，，令，則對于恒成立，所以在單調(diào)遞增，因為，，所以在上存在唯一零點，即，可得：，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以的最大值為.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，由（或）解出相應(yīng)的的范圍，對應(yīng)的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；（2）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論的正負(fù)，由符號確定在子區(qū)間上的單調(diào)性.19、（1）見解析；（2）.【解析】(1)連接，，連接，證明CE∥即可；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面EDC的法向量，利用向量法求二面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，連接，，連接，∵BC∥且BC＝，∴四邊形是平行四邊形，∴∥且，∵E是中點，G是中點，∴∥CG且，∴四邊形是平行四邊形，∴∥CE，∵平面，CE平面，∴CE∥平面；【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，??；設(shè)平面EDC的法向量為，則，取，則；設(shè)平面與平面EDC所成的二面角的平面角為α，則，∴20、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)題設(shè)找到規(guī)律寫出，由等差數(shù)列的定義求.（2）由等差數(shù)列前n項和求，再利用裂項相消法求.【小問1詳解】由題意知：，，，，可得每增加一個正方形，火柴增加3根，即，所以數(shù)列是以4為首項，以3為公差的等差數(shù)列，則.【小問2詳解】由題意可知，，所以，則，所以，，即21、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進(jìn)行比較即可；(2)根據(jù)點到直線的距離公式，先計算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長的一半之間的關(guān)系求解.【小問1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C的圓心為，半徑為因為兩圓的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因為兩圓的圓心