2019年全國中考數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)引言：函數(shù)——中考數(shù)學(xué)的核心紐帶函數(shù)作為貫穿初中數(shù)學(xué)的一條主線，不僅是代數(shù)知識(shí)的深化與延伸，更是數(shù)形結(jié)合思想的集中體現(xiàn)。在歷年中考數(shù)學(xué)中，函數(shù)板塊始終占據(jù)著舉足輕重的地位，其分值占比高，綜合題型多，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力以及綜合應(yīng)用能力均提出了較高要求。2019年的中考數(shù)學(xué)命題趨勢，依然延續(xù)了對(duì)函數(shù)核心素養(yǎng)的考查。因此，在復(fù)習(xí)備考階段，我們必須對(duì)函數(shù)專題給予足夠的重視，力求做到概念清晰、性質(zhì)熟練、應(yīng)用靈活，方能在中考中從容應(yīng)對(duì)，取得理想成績。一、函數(shù)核心概念的再梳理與深化理解在復(fù)習(xí)函數(shù)之初，回歸本源，夯實(shí)基礎(chǔ)是關(guān)鍵。我們首先要對(duì)函數(shù)的核心概念進(jìn)行透徹的理解和準(zhǔn)確的把握。1.1變量與常量：動(dòng)態(tài)思維的啟蒙在一個(gè)變化過程中，我們會(huì)遇到各種量。有些量的數(shù)值是始終不變的，我們稱之為常量；而有些量的數(shù)值則是在不斷變化的，我們稱之為變量。理解變量與常量的相對(duì)性，是建立函數(shù)觀念的第一步。例如，在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，速度是常量，而路程和時(shí)間則是變量。1.2函數(shù)的定義：兩個(gè)變量間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系函數(shù)的定義是核心中的核心。我們通常這樣描述：在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。這里的“唯一確定”是理解函數(shù)概念的關(guān)鍵，它強(qiáng)調(diào)了對(duì)應(yīng)關(guān)系的確定性和唯一性。判斷兩個(gè)變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系，也必須緊扣這一點(diǎn)。1.3函數(shù)的表示方法：多種形式，融會(huì)貫通函數(shù)的表示方法主要有三種：解析法（用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)關(guān)系）、列表法（通過列表給出自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）和圖象法（用圖象表示函數(shù)關(guān)系）。這三種方法各有優(yōu)劣，在復(fù)習(xí)中應(yīng)能根據(jù)具體問題靈活選擇和轉(zhuǎn)換。解析法嚴(yán)謹(jǐn)精確，便于計(jì)算和推理；列表法直觀具體，易于查找；圖象法形象生動(dòng)，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢。二、基本函數(shù)類型的性質(zhì)與應(yīng)用解析初中階段我們主要學(xué)習(xí)了三種基本函數(shù)：一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)和二次函數(shù)。對(duì)每一種函數(shù)，我們都需要從其定義、圖象、性質(zhì)以及應(yīng)用等多個(gè)維度進(jìn)行系統(tǒng)梳理和深入理解。2.1一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）：線性變化的直觀體現(xiàn)定義與解析式：形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，即y=kx（k是常數(shù)，k≠0），叫做正比例函數(shù)，它是一次函數(shù)的特殊形式。圖象與性質(zhì)：一次函數(shù)的圖象是一條直線。其中k決定了直線的傾斜方向和傾斜程度：k>0時(shí)，直線從左到右上升，y隨x的增大而增大；k<0時(shí)，直線從左到右下降，y隨x的增大而減小。b則是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即直線與y軸交于點(diǎn)(0,b)。對(duì)于正比例函數(shù)y=kx，其圖象是經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)的一條直線，其性質(zhì)與一次函數(shù)類似，k的符號(hào)同樣決定了函數(shù)的增減性。在復(fù)習(xí)時(shí)，要能熟練地根據(jù)k和b的符號(hào)判斷直線經(jīng)過的象限，反之亦然。同時(shí)，兩條直線的位置關(guān)系（平行、相交）也是常考內(nèi)容，k值相等則平行，k值不等則相交。應(yīng)用與建模：一次函數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如行程問題、工程問題、銷售利潤問題、方案選擇問題等。解決這類問題的關(guān)鍵是從實(shí)際情境中抽象出一次函數(shù)模型，即找出兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系，列出函數(shù)解析式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題。例如，利用一次函數(shù)的增減性進(jìn)行最優(yōu)方案的選擇。2.2反比例函數(shù)：非線性變化的經(jīng)典模型定義與解析式：形如y=k/x（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。其解析式也可以寫成y=kx?1的形式。圖象與性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線。k的符號(hào)決定了雙曲線所在的象限和函數(shù)的增減性：當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。需要特別注意的是，反比例函數(shù)的增減性必須強(qiáng)調(diào)“在每個(gè)象限內(nèi)”。雙曲線的兩支都無限接近于坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。k的幾何意義也非常重要：過反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為|k|。應(yīng)用與建模：反比例函數(shù)常用來描述具有反比例關(guān)系的兩個(gè)變量，如路程一定時(shí)，速度與時(shí)間的關(guān)系；總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)與數(shù)量的關(guān)系等。2.3二次函數(shù)：中考函數(shù)的重中之重定義與解析式：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。其解析式還有頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k（a≠0，(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)）和交點(diǎn)式（兩根式）y=a(x-x?)(x-x?)（a≠0，x?、x?是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）。在不同的問題情境下，選擇合適的解析式形式，能使問題的解決更加簡便。圖象與性質(zhì)：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。*開口方向與大?。河蒩決定。a>0時(shí)，拋物線開口向上；a<0時(shí)，拋物線開口向下。|a|越大，拋物線開口越窄；|a|越小，拋物線開口越寬。*頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸：拋物線是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是直線x=-b/(2a)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))。若用頂點(diǎn)式，則對(duì)稱軸為直線x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)。頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)（當(dāng)a<0時(shí)）或最低點(diǎn)（當(dāng)a>0時(shí)），這決定了函數(shù)的最值。*增減性：當(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)（x<-b/(2a)），y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸右側(cè)（x>-b/(2a)），y隨x的增大而增大。當(dāng)a<0時(shí)，情況相反。*與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：與y軸交點(diǎn)為(0,c)。與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式Δ=b2-4ac決定：Δ>0時(shí)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；Δ=0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）；Δ<0時(shí)，沒有交點(diǎn)。應(yīng)用與建模：二次函數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，尤其是在解決最大（小）值問題時(shí)，如最大利潤、最大面積等。建立二次函數(shù)模型，利用其頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值，是這類問題的常規(guī)思路。三、函數(shù)綜合題的解題策略與思想方法滲透函數(shù)專題在中考中常常以綜合題的形式出現(xiàn)，這類題目往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交匯，需要運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法。3.1數(shù)形結(jié)合思想：函數(shù)學(xué)習(xí)的靈魂“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微。”數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)函數(shù)最重要的思想方法。函數(shù)的解析式是“數(shù)”，函數(shù)的圖象是“形”。在解題時(shí)，要善于將函數(shù)的解析式與圖象結(jié)合起來，從圖象中獲取信息，利用解析式進(jìn)行精確計(jì)算和推理。例如，借助函數(shù)圖象可以直觀地看出函數(shù)的增減性、最值、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，而根據(jù)函數(shù)解析式可以精確求出這些量。3.2分類討論思想：應(yīng)對(duì)復(fù)雜情況的利器在函數(shù)問題中，當(dāng)問題的條件不唯一或結(jié)論不確定時(shí)，常常需要進(jìn)行分類討論。例如，由于參數(shù)的取值不同（如一次函數(shù)中k、b的正負(fù)，二次函數(shù)中a的正負(fù)、對(duì)稱軸的位置等），函數(shù)的圖象和性質(zhì)會(huì)發(fā)生變化，此時(shí)就需要分類討論。進(jìn)行分類討論時(shí)，要注意分類標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一性和不重不漏。3.3轉(zhuǎn)化與化歸思想：化繁為簡，化難為易將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，是數(shù)學(xué)解題的基本思路。在函數(shù)綜合題中，常常需要將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題（如利用函數(shù)解析式解決圖形面積問題），或?qū)⒋鷶?shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題（如利用函數(shù)圖象解決方程、不等式問題）。3.4方程與函數(shù)思想的結(jié)合：相互依存，相得益彰函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系。函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是方程f(x)=0的解；兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組的解。利用這種關(guān)系，可以解決許多與函數(shù)相關(guān)的問題，如求函數(shù)的零點(diǎn)、求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)等。四、復(fù)習(xí)策略與備考建議4.1回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)萬變不離其宗，教材是中考命題的根本。要仔細(xì)研讀教材，重溫函數(shù)的概念、性質(zhì)、例題和習(xí)題，確保對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解準(zhǔn)確無誤，不留死角。4.2強(qiáng)化訓(xùn)練，注重反思適當(dāng)?shù)木毩?xí)是鞏固知識(shí)、提升能力的必要手段。但練習(xí)不在于多，而在于精。要選擇具有代表性的題目進(jìn)行訓(xùn)練，特別是歷年中考真題和模擬題。做完題目后，要及時(shí)反思解題過程，總結(jié)解題規(guī)律和方法，分析錯(cuò)誤原因，避免重蹈覆轍。4.3關(guān)注熱點(diǎn)，突破難點(diǎn)對(duì)于中考函數(shù)的熱點(diǎn)題型，如函數(shù)與幾何綜合題、函數(shù)與方程不等式綜合題、動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問題等，要進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，總結(jié)解題策略，力爭突破難點(diǎn)。4.4規(guī)范書寫，減少失誤在平時(shí)的練習(xí)和模擬考試中，要養(yǎng)成規(guī)范書寫的好習(xí)慣，尤其是在解答題中，要清晰地寫出解題步驟，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，運(yùn)算準(zhǔn)確，避免因書寫不規(guī)范或粗心大意造成的不必要失分。結(jié)語