《三角函數(shù)》復(fù)習(xí)教案引言：溫故知新，筑牢基石三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它不僅在數(shù)學(xué)內(nèi)部與函數(shù)、幾何、代數(shù)等分支緊密相連，更在物理、工程、天文等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本次復(fù)習(xí)，旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理三角函數(shù)的核心知識，深化理解，熟練掌握基本技能與思想方法，提升綜合運(yùn)用能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)及解決實(shí)際問題奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。希望同學(xué)們能主動參與，積極思考，在回顧與反思中查漏補(bǔ)缺，實(shí)現(xiàn)能力的再提升。一、基礎(chǔ)概念與定義：三角函數(shù)的“根”與“源”（一）任意角與弧度制1.角的概念推廣：*復(fù)習(xí)目標(biāo)：理解任意角的概念，包括正角、負(fù)角、零角，以及象限角、軸線角的含義；掌握終邊相同的角的表示方法。*要點(diǎn)回顧：*角可以看作平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。*按旋轉(zhuǎn)方向不同，角分為正角、負(fù)角和零角。*象限角：角的終邊落在第幾象限，就稱該角為第幾象限角。若終邊落在坐標(biāo)軸上，則稱為軸線角，不屬于任何象限。*終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角（包括α本身）可表示為：{β|β=α+k·360°，k∈Z}（角度制）或{β|β=α+2kπ，k∈Z}（弧度制）。*思考與提示：如何判斷一個(gè)角是第幾象限角？寫出與30°角終邊相同的角的集合，并找出其中在-360°到720°之間的角。2.弧度制：*復(fù)習(xí)目標(biāo)：理解弧度制的意義，掌握弧度與角度的換算關(guān)系，能運(yùn)用弧度制解決相關(guān)問題。*要點(diǎn)回顧：*弧度的定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad。*角度與弧度的換算：360°=2πrad，180°=πrad，1°=(π/180)rad≈0.____rad，1rad=(180/π)°≈57.30°。*扇形的弧長公式：l=|α|·r（α為圓心角的弧度數(shù)）；扇形面積公式：S=(1/2)l·r=(1/2)|α|·r2。*思考與提示：為何要引入弧度制？它與角度制相比有何優(yōu)越性？計(jì)算半徑為r，圓心角為60°的扇形弧長與面積（用弧度制）。（二）三角函數(shù)的定義1.任意角的三角函數(shù)定義：*復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義（單位圓定義法），理解三角函數(shù)值的符號規(guī)律，能根據(jù)定義求任意角的三角函數(shù)值。*要點(diǎn)回顧：*單位圓：在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑的圓。*設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，那么：*sinα=y（正弦）*cosα=x（余弦）*tanα=y/x（x≠0）（正切）*三角函數(shù)的定義域：sinα和cosα的定義域?yàn)镽；tanα的定義域?yàn)閧α|α≠π/2+kπ，k∈Z}。*三角函數(shù)值在各象限的符號：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。*思考與提示：除了單位圓定義法，還記得其他定義三角函數(shù)的方法嗎？（如直角三角形定義法，適用于銳角）它們之間有何聯(lián)系？已知角α終邊上一點(diǎn)P(3,-4)，求sinα，cosα，tanα的值。2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系：*復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)系，并能運(yùn)用它們進(jìn)行化簡、求值和證明。*要點(diǎn)回顧：*平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1*商數(shù)關(guān)系：tanα=sinα/cosα（cosα≠0）*思考與提示：這些關(guān)系式是如何由三角函數(shù)定義推導(dǎo)出來的？在使用平方關(guān)系開方時(shí)，如何確定符號？已知sinα=3/5，且α是第二象限角，求cosα和tanα的值。3.誘導(dǎo)公式：*復(fù)習(xí)目標(biāo)：理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)思路（終邊對稱關(guān)系），掌握幾組常用誘導(dǎo)公式，能運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。*要點(diǎn)回顧：*核心思想：“奇變偶不變，符號看象限”。（“奇”、“偶”指的是所加（減）角的整數(shù)倍是π/2的奇數(shù)倍還是偶數(shù)倍；“變”指的是正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切（本階段主要涉及正切）；“符號看象限”指的是將原角視為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號）。*常用公式組：（以“α”視為銳角為例）*sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)*sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα*sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα*sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα*sin(π/2-α)=cosα，cos(π/2-α)=sinα*sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=-sinα*思考與提示：如何快速準(zhǔn)確地記憶和運(yùn)用誘導(dǎo)公式？試求sin(7π/6)，cos(4π/3)，tan(-π/4)的值。二、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：數(shù)形結(jié)合的典范（一）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像1.復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握正弦函數(shù)y=sinx，余弦函數(shù)y=cosx，正切函數(shù)y=tanx的圖像畫法（五點(diǎn)法作圖），能根據(jù)圖像理解其主要性質(zhì)。2.要點(diǎn)回顧：*y=sinx：定義域R，值域[-1,1]，周期2π，奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減。*y=cosx：定義域R，值域[-1,1]，周期2π，偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增，在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減。*y=tanx：定義域{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}，值域R，周期π，奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，在(-π/2+kπ,π/2+kπ)(k∈Z)內(nèi)單調(diào)遞增，圖像有無數(shù)條垂直漸近線x=π/2+kπ(k∈Z)。*五點(diǎn)法作圖：對于y=sinx在[0,2π]上，關(guān)鍵五點(diǎn)為(0,0)，(π/2,1)，(π,0)，(3π/2,-1)，(2π,0)。y=cosx則為(0,1)，(π/2,0)，(π,-1)，(3π/2,0)，(2π,1)。3.思考與提示：正切函數(shù)的周期為什么是π而不是2π？如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=cosx的圖像？（平移變換：y=cosx=sin(x+π/2)）（二）函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的圖像與性質(zhì)1.復(fù)習(xí)目標(biāo)：理解參數(shù)A,ω,φ,B對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B圖像的影響（振幅、周期、相位、初相、上下平移），能根據(jù)圖像確定函數(shù)解析式，掌握其性質(zhì)。2.要點(diǎn)回顧：*物理意義（以正弦函數(shù)為例）：A為振幅，T=2π/ω為周期，f=1/T=ω/(2π)為頻率，ωx+φ為相位，φ為初相，B為縱向平移量（平衡位置）。*圖像變換：*平移變換：y=sinx→y=sin(x+φ)（左加右減）；y=sinx→y=sinx+B（上加下減）。*伸縮變換：y=sinx→y=sin(ωx)（ω>1時(shí)周期變小，圖像橫向壓縮；0<ω<1時(shí)周期變大，圖像橫向拉伸）；y=sinx→y=Asinx（A>1時(shí)振幅變大，圖像縱向拉伸；0<A<1時(shí)振幅變小，圖像縱向壓縮）。*性質(zhì)：由基本正弦函數(shù)的性質(zhì)通過變換得到。定義域R，值域[B-A,B+A]，周期T=2π/ω，對稱軸、對稱中心、單調(diào)區(qū)間等可結(jié)合圖像或通過整體代換思想求得。3.思考與提示：如何由y=sinx的圖像通過變換得到y(tǒng)=2sin(2x+π/3)+1的圖像？并求其周期、振幅、初相及最大值、最小值。三、三角恒等變換：代數(shù)運(yùn)算的深化（一）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1.復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和證明。2.要點(diǎn)回顧：*cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（余弦差角公式，此為基礎(chǔ)）*cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式）*sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ（正弦和角公式）*sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ（正弦差角公式）*tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)（正切和角公式，α,β,α+β均不等于π/2+kπ）*tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)（正切差角公式，α,β,α-β均不等于π/2+kπ）3.思考與提示：這些公式是如何推導(dǎo)出來的？（重點(diǎn)理解余弦差角公式的推導(dǎo)）公式的結(jié)構(gòu)特征是什么？如何靈活運(yùn)用（正用、逆用、變形用）？已知sinα=1/2，cosβ=√2/2，且α為銳角，β為鈍角，求sin(α+β)的值。（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，并能運(yùn)用它們進(jìn)行簡單的恒等變換。2.要點(diǎn)回顧：*sin2α=2sinαcosα（二倍角正弦公式）*cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α（二倍角余弦公式，有三種形式，注意靈活選用）*tan2α=2tanα/(1-tan2α)（二倍角正切公式，α,2α均不等于π/2+kπ）*降冪公式（由二倍角余弦公式變形得到）：*cos2α=(1+cos2α)/2*sin2α=(1-cos2α)/23.思考與提示：二倍角公式與和角公式有何關(guān)系？（令和角公式中的β=α即可得到二倍角公式）在什么情況下需要使用降冪公式？試求sin(π/12)cos(π/12)的值，以及cos2(π/8)-1/2的值。四、解三角形：實(shí)際應(yīng)用的橋梁（一）正弦定理1.復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，能運(yùn)用正弦定理解決三角形中的兩類基本問題：已知兩角和一邊，求其他邊和角；已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊和角（注意解的個(gè)數(shù)討論）。2.要點(diǎn)回顧：*正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為三角形外接圓的半徑）。*變式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；sinA=a/(2R),sinB=b/(2R),sinC=c/(2R)；a:b:c=sinA:sinB:sinC。3.思考與提示：正弦定理可以解決哪些類型的解三角形問題？已知兩邊和其中一邊的對角時(shí)，為什么可能出現(xiàn)兩解、一解或無解的情況？在△ABC中，已知a=3，b=4，A=30°，求B（精確到度）。（二）余弦定理1.復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握余弦定理的內(nèi)容及其證明方法，能運(yùn)用余弦定理解決三角形中的兩類基本問題：已知三邊，求三個(gè)角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。2.要點(diǎn)回顧：*余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即：*a2=b2+c2-2bccosA*b2=a2+c2-2accosB*c2=a2+b2-2abcosC*變式（已知三邊求角）：*cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)*cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)*cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)3.思考與提示：余弦定理與勾股定理有何關(guān)系？（余弦定理是勾股定理的推廣）它可以解決哪些類型的解三角形問題？在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，求角B。（三）三角形的面積公式1.復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握三角形面積的計(jì)算公式，并能靈活運(yùn)用。2.要點(diǎn)回顧：*S=(1/2)ah（a為底，h為對應(yīng)的高）*S=(1/2)absinC=(1/2)bcsinA