七年級數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)與應(yīng)用題函數(shù)，作為初中數(shù)學(xué)的重要基石，不僅是代數(shù)學(xué)習(xí)的延伸，更是培養(yǎng)邏輯思維和解決實際問題能力的關(guān)鍵載體。從簡單的變量關(guān)系到復(fù)雜的圖像分析，函數(shù)的世界充滿了規(guī)律與挑戰(zhàn)。本次專題復(fù)習(xí)，我們將一同梳理函數(shù)的核心概念，夯實基礎(chǔ)，并通過具體應(yīng)用題的解析，掌握運用函數(shù)知識解決實際問題的思路與方法，力求在理解的深度和應(yīng)用的靈活性上得到提升。一、函數(shù)的核心概念回顧在數(shù)學(xué)的視野里，我們常常關(guān)注事物的變化以及變化過程中量與量之間的依賴關(guān)系。函數(shù)，正是描述這種關(guān)系的有力工具。1.變量與常量在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終保持不變的量稱為常量。例如，汽車在勻速行駛過程中，行駛的路程會隨著時間的變化而變化，這里的“路程”和“時間”就是變量，而“速度”則是常量。需要注意的是，常量不一定是具體的數(shù)字，也可以是用字母表示的固定不變的量。2.函數(shù)的定義一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。這個定義中，“唯一確定”是理解函數(shù)概念的核心。也就是說，給定一個x的值，只能有一個y的值與之對應(yīng)。例如，在關(guān)系式y(tǒng)=2x中，當(dāng)x=3時，y只能是6，這就是唯一確定。但如果是y2=x，當(dāng)x=4時，y可以是2或-2，這就不符合“唯一確定”，因此y不是x的函數(shù)。3.函數(shù)的三種表示方法函數(shù)關(guān)系的表達，常見的有三種形式：*解析式法：用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)關(guān)系的方法。例如y=3x-1，C=2πr等。這種方法的優(yōu)點是簡潔、準(zhǔn)確，便于進行理論分析和計算。*列表法：通過列出表格來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。例如，我們可以列出一天中不同時刻對應(yīng)的氣溫。這種方法的優(yōu)點是直觀，可以直接看出部分對應(yīng)值。*圖像法：用圖像來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。通常用平面直角坐標(biāo)系中的點（x,y）來表示自變量x和函數(shù)值y的對應(yīng)關(guān)系，這些點的集合就構(gòu)成了函數(shù)的圖像。這種方法的優(yōu)點是形象、直觀，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢。在解決實際問題時，我們常常需要根據(jù)具體情況選擇合適的表示方法，有時甚至需要將多種方法結(jié)合起來使用。二、一次函數(shù)的深入理解七年級階段，我們接觸最多的是一次函數(shù)，它是函數(shù)世界中最簡單也最基本的類型之一。1.一次函數(shù)的定義與解析式形如y=kx+b（其中k、b是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。*當(dāng)b=0時，一次函數(shù)y=kx（k≠0）也叫做正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。*這里的“k≠0”是至關(guān)重要的條件，若k=0，則函數(shù)就變成了y=b，此時y是一個常量，不再是關(guān)于x的一次函數(shù)。2.一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像是一條直線。因此，畫一次函數(shù)的圖像時，只需確定兩個點，再過這兩點畫直線即可。通常我們會選擇與坐標(biāo)軸的交點：與y軸的交點（0,b）和與x軸的交點（-b/k,0）（當(dāng)k≠0時）。一次函數(shù)的性質(zhì)主要由系數(shù)k和b決定：*k的符號決定直線的傾斜方向和函數(shù)的增減性：*當(dāng)k>0時，直線從左到右上升，y隨x的增大而增大。*當(dāng)k<0時，直線從左到右下降，y隨x的增大而減小。*b的符號決定直線與y軸交點的位置：*當(dāng)b>0時，直線與y軸交于正半軸。*當(dāng)b=0時，直線經(jīng)過原點（正比例函數(shù)的圖像特征）。*當(dāng)b<0時，直線與y軸交于負(fù)半軸。k的絕對值大小也會影響直線的“陡峭”程度，|k|越大，直線越陡；|k|越小，直線越平緩。3.確定一次函數(shù)的解析式要確定一個一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），關(guān)鍵在于求出k和b的值。由于需要確定兩個未知系數(shù)，因此通常需要兩個獨立的條件（即圖像上兩個點的坐標(biāo)），然后通過解方程組來求解。這種方法稱為待定系數(shù)法。例如，若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(1,3)和(-1,-1)，我們可以將這兩個點的坐標(biāo)分別代入y=kx+b，得到方程組：3=k*1+b-1=k*(-1)+b解這個方程組，即可求出k和b的值，從而確定函數(shù)解析式。三、函數(shù)應(yīng)用題的解題策略運用函數(shù)知識解決實際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的最終目的，也是對我們綜合能力的考驗。這類問題通常文字?jǐn)⑹鲚^長，信息量較大，需要我們耐心分析，逐步突破。1.解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟*審題：仔細(xì)閱讀題目，理解題意，明確問題中涉及的量有哪些，哪些是變量，哪些是常量。找出題目中的已知條件和要求的未知量。*設(shè)元：選擇一個適當(dāng)?shù)淖兞孔鳛樽宰兞浚ㄍǔＴO(shè)為x），并用含x的代數(shù)式表示其他相關(guān)的變量。對于函數(shù)問題，通常要設(shè)出函數(shù)關(guān)系式（如y=kx+b）。*分析關(guān)系，列函數(shù)解析式：根據(jù)題目中所描述的數(shù)量關(guān)系或相等關(guān)系，結(jié)合所學(xué)的函數(shù)知識（特別是一次函數(shù)的定義和性質(zhì)），列出函數(shù)解析式。這是解決問題的關(guān)鍵步驟，需要我們準(zhǔn)確理解題意，找到變量之間的對應(yīng)法則。*求解：根據(jù)列出的函數(shù)解析式，結(jié)合題目要求進行計算或推理，求出所需的結(jié)果。如果是求函數(shù)值，就將自變量的值代入；如果是求自變量的值，就解方程；如果涉及到圖像，可能需要結(jié)合圖像的性質(zhì)進行分析。*檢驗與作答：將所求的結(jié)果代入原題中進行檢驗，看是否符合實際意義和題意。確保無誤后，寫出完整、規(guī)范的答案。2.典型例題解析例題1：行程問題一輛汽車在普通公路上行駛了一段路程后，駛?cè)敫咚俟?。汽車在普通公路上的行駛速度為每小時a公里，在高速公路上的行駛速度為每小時b公里（b>a）。設(shè)汽車在普通公路上行駛了t小時，所行駛的總路程為s公里。（1）若汽車在普通公路上行駛了2小時后進入高速公路，繼續(xù)行駛了3小時到達目的地，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出t的取值范圍。（2）若a=60，b=100，利用（1）中的關(guān)系式，求出汽車行駛的總路程s。分析與解答：（1）審題與設(shè)元：題目中，t是汽車在普通公路上行駛的時間，s是總路程。這里要注意，當(dāng)t≤2小時，汽車還在普通公路上行駛；當(dāng)t>2小時，這個表述可能不準(zhǔn)確，因為題目說“在普通公路上行駛了t小時后駛?cè)敫咚俟贰?，然后“繼續(xù)行駛了3小時”。哦，應(yīng)該是普通公路行駛時間是t小時（這里t就是2小時），高速公路行駛了3小時。那么總路程s就是普通公路行駛的路程加上高速公路行駛的路程。普通公路行駛路程：a*t（這里t是普通公路行駛時間，題目明確是2小時，所以這部分路程是2a）。高速公路行駛路程：b*3。所以總路程s=2a+3b。咦，這樣的話s是一個定值，與t的關(guān)系呢？可能我對題目的理解有誤?；蛟S題目是說，汽車從出發(fā)開始計時，前t小時在普通公路上行駛（t是一個變量），然后進入高速公路？但題目又說“行駛了t小時后進入高速公路，繼續(xù)行駛了3小時”。那么總行駛時間是t+3小時，總路程s=a*t+b*3。這里t的取值范圍就是t>0（因為已經(jīng)行駛了t小時進入高速）。這樣似乎更合理，s是t的一次函數(shù)。那么，（1）s與t的函數(shù)關(guān)系式為：s=a*t+3b。t的取值范圍是t>0。（題目中“行駛了t小時后進入高速公路”，t應(yīng)為正數(shù)）（2）當(dāng)a=60，b=100時，s=60t+3*100=60t+300。但題目中說“在普通公路上行駛了2小時后進入高速公路”，所以這里的t=2。因此，s=60*2+300=120+300=420公里。答：（1）s=a*t+3b（t>0）；（2）汽車行駛的總路程為420公里。例題2：收費問題某通訊公司推出兩種手機流量套餐：套餐一：月租費20元，包含1GB流量，超出部分按每GBc元收費。套餐二：月租費50元，包含5GB流量，超出部分按每GBd元收費（d<c）。設(shè)每月使用流量為xGB，套餐一的費用為y?元，套餐二的費用為y?元。（1）分別寫出y?、y?與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不考慮x為負(fù)數(shù)的情況）。（2）若c=10，d=8，小明這個月的流量使用了6GB，他選擇哪種套餐更合算？分析與解答：（1）列函數(shù)關(guān)系式：對于套餐一：*當(dāng)0≤x≤1時，費用就是月租費20元，所以y?=20。*當(dāng)x>1時，費用為月租費加上超出部分的費用。超出部分為(x-1)GB，所以y?=20+c(x-1)。對于套餐二：*當(dāng)0≤x≤5時，費用就是月租費50元，所以y?=50。*當(dāng)x>5時，超出部分為(x-5)GB，所以y?=50+d(x-5)。（2）選擇合算套餐：已知c=10，d=8，x=6GB。計算套餐一費用y?：因為6>1，所以y?=20+10*(6-1)=20+50=70元。計算套餐二費用y?：因為6>5，所以y?=50+8*(6-5)=50+8=58元。因為58<70，所以小明選擇套餐二更合算。答：（1）y?={20(0≤x≤1),20+c(x-1)(x>1)}；y?={50(0≤x≤5),50+d(x-5)(x>5)}。（2）選擇套餐二更合算。例題3：方案選擇問題某文具店準(zhǔn)備購進A、B兩種品牌的鋼筆。購進A品牌鋼筆的進價為每支m元，購進B品牌鋼筆的進價為每支n元（m>n）。若該店準(zhǔn)備用不超過W元購進這兩種鋼筆共100支。設(shè)購進A品牌鋼筆x支，購進這兩種鋼筆的總費用為y元。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍。（2）若m=10，n=8，W=900，為了使購進的鋼筆數(shù)量盡可能多，應(yīng)如何安排購進方案？分析與解答：（1）列函數(shù)關(guān)系式與確定取值范圍：購進A品牌鋼筆x支，則購進B品牌鋼筆(100-x)支。總費用y=m*x+n*(100-x)=(m-n)x+100n。根據(jù)題意，總費用不超過W元，所以：(m-n)x+100n≤W(m-n)x≤W-100n因為m>n，所以m-n>0，解得x≤(W-100n)/(m-n)。又因為x表示鋼筆數(shù)量，所以x≥0，且100-x≥0，即x≤100。綜上，x的取值范圍是0≤x≤min(100,(W-100n)/(m-n))。（2）確定購進方案：將m=10，n=8，W=900代入：y=(10-8)x+100*8=2x+800。由總費用不超過900元：2x+800≤900→2x≤100→x≤50。所以x的取值范圍是0≤x≤50。題目要求“購進的鋼筆數(shù)量盡可能多”，但總共購進100支是固定的呀？哦，這里可能是指在費用限制下，盡可能多購進某種鋼筆？或者題目可能隱含的是“為了使購進的A品牌鋼筆數(shù)量盡可能多”或“B品牌盡可能多”？根據(jù)題意“m>n”，A品牌進價更高。如果要在總費用固定（不超過W）的情況下，使總數(shù)量最多，應(yīng)該是多買便宜的B品牌。但題目說“購進這兩種鋼筆共100支”是固定的。那么可能題目是想在滿足費用限制的前提下，求x的可能取值，并選擇一個合理的方案。比如，若想降低成本，因為B便宜，所以在x允許的范圍內(nèi)，x越小越好。但題目問的是“為了使購進的鋼筆數(shù)量盡可能多”，而總數(shù)是100支。這可能是題目表述上的一點小瑕疵，我們按“在費用不超過900元的前提下，如何安排購進A、B兩種鋼筆的數(shù)量”來理解。由x≤50，所以x可以取0到50之間的整數(shù)。例如，若要A品牌最多，則購進A品牌50支，B品牌50支，總費用50*10+50*8=500+400=900元，剛好用完預(yù)算。答：應(yīng)購進A品牌鋼筆50支，B品牌鋼筆50支。四、復(fù)習(xí)建議與總結(jié)函數(shù)的復(fù)習(xí)，不能僅僅停留在對定義和公式的記憶上，更重要的是理解其本質(zhì)，并能靈活運用。1.夯實基礎(chǔ)，深刻理解概念：要反復(fù)琢磨變量、常量、函數(shù)、自變量、因變量等基本概念，特別是函數(shù)定義中“唯一確定”這一核心內(nèi)涵。對于一次函數(shù)的定