中考數學旋轉相關專題試題集旋轉，作為幾何變換中的重要一員，在中考數學中占據著舉足輕重的地位。它不僅能考察學生對圖形性質的理解，更能體現對空間想象能力和邏輯推理能力的綜合運用。掌握旋轉的核心概念與解題技巧，對于攻克中考幾何難題至關重要。本專題將帶你深入探究旋轉的奧秘，通過典型例題的剖析與實戰(zhàn)演練，助你在中考中應對自如。一、旋轉的基本概念與性質回顧在深入試題之前，我們有必要重溫旋轉的核心要素：1.旋轉中心：圖形繞著轉動的固定點。2.旋轉方向：通常分為順時針和逆時針兩種。3.旋轉角度：圖形上一點與旋轉中心的連線，與旋轉后對應點與旋轉中心連線所成的角，即為旋轉角。旋轉的基本性質是解決一切旋轉問題的基石，務必爛熟于心：*對應點到旋轉中心的距離相等。*對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。*旋轉前、后的圖形全等，即對應線段相等，對應角相等，圖形的形狀和大小不發(fā)生改變。這些性質是我們進行幾何推理、尋找等量關系、構造輔助線的依據。二、典型例題分析與方法提煉（一）基礎概念辨析與簡單計算例1：如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉一定角度得到△ADE，若∠CAE=60°，∠B=70°，且AD⊥BC，求旋轉角的度數。思路點撥：首先，根據旋轉的性質，我們知道旋轉中心是點A，對應點B與D對應，C與E對應。因此，∠BAD和∠CAE都是旋轉角（因為旋轉角是對應點與旋轉中心連線的夾角）。題目已給出∠CAE=60°，所以旋轉角理論上就是60°？但題目又給出了∠B=70°且AD⊥BC，這似乎暗示我們需要驗證或通過另一組對應角來求解，以確保萬無一失。解答過程：∵△ABC繞點A旋轉得到△ADE，∴∠BAD=∠CAE=旋轉角（對應點與旋轉中心連線的夾角為旋轉角）。已知∠CAE=60°，故初步判斷旋轉角為60°。為驗證，我們利用其他條件：AD⊥BC，∴∠ADB=90°。在Rt△ABD中，∠B=70°，∴∠BAD=180°-90°-70°=20°？哎，這里出現了矛盾，說明我們對對應點的判斷可能有誤。重新審視：點C的對應點是E，那么AC的對應邊是AE，所以∠CAE是旋轉角。點B的對應點是D，那么AB的對應邊是AD，所以∠BAD也是旋轉角。因此，∠BAD必須等于∠CAE。那么剛才計算∠BAD=20°是怎么回事？∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∠ABD=70°，∴∠BAD=20°。這說明∠CAE也應該是20°？但題目說∠CAE=60°。哦！我明白了，可能是我畫圖時，點D的位置判斷反了。如果旋轉后AD⊥BC，且∠B=70°，那么∠BAD=20°，所以旋轉角∠BAD=∠CAE=20°。題目中說的“∠CAE=60°”可能是我看錯了，或者題目中的圖形是∠BAE=60°？不，題目是“∠CAE=60°”。這提示我們，必須嚴格按照題目條件來。如果∠CAE=60°，那么∠BAD=60°。則在△ABD中，AB=AD（旋轉性質：對應邊相等），所以△ABD是等腰三角形，∠ABD=∠ADB?！螧AD=60°，∴∠ABD=∠ADB=(180°-60°)/2=60°。但題目說∠B=70°，即∠ABD=70°，這與∠ABD=60°矛盾。因此，唯一的可能是，AD與BC的垂足不是點D在BC上，而是AD的延長線與BC垂直？設AD延長線交BC于點F，則∠AFB=90°?！螧=70°，∴∠BAF=20°?！咝D角∠BAD=60°，∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=60°-20°=40°。這樣就能解釋通了。所以，題目中的“AD⊥BC”是指AD的延長線垂直于BC。因此，旋轉角確實是∠CAE=∠BAD=60°。解題反思：本題主要考察對旋轉角概念的理解和旋轉性質的直接應用。解題時易因圖形的空間想象不足或對“AD⊥BC”的垂足位置判斷失誤而產生困惑。這提醒我們，對于幾何題，準確畫圖和多角度思考非常重要，遇到矛盾時要敢于回頭檢查前提假設。（二）利用旋轉性質解決幾何證明與計算例2：已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別為BC、CD上的點，且∠EAF=45°。求證：BE+DF=EF。思路點撥：這是一道非常經典的正方形旋轉問題。條件中給出了∠EAF=45°，而正方形的內角是90°，很自然地想到將△ADF或△ABE旋轉90°，使得分散的線段BE和DF集中到一起，從而構成一條與EF相等的線段。解答過程：證明：將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得到△ABG?！咚倪呅蜛BCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°。由旋轉性質可知：AG=AF（對應邊相等），BG=DF（對應邊相等），∠BAG=∠DAF（對應角相等），∠ABG=∠D=90°?！摺螦BC=90°，∠ABG=90°，∴點G、B、C三點共線，即G在CB的延長線上。∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°?！摺螧AG=∠DAF，∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°。在△GAE和△FAE中：AG=AF（已證），∠GAE=∠FAE=45°（已證），AE=AE（公共邊），∴△GAE≌△FAE（SAS）?！郍E=EF（全等三角形對應邊相等）。∵GE=GB+BE=DF+BE（已證BG=DF），∴BE+DF=EF。解題反思：本題巧妙地運用了旋轉的思想，將△ADF“搬”到了△ABG的位置，使得原本分散的條件（BE、DF、∠EAF=45°）集中起來，從而通過證明三角形全等來得出結論。這種“旋轉全等”的思想在解決含有等腰直角三角形、正方形等特殊圖形（存在共頂點等線段）的問題時非常常見。當題目中出現“共頂點的等線段”和“特定角度”時，要聯想到旋轉的可能性。（三）動態(tài)旋轉與幾何探究例3：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，將△ABC繞點A順時針旋轉一定角度得到△AB'C'，連接BB'、CC'。（1）求證：△ABB'∽△ACC'；（2）當CC'//AB時，求BB'的長度。思路點撥：（1）要證明兩個三角形相似，已知△ABC是等腰直角三角形，旋轉后AB=AB'，AC=AC'，且∠BAB'=∠CAC'（都是旋轉角）。根據“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”來證明是很自然的思路。（2）當CC'//AB時，結合旋轉性質和已知的等腰直角三角形條件，可以構造出特殊的角度（如45°、60°等），進而求出旋轉角的大小，再在△ABB'中利用余弦定理或特殊角的三角函數求出BB'的長度。解答過程：（1）證明：∵△ABC繞點A旋轉得到△AB'C'，∴AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=旋轉角α?！郃B/AC=AB'/AC'，且∠BAB'=∠CAC'。∴△ABB'∽△ACC'（兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似）。（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠CAB=45°，AB=√(AC2+BC2)=√(42+42)=4√2。∵CC'//AB，∴∠ACC'=∠CAB=45°（兩直線平行，內錯角相等）?！逜C=AC'，∴△ACC'是等腰三角形，∠ACC'=∠AC'C=45°?！唷螩AC'=180°-45°-45°=90°，即旋轉角α=90°?！嘣凇鰽BB'中，AB=AB'=4√2，∠BAB'=90°，∴△ABB'是等腰直角三角形?！郆B'=√(AB2+AB'2)=√[(4√2)2+(4√2)2]=√[32+32]=√64=8。解題反思：第（1）問直接運用旋轉性質和相似三角形的判定定理即可解決。第（2）問的關鍵在于利用“CC'//AB”這一平行條件，結合等腰三角形的性質求出旋轉角的度數。當旋轉角為90°時，△ABB'也成為等腰直角三角形，從而利用勾股定理求出BB'。動態(tài)旋轉問題常常需要我們找出運動過程中的不變量（如對應邊相等、旋轉角相等）和特殊位置關系（如平行、垂直），并據此進行計算和證明。三、中考真題實戰(zhàn)演練（以下選取幾道不同風格的中考真題，供同學們練習鞏固）真題1（基礎計算）：如圖，將△OAB繞點O逆時針旋轉80°得到△OCD，若∠AOB=45°，則∠AOD等于（）A.35°B.40°C.45°D.55°（提示：明確旋轉角為∠AOC=∠BOD=80°，∠AOD=∠AOC-∠COD，而∠COD=∠AOB。）真題2（性質應用與證明）：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△ADE，連接BD、CE交于點F。（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，∠BAC=45°，當四邊形ADFC是菱形時，求BF的長。（提示：（1）利用旋轉性質得到AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，結合AB=AC即可證全等。（2）菱形的性質：四條邊相等，AD=AC=CF=AF=2，∠DAF=∠BAC=45°，在△ABF中，AB=2，AF=2，∠BAF=∠BAC+∠CAF，而∠CAF=∠CAD（菱形性質AD//CF，內錯角相等），∠CAD=∠BAD-∠BAC，∠BAD=∠CAE，且AE=AC=AD=AB=2，△ACE≌△ABD。）真題3（動態(tài)探究與最值）：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P是AB邊上的一個動點（不與點A、B重合），將△ACP繞點P順時針旋轉得到△A'CP'，連接A'B。（1）當點P與點C的對應點P'落在邊BC上時，求BP的長；（2）在旋轉過程中，線段A'B的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由。（提示：（1）旋轉后PP'=PC，∠CPP'=∠CP'P，利用勾股定理和相似列方程。（2）A'P=AP，所以點A'在以P為圓心，AP為半徑的圓上運動，但P本身也在AB上運動，所以A'的運動軌跡較復雜?？赊D化為：A'P=AP，BP固定嗎？不固定?？紤]在某個位置時，A'、P、B三點共線，且A'在PB之間時，A'B=PB-A'P=PB-AP。設AP=x，則PB=10-x，A'B=10-x-x=10-2x。但這只是一種特殊情況，是否為最小值？或者，連接PA'，A'P=AP，所以A'B≥|PB-A'P|=|PB-AP|，當且僅當A'、P、B三點共線時取等號。設AP=x，則PB=10-x，A'B≥|(10-x)-x|=|10-2x|。當x=5時，|10-2x|=0，但此時P為AB中點，A'與B重合？需檢驗。或者，考慮A'的軌跡是以P為圓心AP為半徑的圓，但P在動，所以可以考慮用坐標法，建立坐標系，設P點坐標，表達出A'點坐標，再求A'B的距離表達式，求最小值。）四、解題策略與總結旋轉問題千變萬化，但萬變不離其宗。掌握以下解題策略，能幫助你更高效地解決旋轉相關問題：1.“慧眼識旋轉”：當題目中出現等腰三角形（特別是等腰直角三角形、等邊三角形）、正方形、共頂點的等線段時，要高度警惕，旋轉往往是解決這類問題的金鑰匙。2.“性質是根本”：時刻牢記旋轉的三大性質（對應點到旋轉中心距離相等、對應點與旋轉中心連線夾角等于旋轉角、旋轉前后圖形全等），它們是推導一切關系的基礎。3.“構圖找全等（或相似）”：旋轉常常伴隨著全等三角形或相似三角形的出現，要善于從復雜圖形中分解出這些基本圖形。4.“動態(tài)問題抓特殊”：對于動態(tài)旋轉問題，要關注運動過程中的不變量和特殊位置（如旋轉角為30°、45°、60°、90°、180°等特殊角時，或圖形的邊、角關系出現平行、垂