第1講與相交有關(guān)輟念及平行線的判定

考點(diǎn)?方法?破譯ZFOC=2ZAOCAZEOF=ZEOCFOC=2ZBOC+2ZAOC=

1.了解在平面內(nèi)，兩條直線的兩種位置關(guān)系：相交與平行.1ltBOC+±AOC)

2.掌握對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂直、平行、內(nèi)出角、中旁內(nèi)角的定義，并能用圖形成2XVZBOC-ZAOC=180'/.ZEOF=2X180,-90"

幾何符號(hào)龍示它們(2JZDOG的余角是；JCOF、ZAOF.ZBOE的撲角是；ZAOE.

3.掌樹直城平行的條件，井能根據(jù)出線平行的條件說明兩條在線的位置關(guān)系.【變式恩組】

經(jīng)典?考即析01.如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OA平分/EOC.旦/ECC=100°,

則的度數(shù)是（）

【例1】如圖.三條直城AB、CD.EF相交于點(diǎn)O,一共構(gòu)或哪幾對(duì)ENBOD

對(duì)頂角？■"共溝成哪幾對(duì)鄰補(bǔ)角？<

【解法指導(dǎo)】\

⑴對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角是兩條衽線所形成的圖角.）

⑵對(duì)頂用：有一?個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩邊的/

反向延長線.（X

⑶鄰補(bǔ)角；兩個(gè)角有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.F

有6對(duì)對(duì)頂角.12對(duì)鄰補(bǔ)角.

【變式題組】

如右圖所示，直線、、相交于、則《第I通圖）（第2胞圖）

01.ABCDEFPQ.R,:C\02.（杭州）已知N\N2-N3=62",則N4=.

⑴/ARC的龍頂角是鄰補(bǔ)角是.\

【例3】加圖.直.線11、I2相交千點(diǎn)。,A.B分別是II、12上的

⑵中的幾對(duì)對(duì)雙角，鄰補(bǔ)卯？

02.當(dāng)兩條直線相交于一點(diǎn)收，共有2對(duì)對(duì)頂角：力/點(diǎn)，試用三角尺完成下列作圖：

當(dāng)三條直線相交于一點(diǎn)時(shí),共有6對(duì)對(duì)頂角：/⑴羥過點(diǎn)A兩直線12的垂線.

⑵畫出表示點(diǎn)B到直線11的垂線段.

當(dāng)四條直線相交于一點(diǎn)時(shí),共有12對(duì)對(duì)頂角.f

【解法拈導(dǎo)】垂線是一條自線.垂城

：當(dāng)街.條直線相交于一點(diǎn)時(shí)共有對(duì)頂角.

M100段是一條線段.

【例2】如圖所示，點(diǎn)O是直統(tǒng)AB上一點(diǎn)，OE、OF分別平分/BOC、

【變式題組】

ZAOC.

01.P為直線I外一點(diǎn)，A、B.C

⑴求NEOF的度數(shù):

{2）寫出NBOE的余角及補(bǔ)角.F\C是直線I上三點(diǎn),且PA=4cm.PB=5cm.PC=6cm.則點(diǎn)P

【解法指導(dǎo)】解這類求用大小的問遨.要根據(jù)所涉及的角的定義.\到百線I的距離為（）

//A.4cmB.5cmC.不大于4cmD.不小于6cm

以及各角的數(shù)鬢關(guān)系,把它們轉(zhuǎn)化為代數(shù)式從而求解：V

02如圖，?輛汽車在直跳形的公路AB上山A向日行駛,M、

-A0BN為位于公路兩惻的村莊：

[??]（DVOE.OF平分/BOC、ZAOCAZEOC=2ZBOC.

⑴設(shè)汽車行駛到路AB上點(diǎn)P的位置時(shí)距禹村莊近.行

駛到AB上點(diǎn)Q的位徨時(shí)，距離村莊N以近，請(qǐng)?jiān)趫D中的公路上分別畫出點(diǎn)P、

Q的位置.

03.如圖，已知AB1BC于B,。81￡8于8.JIH/CBE：ZABD-1：2.請(qǐng)

M?作出NCBE的對(duì)頂角并求其度數(shù).

⑵當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛的過程中，在的路上挹離M村越來越

近..在[015]如圖，指出下列各組角型哪兩條直我被哪一條直組所裁而褥到的,并說

的路上距離村莊N一米越近,而距禹村莊M越來越遠(yuǎn).出它們的名稱：

(MU如圖,亙線AB、CD相交于點(diǎn)O.OE_LCD.OF一AB.ZDOF-65'.Z1和N2：

求/BOE和NAOC的度數(shù).E

【解法拈導(dǎo)】圖形的定義現(xiàn)可以作為判定圖形的依據(jù),也/1和/3：

可以作為該圖形具備的性項(xiàng),由圖可得：ZAOF=90fl.,

°F1AB0--------------*

Z1和N6：

卜/2和/6：

t變式題組】/2和N4

01.如圖，若EO_LAB于O,自及CD過點(diǎn)。，ZEOD：ZE06=1：3.求NAOC、Z3A1Z&

ZAOE的度氟_Z3和N4：

/【解法指學(xué)】正確沿認(rèn)同位角、內(nèi)錯(cuò)用、問旁內(nèi)角的.思路是：首先

02.如圖，。為直戲AB上一點(diǎn)，ZBOC=3ZA0C.0C平分NA0D.°---------C弄清所判斷的是哪兩個(gè)角，其次是找到這兩個(gè)向公共邊所在的直級(jí)

即赦踐，其余兩條邊所在的且找就是被裁的兩條過線，及后確定它

(D求NAOC的度數(shù)：們的名稱.

⑵試說明0D與AB的位置關(guān)系.

E

【變式鹿組】

B

01.如圖，平行直觀AB.CD4相交百戲EF.GH相交，劇中的同旁內(nèi)角共有⑶由NACD=NBAC可推兩AB〃DC：根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩百線平行.

（）【變式題組】

A.4對(duì)8.8對(duì)C.12對(duì)D.16財(cái)01.如圖,。埋填空.

(DVZA=Z（已知）

J.AC〃ED(）

02.如圖,找出圖中標(biāo)出的各角的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)前.(2)VZC=Z（已如）

.-.AC/7ED(

(3)V/A=/（已知）

/.AB^DF(）

02.如圖，AD平分NBAC.EF平分NDEC.且NrN2.試說明DE與AB

的位置關(guān)系.

解：.；AD是NBAC的平分線（己知）

.'.ZBAC=2Z1（角平分戰(zhàn)定義》

又2EF平分NDEC（已知）

)

又=（己知）

)

DE

⑴/CBD=/ADB：

(2)ZBCDtZADC=180*

(3)ZACD-ZBAC/

【解法指導(dǎo)】弱中有即即/03.如圖，已知AE平分NCAB.CE平分/ACD.ZCAE+ZACE

=90',求證：AB.yCD.

用.有“/”即有內(nèi)錯(cuò)角.

04.如圖，己知NAEC=/ACB,BE平分NABC,

【解法指導(dǎo)】⑴山NCBD/ADB,可推得AD4BC：根據(jù)內(nèi)情角相等,兩宜線CD平分NACB.ZEBF-ZEFB.求證:

平行.CDVEF.

⑵由NBCD，NADC=180’.可推得AD//BC：根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩百.線平

行.D,

a4〃a5……那么al與必10的位置關(guān)系是

03.己知n（n>2）個(gè)點(diǎn)P1,P2.P3…Pn.在同一平面內(nèi)沒有任何三點(diǎn)在同一直線

上，設(shè)Sn表示過這幾個(gè)點(diǎn)中的任意兩個(gè)點(diǎn)所作的所有H規(guī)的條數(shù)，顯然：S2=1,

S3=3.S4=6..,.S5=10-ftiJSn=.

演縛.鞏固?反饋提高

01.如圖，NEAC=/ADB=90°.下列說法正確的是（）

【例7】如圖⑴,平面內(nèi)有六條兩兩不平行的直線.試證：在所有的交角中.至A.a的氽角只有NBB.a的鄰補(bǔ)角是NDAC

少有一個(gè)角小

T31-.

A.ZAMFB.ZBMFC.ZENCD.ZEND

圖⑵03.下列語句中正確的是（）

A,在同一平面內(nèi)，一條直線只有一條垂戲

B.過宜線上一點(diǎn)的酉線只有一條

【解法指導(dǎo)】如圖⑵,我們可以將所有的宜城移動(dòng)后，使它門相交于同一點(diǎn).此

C.過直線上一點(diǎn)旦除直F這條在線的直線仃且只有一條

時(shí)的圖形為圖⑵.

D.垂線段.就是點(diǎn)到五線的距斑

證明:假設(shè)圖⑵中的12個(gè)角中的埒一個(gè)角都不小于31?

04.如圖，ZBAC=904,AD1BCFD,則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)行（）

購12X31°=372°>360°

①AB_LAC②AD與AC互相垂直③點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB④線段AB

這與一周角等于360”矛盾

的K度是點(diǎn)B到AC的距點(diǎn)⑤垂線段BA是點(diǎn)B到AC的距離?AD>BD

所以這12個(gè)角中至少有一個(gè)角小于31,

A.0B.2C.4D.6

【變式題組】

01.平而內(nèi)有18條兩兩不平行的直線,試證：在所有的交角中至少行一個(gè)角小于

05.點(diǎn)A、B.C是直線I上的三點(diǎn)，點(diǎn)P是總規(guī)I外一點(diǎn)，且PA=4cm,PB=

11".

5cm.PC=6cm,WIAP到直戰(zhàn)I的距圈是（）

A.4cmB.5cmC.小干4cmD.不大千4cm

06.將一副直角三角板按圖所示的方法旋轉(zhuǎn)《宜知頂點(diǎn)垂合），則/QOB-/DOC

02.在同一平田內(nèi)有2010條真我al?a2.….a2010,如果aUa2,a2〃a3,a31a4.

(3)VZA+=180"（己知）

/.AB,7FD.

A--D

D'

14.如圖，請(qǐng)你填上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件

BC8

A1OH

第6題圖第7題圖第9題圖

07.如圖，既形ABCD沿EF對(duì)折，旦NDEF=72“，則/AEG=.

08.在同一平面內(nèi)，若直線al/za2,a2Ia3,a3〃a4,…則alaW.（a1與aW

不重合）

09.如圖所示，真線a、b被直線c所被，現(xiàn)給出下列四個(gè)條件：①/1=N5,②

N1=N7,③N2+N3=180°,@Z4=Z7.其中能判斷a〃b的條件的序號(hào)

是

10.在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有.

11.如圖.已知BE乎分NABD.DE平分NCDB.且NE;NABE，NEDC.試

說明AB〃CD?

—/;

=Z2,那么口線AB與CD的位置關(guān)系如何？「_____________

T培優(yōu)升級(jí)?奧賽檢測(cè)

13.如圖.推理埴空；

01.平面圖上互不重合的三條直戲的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

(1>VZA=(己知)

cA.1,3B.0.1.3C.0.2,3

；.AC〃ED()D

D.0.1.2.3

(2)VZ2=(已知)

02.平面上有10條直線,其中4條是互相平行的,那么這10

；.AC〃ED()

C

B

條百線最多能把平面分成（）部分.

A.60B.55C.50D.4510.在同一平面內(nèi)有9條直線如何安排才能滿足卜面的兩個(gè)條件？

03.平面上有六個(gè)點(diǎn),每?jī)牲c(diǎn)都連成?條直觀，問除了原來的6個(gè)點(diǎn)之外，這些⑴任意兩條直戌都有交點(diǎn)：

直線最多還有（）個(gè)交點(diǎn).⑵總共有29個(gè)交點(diǎn).

A.35B.40D.55第13講平行線的梃質(zhì)及我應(yīng)用

04.如圖，圖上有6個(gè)點(diǎn)，作兩兩連線時(shí)，圓內(nèi)域多有考點(diǎn)?方法?破洋

___________________交點(diǎn).1.掌樨平行線的性成,正確理解平行線的判定與性質(zhì)定理之間的區(qū)別和聯(lián)系：

05.如圖是乂施工隊(duì)一張破損的圖紙,已知a.b是一個(gè)角的兩邊，現(xiàn)在要在圖紙2,初步了解命題,命題的構(gòu)成,真做命即、定理；

上直一條與這個(gè)角的平分線平行的宜線，請(qǐng)你幫助這個(gè)施I：虱的i；H這條平行線，3.靈活運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)斛決地的仃。勺證明，確定兩出線的位置關(guān)系.

并證明你的正確性.感受轉(zhuǎn)化思想在解決數(shù)學(xué)同即中的兄活應(yīng)用.

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】如圖，四邊形ABCD中，AB/7CD.BC〃AD,ZA=38'.

求/C的度數(shù)

［解法指導(dǎo)】

兩條直線平行.同位角相等；

兩條|'|線平彳j.內(nèi)錯(cuò)角相等：

06.平面上三條立線相互間的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).

A.B.1或3C.1或2或3D.不一定是1.2.3平行稅的性質(zhì)是推導(dǎo)角關(guān)系的更要依據(jù)之一，必須正確識(shí)別圖形的后征，看清截

U/.疥你在干間上畫出6條白線（沒的二條共點(diǎn)）使得它們中的拘條H戰(zhàn)都恰好線，識(shí)別用的關(guān)系式關(guān)鍵.

與另三條直線相交，并簡(jiǎn)笊說明畫法？【解】：VAB//CDBC〃AD

.,./A+NB=180。/B?/C=180。（兩條電線平行,同旁內(nèi)向互補(bǔ)）

08.平面上布10條直線.無任何三條交于一點(diǎn).要使它們出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)?怎么，/A=NC：/A=38°二/C=38°

安排才能辦到？

【變式超組】

01.如圖.己知AD，BC.點(diǎn)E在BD的延長線h,若/ADE=155。,則NDBC

的度數(shù)為（)

A.1551B.50'C.45*D.25'

09.如圖，在一個(gè)正方體的2個(gè)面上畫了兩條對(duì)角戲AB.

AC.那么兩條對(duì)角線的夾角等于（）

A.60:B.75sC.90'D.135;

B

D,C

p"D

-------------------2sCA

B（第）CR

15218°（第2也圖）（第3題圖）

02.如圖，已知/ABC/ACB=120°.BO.CO分別/ABC、ZAC3.DE過點(diǎn)

O與BC平行，則NBOC-

03.如圖，已知AB〃MP〃CD,MN平分/AMD,/A=40；/D=50°,求

ZNMP的度數(shù).

（第3遛圖）

02.（安徵》如圖，EL線11〃I2.N1=55。，N2=65。,則23為（）

A.50*B.55°C.60°D.65【例3】如圖，已知/1=/2.ZC=ZD.求證：/A=/F.

03.如圖.已知FC/7AB//DE.Na:ND：ZB=2：3：4.試求Na、ZD.ZB【髀法指導(dǎo)】

的度數(shù).因果轉(zhuǎn)化，綜合運(yùn)用.

逆向思維：要證明NANF,即要證明DF〃AC.

【例2】如圖，已知AB〃CD〃EF,GC1CF,ZB=60°.NEFC=45。，求/BCG暨證明UF〃AC,即要證明ND+NDBC=181T,

的度數(shù).即；NC-NDBC=18（T;要證明NC+NDBC

【解法指導(dǎo)】平行線的性域與對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂直和角平分線△----------

7P=180“即要證明DB〃EC.要證明DB〃EC即要

相結(jié)合.可求各種位置的角的度數(shù),但注通行清角的位置.C證明N1=N3.

【解】?.?AB〃CD〃EF.,.ZB^ZBCDNF=NFCD（兩條直證明：?：/1=/2./2=/3（對(duì)頂用相等）所以/1=/3...DB〃

線平行.內(nèi)情帶相等）又YNB=60。ZEFC=45°.\ZBCD=C—DEC（同位角相等?兩百我平行）.?.NDBC，NC=18（r（兩出線平行，

60。ZFCD=45°又?；GC，CF，NGCF=90。（垂直定\同旁內(nèi)角互撲》VZC-ZD/.ZDBC>ZD=180'；.DF/7AC

理）.,.ZGCD=90°45°=45°AZBCG=60°45°=15°~EF（同旁內(nèi)角,互補(bǔ)兩直線平行》；./A=/F（兩直或平行，內(nèi)錯(cuò)用相

【變式題批】

01.如圖.已知AF/7BC,口AF平分/EAB./B=48。.則/C的的度數(shù)=

±ABJE.DFlABfRACKED.CE平介NACB,求

ZB-40',CN是NBCE的平分線.CM1CN.求:

【例I】如圖，已知EG_LBC,AD1BC.Z1=Z3.

求ut：ADTitZbAC.

【解法指導(dǎo)】抓住即中給出的條件的目的，仔細(xì)分析

條件給我們帶來的結(jié)論.對(duì)于不能直接直接得出結(jié)論

的條件，要準(zhǔn)舶把握住這些條件的意圖.（題目中的:

Z1=Z3>

證明：VEG_BC,AD1BC.,.ZEGC=ZADC=90J

（垂直定義）；.EG〃AD（同位角相等.兩條直線平行）

【例5】已知.如圖，AB/7EF,求證：/ABC+/BCi/CFE=360°

【解法指導(dǎo)】從考慮360。這個(gè)特殊角入手展開聯(lián)想.分析類

比，

聯(lián)想周角.構(gòu)逵兩個(gè)“平角”或構(gòu)造兩組“互補(bǔ)”的用.【變式雙組】

過點(diǎn)C作CD”AB即把己知條件AB//EF聯(lián)系起來，這是關(guān)鍵.01.如圖，AB〃EF,/C=90”，則/a、N0、Ny的關(guān)系是（）

【證明】：過點(diǎn)C作CD〃ABVCD/7AB.-.Z1+/ABC=180°A.Zp=Za*ZyB.N伊Na?Ny=180°

（兩百規(guī)平行，向?yàn)閮?nèi)角互補(bǔ)）又?；AB〃EF,，CD〃EF（平行C.Za+Zp-Zr=90oD.ZP>Zy-Za=90i

:同條X線的兩H線平行）2ZCFE180。（兩n線￥行.

同旁內(nèi)角互補(bǔ)）???ZABC+Z1+Z2+ZCFE=1800+180*360°02.如圖,已知，AB，/CD./ABE和/CDE的平分線相交于點(diǎn)F,ZE=140",

即/ABC-/BCF+/CFE=360°

【變式題組】

01.如圖.已知.AB/7CD.分別探究下面四個(gè)圖形中NAPC和NPAB、ZPCD

的關(guān)系,請(qǐng)你從所得四個(gè)關(guān)系中選出任意一個(gè),說明你探究的結(jié)論的正確性.

結(jié)論：（I）⑵

【例7】如圖,平格t也形ABC,設(shè)府A格動(dòng)到由XV.畫出平移后的三角形A/BQA

【解法指導(dǎo)】抓住平移作圖的“四部曲”——定,找,移，連.

U）定：喘定平移的方向和距離.

⑵找:找出圖形的關(guān)鍵點(diǎn).

⑶移：過關(guān)鍵點(diǎn)作平行且相等的淺段,得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

⑷在：技原圖形取旗逢接對(duì)應(yīng)點(diǎn).

C

【解】①連接AA，’②過點(diǎn)B作AN的平行線I③在I赦取

則點(diǎn)就是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，用同樣的方法作出點(diǎn)

【例6】如圖，已知,AB/7CD.WlZa.Zp,ZY-Ny之川的關(guān)系是BB/=AAAB/B

Na+Ny+Nv-/0=180。AC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C/.連接A/Bf.B/C/.C/A/就得到平移后的三角

［解法指導(dǎo)］矗本圖形人----------78形A/B'C/.

【變式題綱】

PJEH01.如圖，把四邊形ABCD按箭頭所指的方向平移21cm,作出平移后的圖形.

善于從復(fù)雜的圖膨中找到基本圖形.效產(chǎn)本圖形的規(guī)律打開思路.'byF

【豺】過點(diǎn)E中EHZ'AB.過戶.FnFpG》AB.,:AB"EH:.Za:44（兩

直踐平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又???FCG〃AB/.DEH//FG（平行千利?條點(diǎn)4減兩口沌

平行），/2=/3又???AB//CD.-.FG/7CD（平行F同七條直戰(zhàn)的兩直線D平行）

.*.ZV*Z4=180°（兩宜線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.??Na+Ny=Nw-Np=N1

+/3+/4-w-/1-/2=/4+v=180°

02.如圖，已知三角形ABC中.ZC-9O0.BC-4.AC=4.現(xiàn)將/\ABC沿CB方拐120°

向平移到△ABC/的位置，若平移距離為3,求AABC與AA/BC/的由小部分的04.下列金遨中，正確的是（）

A.對(duì)頂角相等8.同位角相等C.內(nèi)情角相等D.同旁內(nèi)

角互補(bǔ)

06.學(xué)用了平行皖后，小微想電過直做外一點(diǎn)對(duì)這條直統(tǒng)的平行處的新方法，是

通過折?張半透明的斷得到的［如圖（1）-（叫

03.原來姑幣社的兩個(gè)立角三角形，將其中一個(gè)三角形沿黃3c方向平移BE的

距離，就得到此圖形，求陰影部分的面積.（單位：理米）

從圖中可知，小坡畫平行觀的依據(jù)有（）

①兩口線平行，同位角相等：②兩11線平行，內(nèi)槌角相等：③同位角相等，兩立