中考圓的切線專題數(shù)學(xué)訓(xùn)練題及解析圓的切線是中考數(shù)學(xué)幾何部分的重點內(nèi)容，常常與三角形、四邊形等知識結(jié)合，形成綜合性較強(qiáng)的題目。掌握切線的性質(zhì)與判定，以及相關(guān)輔助線的作法，是解決這類問題的關(guān)鍵。本文將梳理圓的切線核心知識點，并通過典型例題與專題訓(xùn)練，幫助同學(xué)們深化理解，提升解題能力。一、核心知識點回顧在解決圓的切線問題前，我們先來明確幾個基本概念和定理：1.切線的定義：直線和圓只有一個公共點時，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。*此定理是“知切線，連半徑，得垂直”的重要依據(jù)，常用于構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理或三角函數(shù)解決問題。3.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。*判定切線有兩種常見思路：*若已知直線與圓有公共點，則“連半徑，證垂直”。*若未知直線與圓是否有公共點，則“作垂直，證半徑（即證明圓心到直線的距離等于半徑）”。4.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。*此定理常用于證明線段相等、角相等，或進(jìn)行角度、線段長度的計算。二、典型例題精析例題1(切線的性質(zhì)應(yīng)用)已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D。求證：AC平分∠DAB。分析：欲證AC平分∠DAB，即證∠DAC=∠CAB。已知CD是⊙O的切線，根據(jù)切線性質(zhì)，連接OC，則OC⊥CD。又因為AD⊥CD，所以AD∥OC，從而可得∠DAC=∠OCA。而OC=OA（半徑相等），所以∠OCA=∠CAB。等量代換即可得證。證明：連接OC?！逤D是⊙O的切線，C為切點，∴OC⊥CD（切線的性質(zhì)定理）。∵AD⊥CD，∴AD∥OC（垂直于同一條直線的兩條直線平行）?！唷螪AC=∠OCA（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）?！逴C=OA（⊙O的半徑），∴∠OCA=∠CAB（等邊對等角）。∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB。點評：本題主要考查切線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)與判定?！耙娗芯€，連半徑，得垂直”是解決切線性質(zhì)問題的常用輔助線作法，由此可以構(gòu)造出直角或平行線，為后續(xù)證明創(chuàng)造條件。例題2(切線的判定與性質(zhì)綜合)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于點D、E，且∠CBD=∠A。(1)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若AD:AO=8:5，BC=2，求BD的長。分析：(1)要判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，即判斷BD是否為⊙O的切線。已知BD與⊙O有公共點B（因為O在AB上，E在AB上，若B在圓上，則需確認(rèn)；若不在，則需作垂線證距離等于半徑。但題目中說“以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于點D、E”，所以E在AB上，O在AB上，故AE為直徑。點B是否在圓上未知。但∠CBD=∠A，∠A是⊙O的圓周角（若連接OD，則∠ADO=90°？）?？紤]連接OD，嘗試證明OD⊥BD。(2)可利用相似三角形或勾股定理求解。解答：(1)直線BD與⊙O相切。證明如下：連接OD?！逴A=OD（⊙O的半徑），∴∠A=∠ADO（等邊對等角）?！摺螩=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°。又∵∠CBD=∠A，∠A=∠ADO，∴∠ADO+∠CDB=90°?！摺螦DO+∠ODB+∠CDB=180°（平角定義），∴∠ODB=180°-(∠ADO+∠CDB)=180°-90°=90°?！郞D⊥BD。∵OD是⊙O的半徑，∴直線BD與⊙O相切（切線的判定定理）。(2)設(shè)AD=8k，AO=5k，則AE=2AO=10k，OD=OA=5k。由AD=8k，AE=10k，可得DE=AE-AD=2k。（此處可考慮在Rt△ODC或利用△CBD與△BAD相似來求解。）∵∠CBD=∠A，∠C=∠ODB=90°，∴△BCD∽△ODA？或者△BCD∽△BDA？∵∠CBD=∠A，∠B是公共角，∴△BCD∽△BAD（兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似）?！郆C/BA=CD/DA=BD/BD？不對，對應(yīng)邊成比例：BC/BA=CD/DA=BD/AD。即BC/BA=BD/AD。設(shè)CD=x，AC=AD+DC=8k+x。在Rt△ODA中，OD=5k，AD=8k，∠ADO=90°？不，∠ODA不是90°，∠ODB是90°。在Rt△ABC中，tanA=BC/AC=2/(8k+x)。在Rt△ODB中，tan∠DOB=BD/OD=BD/(5k)。而∠DOB=∠A+∠ADO=2∠A（因為∠A=∠ADO）?；蛘?，在Rt△BCD中，tan∠CBD=CD/BC=x/2?！摺螩BD=∠A，∴tan∠A=tan∠CBD，即2/(8k+x)=x/2。得x(8k+x)=4。---(1)由△BCD∽△BAD，得BC/BA=CD/DA，即2/(AB)=x/(8k)，∴AB=16k/x。又AB=AO+OB=5k+OB。在Rt△ODB中，OB2=OD2+BD2=(5k)2+BD2。同時，由△BCD∽△BAD，BD/AD=BC/BA，即BD/(8k)=2/(16k/x)=2x/(16k)=x/(8k)，∴BD=x。所以BD=x。又因為AB=16k/x=5k+OB，OB=√(OD2+BD2)=√(25k2+x2)。所以16k/x-5k=√(25k2+x2)。這個方程看起來比較復(fù)雜。換個思路，在Rt△ADC中，似乎關(guān)系不明顯?；蛘撸^O作OH⊥AC于H，則AH=HD=AD/2=4k（垂徑定理）。OH=√(AO2-AH2)=√(25k2-16k2)=3k。OH∥BC（均垂直于AC），∴△AOH∽△ABC。∴AO/AB=AH/AC=OH/BC。即5k/AB=4k/(8k+x)=3k/2。由4k/(8k+x)=3k/2，k≠0，得4/(8k+x)=3/2，∴3(8k+x)=8，即24k+3x=8。---(2)由3k/2=5k/AB，得AB=(10k)/(3k)=10/3。由5k/(10/3)=4k/(8k+x)，也可得到相同關(guān)系。由(2)式24k+3x=8，得8k+x=8/3。代入(1)式x*(8/3)=4，解得x=4*3/8=3/2?！連D=x，∴BD=3/2。點評：本題第(1)問考查切線的判定，關(guān)鍵是連接半徑OD，證明OD⊥BD。第(2)問綜合性較強(qiáng)，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，需要同學(xué)們根據(jù)已知條件靈活選擇合適的知識點進(jìn)行求解。利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解決線段長度問題的常用方法。三、專題訓(xùn)練題1.選擇題：如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，點C在⊙O上，若∠ACB=70°，則∠P的度數(shù)為（）A.70°B.50°C.20°D.40°2.填空題：已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為d，若直線l與⊙O相切，則d=______cm。3.解答題：如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D是BC的中點，DE⊥AC于E。求證：DE是⊙O的切線。4.解答題：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E。(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若∠BAC=120°，AB=6，求DE的長。5.解答題：如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E。(1)求證：AB=BE；(2)若PA=2，cos∠B=3/5，求⊙O的半徑長。6.綜合題：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB交于點D，過點D作⊙O的切線DE，交AC于點E。(1)求證：OE⊥AC；(2)若AD=OA，OE=3，求BC的長。四、參考答案與解析1.D解析：連接OA、OB?！逷A、PB是⊙O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°?！摺螦CB=70°，∴∠AOB=2∠ACB=140°（同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍）。在四邊形OAPB中，∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-140°=40°。故選D。2.5解析：直線與圓相切的條件是圓心到直線的距離等于圓的半徑。已知⊙O半徑為5cm，故d=5cm。3.證明：連接OD、OC。∵D是BC的中點，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD=∠COD（等弧所對的圓心角相等）?！逴A=OC，∴∠OAC=∠OCA（等邊對等角）。又∵∠AOC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，且∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BOD，∴2∠OAC+2∠BOD=180°，即∠OAC+∠BOD=90°?！逥E⊥AC，∴∠DEA=90°，∴∠OAC+∠EDA=90°。∴∠EDA=∠BOD?！逴A=OB，OD=OD，∠AOD=∠BOD+∠AOB？不，∠AOD是∠AOB的一部分？或者，∵∠BOD=∠EDA，且∠EDA與∠ODE是對頂角嗎？∵∠BOD=∠EDA，∠EDA=∠CDE（對頂角），∴∠BOD=∠CDE?！逴B=OD，∴∠OBD=∠ODB。又∵∠OBD+∠BAC=90°（AB是直徑，∠ACB=90°），∴∠ODB+∠CDE=90°，即∠ODE=90°?！郞D⊥DE?！逴D是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線。（注：更簡潔的證法是連接OD，證明OD∥AC?！逥是BC中點，O是AB中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC?！逥E⊥AC，∴OD⊥DE，得證。此法更佳?。?.(1)證明：連接OD、AD。∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC?！逜B=AC，∴△ABC是等腰三角形，AD是底邊BC上的中線（三線合一），∴BD=DC。∵OA=OB，BD=DC，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC?！逥E⊥AC，∴OD⊥DE?！逴D是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線。(2)解：∵AB=AC=6，∠BAC=120°，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=60°，∠C=30°。在Rt△ADC中，AC=6，∠CAD=60°，∴CD=AC·cos∠C=6·cos30°=6·(√3/2)=3√3?；駻D=AC·sin30°=3，CD=AC·cos30°=3√3。在Rt△CDE中，∠C=30°，CD=3√3，∴DE=CD·sin∠C=3√3·(1/2)=(3√3)/2。5.(1)證明：連接OD。∵PD切⊙O于點D，∴OD⊥PC。∵BE⊥PC，∴OD∥BE。∴∠ADO=∠E?！逴A=OD，∴∠OAD=∠ADO?！唷螼AD=∠E，∴AB=BE。(2)解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=OB=r，AB=2r，BE=AB=2r?！逷A=2，∴PO=PA+AO=2+r?！逴D∥BE，∴△POD∽△PBE?！郟O/PB=OD/BE，即(2+r)/(2+2r)=r/(2r)=1/2。解得2(2+r)=2+2r，4+2r=2+2r，4=2？此方程無解，說明比例式有誤。應(yīng)為PO/PB=OD/BE，PO