小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練提高題解析引言：為何要重視小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練？小學(xué)數(shù)學(xué)，絕不僅僅是數(shù)字的運(yùn)算和公式的記憶。它是孩子們邏輯思維、空間想象、分析解決問(wèn)題能力培養(yǎng)的關(guān)鍵時(shí)期。所謂“思維訓(xùn)練提高題”，正是針對(duì)這一核心目標(biāo)設(shè)計(jì)的。它們往往不局限于單一知識(shí)點(diǎn)的直接應(yīng)用，而是需要孩子調(diào)動(dòng)多種感官、綜合運(yùn)用所學(xué)，并進(jìn)行一定的聯(lián)想、推理和創(chuàng)造。因此，解析這類題目，重點(diǎn)不在于“答案是什么”，而在于“如何想到這個(gè)答案”，以及“通過(guò)解題學(xué)到了什么思維方法”。本文旨在通過(guò)對(duì)一些典型的小學(xué)數(shù)學(xué)思維提高題進(jìn)行深度剖析，展現(xiàn)思維訓(xùn)練的路徑與方法，希望能為家長(zhǎng)輔導(dǎo)孩子或教師教學(xué)提供一些有益的啟示。一、思維訓(xùn)練的基石：深刻理解概念與靈活運(yùn)用許多提高題的解決，都依賴于對(duì)基本數(shù)學(xué)概念的深刻理解和靈活運(yùn)用。如果僅僅停留在表面認(rèn)知，很容易在復(fù)雜情境中迷失方向。例題1：關(guān)于“平均數(shù)”的靈活思考題目：小明前幾次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是84分，這次測(cè)驗(yàn)要考多少分，才能把平均成績(jī)提高到86分？（假設(shè)這次測(cè)驗(yàn)是第5次）常見(jiàn)誤區(qū)：有些孩子會(huì)簡(jiǎn)單地認(rèn)為86減去84等于2分，所以這次考84+2=86分就行了。這顯然是對(duì)“平均數(shù)”概念理解不透徹。思維解析：1.明確概念：平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。2.分析問(wèn)題：之前幾次的平均成績(jī)是84分，這次是第5次，要使得5次的平均成績(jī)達(dá)到86分。我們需要找到這次需要考多少分才能彌補(bǔ)之前與目標(biāo)平均分的差距。3.具體計(jì)算：*方法一（總分?jǐn)?shù)差法）：*5次測(cè)驗(yàn)，若平均分為86分，則總分為86×5=430分。*前4次測(cè)驗(yàn)，平均分為84分，則總分為84×4=336分。*因此，第5次測(cè)驗(yàn)需要考430-336=94分。*方法二（差額彌補(bǔ)法）：*每次測(cè)驗(yàn)都以84分為基準(zhǔn)，要達(dá)到平均86分，即每次需要“補(bǔ)”2分。*現(xiàn)在有5次測(cè)驗(yàn)，總共需要“補(bǔ)”2×5=10分。*這10分都需要由第5次測(cè)驗(yàn)來(lái)承擔(dān)，所以第5次測(cè)驗(yàn)的分?jǐn)?shù)為84+10=94分。4.思維啟示：本題考察了對(duì)平均數(shù)概念的深入理解和逆向思維能力。方法二更能體現(xiàn)思維的靈活性，它不是簡(jiǎn)單地套用公式，而是通過(guò)分析“差額”來(lái)解決問(wèn)題，這種方法在很多與平均數(shù)相關(guān)的復(fù)雜問(wèn)題中都非常有效。二、突破常規(guī)：非常規(guī)問(wèn)題的思維策略有些數(shù)學(xué)題，用常規(guī)方法雖然可以解答，但過(guò)程繁瑣，容易出錯(cuò)。此時(shí)，就需要孩子們跳出思維定勢(shì)，尋找更巧妙、更簡(jiǎn)潔的方法。例題2：雞兔同籠的變形與巧解題目：停車場(chǎng)上停著三輪車和小轎車共若干輛，共有輪子28個(gè)。已知小轎車比三輪車多2輛，問(wèn)三輪車和小轎車各有多少輛？常見(jiàn)誤區(qū)：這是“雞兔同籠”問(wèn)題的變形。若直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)可能稍顯復(fù)雜。若用“假設(shè)法”，需要清晰的思路。思維解析：1.簡(jiǎn)化問(wèn)題（消元思想）：已知小轎車比三輪車多2輛。如果我們暫時(shí)“去掉”這多出來(lái)的2輛小轎車，那么停車場(chǎng)上三輪車和小轎車的數(shù)量就一樣多了。*去掉2輛小轎車，輪子總數(shù)會(huì)減少：4×2=8個(gè)。*此時(shí)剩余輪子數(shù)：28-8=20個(gè)。*剩余車輛中，三輪車和小轎車數(shù)量相等，我們可以將一輛三輪車和一輛小轎車看作一組。每組共有輪子：3+4=7個(gè)。*因此，組數(shù)為：20÷7？咦，這里出現(xiàn)了除不盡的情況，說(shuō)明我們的“消元”方式可能需要調(diào)整，或者這種分組方式需要更細(xì)致的考量。*（反思：直接去掉多出的小轎車，使得剩余數(shù)量相等，這個(gè)思路是對(duì)的。但20÷7確實(shí)不是整數(shù)，這說(shuō)明我們?cè)谟?jì)算時(shí)可能哪里出了偏差？哦，不，28-8=20是對(duì)的，3+4=7也是對(duì)的。20÷7確實(shí)不能整除，這說(shuō)明我們最初的“去掉”思路在這個(gè)具體數(shù)字下遇到了一點(diǎn)小麻煩，但不代表方向錯(cuò)誤，可能需要換一種“配對(duì)”方式，或者，我們換一種思路。）2.調(diào)整思路（假設(shè)法）：假設(shè)所有車輛都是三輪車。*設(shè)三輪車有x輛，那么小轎車有x+2輛。*輪子總數(shù)可表示為：3x+4(x+2)=28。*展開(kāi)：3x+4x+8=28→7x=20→x=20/7。依然不是整數(shù)。這說(shuō)明我們不能直接假設(shè)都是三輪車，或者說(shuō)，需要結(jié)合“數(shù)量差”來(lái)假設(shè)。3.正確的假設(shè)與調(diào)整：*我們還是回到最初的“去掉”2輛小轎車的思路。此時(shí)剩下x輛三輪車和x輛小轎車，共2x輛車，20個(gè)輪子。*每輛三輪車3輪，每輛轎車4輪，平均每輛車的輪子數(shù)是(3+4)/2=3.5個(gè)。*2x輛車，20個(gè)輪子，那么2x=20/3.5→這顯然不是我們想要的整數(shù)解?？磥?lái)，“去掉”后數(shù)量相等，但輪子數(shù)的計(jì)算在這個(gè)具體題目下，用整數(shù)方法直接求組數(shù)會(huì)遇到困難。那么，我們換一種方式，“添上”三輪車。*既然小轎車比三輪車多2輛，我們可以“添上”2輛三輪車，使得三輪車和小轎車數(shù)量相等。*添上2輛三輪車，輪子總數(shù)會(huì)增加：3×2=6個(gè)。*此時(shí)總輪子數(shù)：28+6=34個(gè)。*此時(shí)三輪車和小轎車數(shù)量相等，設(shè)均為y輛。*輪子總數(shù)：3y+4y=34→7y=34→y=34/7，依然不是整數(shù)！這就奇怪了，難道題目有問(wèn)題？不，不可能。一定是我哪里想錯(cuò)了。4.回歸基本方程（代數(shù)法，雖然對(duì)小學(xué)生稍難，但清晰）：*設(shè)三輪車有x輛，則小轎車有x+2輛。*3x+4(x+2)=28→3x+4x+8=28→7x=20→x=20/7。*啊！這說(shuō)明我最初選擇的題目數(shù)字可能不太恰當(dāng)，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不是整數(shù)。這在實(shí)際解題中是可能遇到的，說(shuō)明我們需要重新審視題目條件。或者，我在出題時(shí)不小心湊錯(cuò)了數(shù)字。為了演示，我們將題目稍作修改，比如“共有輪子29個(gè)”。*那么，3x+4(x+2)=29→7x+8=29→7x=21→x=3。則三輪車3輛，小轎車5輛。3×3+5×4=9+20=29。這樣就對(duì)了。*（重要啟示：在實(shí)際解題中，如果遇到計(jì)算結(jié)果不符合常理，要敢于檢查題目條件或自己的計(jì)算過(guò)程。對(duì)于“雞兔同籠”問(wèn)題，利用代數(shù)方法設(shè)未知數(shù)是最直接的，雖然對(duì)低年級(jí)孩子有挑戰(zhàn)，但高年級(jí)學(xué)生應(yīng)逐步掌握這種思想。對(duì)于算術(shù)方法，則需要靈活運(yùn)用“假設(shè)”、“置換”、“補(bǔ)差”等技巧。）思維啟示：本題主要訓(xùn)練孩子的“假設(shè)思維”和“消元思想”。在遇到含有“數(shù)量差”的問(wèn)題時(shí)，通過(guò)“添”或“去”的方式將兩種量轉(zhuǎn)化為相等的量，是一種重要的解題策略。同時(shí)，當(dāng)一種方法走不通時(shí)，要勇于嘗試其他途徑，并學(xué)會(huì)驗(yàn)證結(jié)果的合理性。三、數(shù)形結(jié)合：讓抽象問(wèn)題直觀化“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的兩大基本支柱。許多抽象的數(shù)量關(guān)系，一旦與圖形結(jié)合起來(lái)，就會(huì)變得直觀易懂。例題3：圖形中的數(shù)量關(guān)系題目：一個(gè)正方形，如果它的邊長(zhǎng)增加3厘米，那么它的面積就增加39平方厘米。求原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)。常見(jiàn)誤區(qū)：有些孩子會(huì)簡(jiǎn)單地認(rèn)為邊長(zhǎng)增加3厘米，面積就增加3×3=9平方厘米，這顯然與題目條件不符，說(shuō)明他們對(duì)“邊長(zhǎng)變化引起面積變化”的理解是片面的。思維解析：1.畫圖示意（關(guān)鍵步驟）：*畫一個(gè)正方形代表原來(lái)的正方形，邊長(zhǎng)設(shè)為a厘米。*將邊長(zhǎng)增加3厘米后，得到一個(gè)大正方形。我們可以清晰地看到，增加的面積是一個(gè)“L”形區(qū)域。*將這個(gè)“L”形區(qū)域分割成幾個(gè)部分：一個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的小正方形，和兩個(gè)以原來(lái)正方形邊長(zhǎng)a為長(zhǎng)、3厘米為寬的長(zhǎng)方形。（或者理解為：大正方形面積-小正方形面積=增加的面積）2.列關(guān)系式：*原來(lái)正方形面積：a2。*新正方形邊長(zhǎng)：a+3，面積：(a+3)2。*面積增加：(a+3)2-a2=39。*展開(kāi)：a2+6a+9-a2=39→6a+9=39→6a=30→a=5。3.算術(shù)方法（結(jié)合圖形理解）：*增加的面積39平方厘米，是由一個(gè)3×3的小正方形（面積9平方厘米）和兩個(gè)3×a的長(zhǎng)方形組成。*那么，兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和為：39-9=30平方厘米。*一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：30÷2=15平方厘米。*長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（即原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)）a=15÷3=5厘米。思維啟示：本題充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”思想的優(yōu)越性。通過(guò)畫圖，抽象的數(shù)量關(guān)系變得具體可見(jiàn)，從而更容易找到解題的突破口。無(wú)論是代數(shù)法還是算術(shù)法，其本質(zhì)都是基于對(duì)圖形變化的準(zhǔn)確理解。四、邏輯推理：從已知到未知的鏈條數(shù)學(xué)思維的核心是邏輯推理。許多提高題都需要孩子根據(jù)已知條件，進(jìn)行一步步的分析、判斷和推導(dǎo)，最終得出結(jié)論。例題4：簡(jiǎn)單的邏輯推理題目：甲、乙、丙三位小朋友分別戴著紅、黃、藍(lán)三種顏色的帽子。已知：1.甲沒(méi)有戴紅帽子；2.乙沒(méi)有戴黃帽子；3.戴藍(lán)帽子的小朋友說(shuō)：“甲戴的不是黃帽子?！闭?qǐng)問(wèn)：甲、乙、丙三位小朋友各戴什么顏色的帽子？常見(jiàn)誤區(qū)：信息較多時(shí)，孩子容易混淆，找不到清晰的推理線索。思維解析：1.整理信息，列表輔助（排除法）：*帽子顏色：紅、黃、藍(lán)。*人物：甲、乙、丙。*我們可以制作一個(gè)簡(jiǎn)單的表格，或者在腦海中構(gòu)建一個(gè)表格，通過(guò)條件逐步排除不可能的選項(xiàng)。2.分析關(guān)鍵條件：*條件3是戴藍(lán)帽子的小朋友說(shuō)的話：“甲戴的不是黃帽子?！边@意味著戴藍(lán)帽子的不是甲（因?yàn)樽约翰粫?huì)評(píng)價(jià)自己“甲”）。所以，藍(lán)帽子只能是乙或丙。*條件1：甲沒(méi)有戴紅帽子。所以甲可能戴黃帽子或藍(lán)帽子。但結(jié)合條件3的推論（藍(lán)帽子不是甲），因此甲只能戴黃帽子。*現(xiàn)在甲戴黃帽子確定了。*條件2：乙沒(méi)有戴黃帽子。而黃帽子已經(jīng)被甲戴了，所以乙只能戴紅帽子或藍(lán)帽子。*剩下的帽子：甲戴了黃帽子，那么剩下紅和藍(lán)帽子給乙和丙。*由于戴藍(lán)帽子的人說(shuō)甲戴的不是黃帽子，但我們已經(jīng)推出甲戴的是黃帽子，這是否矛盾？不，仔細(xì)看，戴藍(lán)帽子的人說(shuō)“甲戴的不是黃帽子”，這句話是真的嗎？題目沒(méi)有明確說(shuō)這三句話都是真的！哦，這是一個(gè)關(guān)鍵！題目只說(shuō)“已知：1、2、3”，這里的3是“戴藍(lán)帽子的小朋友說(shuō)：‘甲戴的不是黃帽子?！边@句話的真假需要我們判斷，或者說(shuō)，這句話是一個(gè)條件，我們要根據(jù)最終的正確結(jié)論來(lái)使這句話成立（即戴藍(lán)帽子的小朋友說(shuō)的是真話）。*所以，如果戴藍(lán)帽子的小朋友說(shuō)的是真話，那么“甲戴的不是黃帽子”就是真的。但我們剛才根據(jù)條件1和3的初步推論（藍(lán)帽子不是甲）得出甲可能戴黃帽子，這就產(chǎn)生了矛盾。因此，我們之前的推論“甲戴黃帽子”可能是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗鼘?dǎo)致了戴藍(lán)帽子的人說(shuō)了假話。*好，我們重新來(lái)，假設(shè)戴藍(lán)帽子的小朋友說(shuō)的是真話。*那么“甲戴的不是黃帽子”為真→甲不戴黃帽子。*條件1：甲不戴紅帽子。所以甲只能戴藍(lán)帽子。*但條件3說(shuō)這句話是戴藍(lán)帽子的小朋友說(shuō)的，如果甲戴藍(lán)帽子，那么就是甲自己說(shuō)“甲戴的不是黃帽子”，這在邏輯上是允許的，但我們看看是否可行。*甲戴藍(lán)帽子。*剩下帽子：紅、黃給乙和丙。*條件2：乙不戴黃帽子→乙只能戴紅帽子。*那么丙就只能戴黃帽子。*現(xiàn)在檢驗(yàn)：甲（藍(lán)），乙（紅），丙（黃）。*戴藍(lán)帽子的是甲，甲說(shuō)“甲戴的不是黃帽子”，這顯然是真話（甲戴藍(lán)的）。符合條件。*但是，我們?cè)傧胂?，有沒(méi)有另一種可能，即戴藍(lán)帽子的小朋友說(shuō)的是假話？如果是假話，那么“甲戴的不是黃帽子”就是假的，即甲戴的是黃帽子。*那么甲戴黃帽子（根據(jù)假話推出）。*條件1：甲不戴紅帽子，符合（戴了黃的）。*條件3：戴藍(lán)帽子的不是甲（甲戴黃的），所以藍(lán)帽子是乙或丙。*條件2：乙不戴黃帽子（甲戴了），所以乙戴紅或藍(lán)。*若乙戴藍(lán)帽子（說(shuō)假話的人），則乙說(shuō)“甲戴的不是黃帽子”是假的，符合甲戴黃帽子。那么乙戴藍(lán)帽子，剩下紅帽子給丙。*此時(shí)：甲（黃），乙（藍(lán)），丙（紅）。*檢查條件：*甲沒(méi)戴紅帽子：對(duì)。*乙沒(méi)戴黃帽子：乙戴藍(lán)的，對(duì)。*戴藍(lán)帽子的乙說(shuō)“甲戴的不是黃帽子”：假話，符合甲戴黃帽子。*現(xiàn)在出現(xiàn)了兩個(gè)可能的解？這說(shuō)明題目可能存在歧義，或者我們對(duì)條件3的理解有誤。*（反思：這道題目的設(shè)計(jì)，通常情況下，這類邏輯推理題中人物所說(shuō)的話默認(rèn)為真話，除非題目明確指出有說(shuō)謊者。因此，我們應(yīng)該優(yōu)先考慮戴藍(lán)帽子的小朋友說(shuō)的是真話。）*回到“戴藍(lán)帽子的小朋友說(shuō)的是真話”的情況：*甲不戴黃帽子（真話）。*甲不戴紅帽子（條件1）。*所以甲