廣東汕尾市2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)試題本試題共4頁，考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處．2．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．3．答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，且，則（）A.4 B. C.1 D.2.現(xiàn)有7個紅色研學(xué)紀(jì)念勛章盲盒，其中3個放有“彭湃故居”紀(jì)念勛章．甲、乙兩名學(xué)生先后從中各任取一個盲盒，則乙領(lǐng)到“彭湃故居”紀(jì)念勛章的概率為（）A. B. C. D.3.拋物線準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.4.汕尾4個國家級名錄特色農(nóng)產(chǎn)品（城區(qū)東涌鎮(zhèn)寶樓村紅燈籠荔枝、華僑管理區(qū)紅楊桃、陸河縣河口鎮(zhèn)油柑、陸豐市橋沖鎮(zhèn)及內(nèi)湖鎮(zhèn)蓮藕）種植戶眾多．現(xiàn)有荔枝戶40戶、楊桃戶50戶、油柑戶60戶、蓮藕戶50戶．用分層抽樣抽取容量為20的樣本，應(yīng)抽取油柑戶（）A.2戶 B.4戶 C.6戶 D.15戶5.已知直線，直線，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.過點與圓相切兩條切線的夾角為，則（）A. B. C. D.7.在棱長為2的正四面體中，M，N分別為BC，AD的中點，則直線AM和CN夾角的正弦值為（）A. B. C. D.8.在長方體中，，現(xiàn)有一個動平面，且，當(dāng)平面截此長方體所得截面邊數(shù)最多時，截面的周長為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若一組數(shù)據(jù)6，4，a，8，6，10，12的平均數(shù)為7，則（）A. B.該組數(shù)據(jù)的極差是8C.該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為10 D.去掉后該組數(shù)據(jù)的方差不變10.已知點，圓是圓的一條直徑的兩個端點，且圓和圓相交于A，B兩點，則（）A.圓的方程為 B.直線AB的方程為C.PA與圓相切 D.若圓上恰有三個點到直線的距離為1，則11.如圖，在棱長為2正方體中，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點，且，則（）A.B.平面平面C.若M，N分別為對角線和AC上的動點，則的最小值為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時，平面與平面BEF的夾角的余弦值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，且事件與事件相互獨立，則___________．13.已知矩形，沿對角線BD將折起，使得，則二面角的余弦值為___________．14.已知直線與拋物線交于A，B兩點，點為焦點，且交AB于點，點為該拋物線上點，則的平分線所在直線的方程為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知傾斜角為的直線過點，圓的圓心在直線上，且圓過點和點．（1）求直線的一般式方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積．16.汕尾文旅文創(chuàng)展區(qū)有8件不同的特色紀(jì)念品，其中5件是甲子貝雕書簽，3件是捷勝泥塑掛件．現(xiàn)從中不放回依次隨機(jī)取出2件作為文旅伴手禮．（1）求第二次取到捷勝泥塑掛件的概率；（2）求至少取到1件捷勝泥塑掛件的概率．17.“廣東萬里碧道·汕尾品清湖鐵人三項賽”是汕尾市重點打造，融合體育競技、綠美生態(tài)體驗與濱海旅游資源品牌賽事，吸引了全國眾多愛好者．為科學(xué)評估大眾選手在品清湖“歡樂跑”（10千米）項目的表現(xiàn)，組委會從所有完賽選手中隨機(jī)抽取了100人的成績（單位：分，成績均為不低于40的整數(shù)）作為樣本進(jìn)行分析，并據(jù)此繪制了如下頻率分布表和頻率分布直方圖．成績分組／分鐘頻數(shù)510202510（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計算頻率分布表中的a值和頻率分布直方圖中的值；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計這100名選手“歡樂跑”成績的樣本眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；（3）已知落在區(qū)間的平均成績是54，方差是7，落在區(qū)間的平均成績?yōu)?3，方差是4，求兩組成績合并后的總平均數(shù)和總方差．18.如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，平面，且．（1）若，證明：平面；（2）若點在線段上，，動點在平面內(nèi)，且．①求三棱錐的體積的最大值；②求直線與平面所成角的正弦值的最大值．19.已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上的一點，且的周長為6，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點．①若線段的垂直平分線與軸的交點坐標(biāo)為，求的取值范圍；②已知點分別為橢圓的左、右頂點，為坐標(biāo)原點，直線與交于點，點與點關(guān)于原點對稱，三點共線，求證：直線經(jīng)過定點．廣東汕尾市2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)試題本試題共4頁，考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處．2．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．3．答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，且，則（）A.4 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運算直接求解即可.【詳解】因為，且，所以，解得.故選：B2.現(xiàn)有7個紅色研學(xué)紀(jì)念勛章盲盒，其中3個放有“彭湃故居”紀(jì)念勛章．甲、乙兩名學(xué)生先后從中各任取一個盲盒，則乙領(lǐng)到“彭湃故居”紀(jì)念勛章的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先把甲的抽取結(jié)果分為兩種互斥情況，再分別計算兩種情況下乙的概率，最后合并計算總概率，即可得到乙抽到目標(biāo)勛章的總概率.【詳解】情況1：甲先抽到了“彭湃故居”紀(jì)念勛章（概率為），此時剩下6個盲盒，其中2個是“彭湃故居”紀(jì)念勛章，則乙抽到的概率為；情況2：甲沒抽到“彭湃故居”紀(jì)念勛章（概率為），此時剩下6個盲盒，其中3個是“彭湃故居”紀(jì)念勛章，則乙抽到的概率為；所以（乙抽到）.故選：D3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程直接得到準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：C4.汕尾4個國家級名錄特色農(nóng)產(chǎn)品（城區(qū)東涌鎮(zhèn)寶樓村紅燈籠荔枝、華僑管理區(qū)紅楊桃、陸河縣河口鎮(zhèn)油柑、陸豐市橋沖鎮(zhèn)及內(nèi)湖鎮(zhèn)蓮藕）種植戶眾多．現(xiàn)有荔枝戶40戶、楊桃戶50戶、油柑戶60戶、蓮藕戶50戶．用分層抽樣抽取容量為20的樣本，應(yīng)抽取油柑戶（）A.2戶 B.4戶 C.6戶 D.15戶【答案】C【解析】【分析】先計算總體數(shù)量，再求出抽樣比，最后用抽樣比乘以油柑戶的數(shù)量得到應(yīng)抽取的戶數(shù).【詳解】總體戶數(shù)（戶），抽樣比，應(yīng)抽取油柑戶數(shù)量=（戶）.故選：C.5.已知直線，直線，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)結(jié)論求出的充要條件，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷.【詳解】的充要條件為，即，得或，故是的充分不必要條件.故選：A6.過點與圓相切的兩條切線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意可得圓心為，半徑，設(shè)，切點分別為、，即可得到且，求出，再由二倍角公式計算可得.【詳解】圓的圓心為，半徑，設(shè)，過點的圓的切線的切點分別為、，連接、、，則且，又，，所以，所以.故選：C7.在棱長為2的正四面體中，M，N分別為BC，AD的中點，則直線AM和CN夾角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接MD，取其中點Q，連接，由得到是直線AM和CN的夾角或補(bǔ)角，接著在中由余弦定理求出即可求解.【詳解】連接MD，取其中點Q，連接，由題意可得，，且，所以是直線AM和CN的夾角或補(bǔ)角，，所以.所以，即直線AM和CN夾角的正弦值為.故選：A8.在長方體中，，現(xiàn)有一個動平面，且，當(dāng)平面截此長方體所得截面邊數(shù)最多時，截面的周長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由面面平行得出線面平行，設(shè)出比例，根據(jù)相似表示出邊長，最后求得周長.【詳解】如圖，截面，由于，則，設(shè)，則，，，則，則周長為，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若一組數(shù)據(jù)6，4，a，8，6，10，12的平均數(shù)為7，則（）A. B.該組數(shù)據(jù)的極差是8C.該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為10 D.去掉后該組數(shù)據(jù)的方差不變【答案】AC【解析】【分析】選項A：用平均數(shù)公式列方程，直接求解；選項B：找出最大值和最小值，兩者相減即可；選項C：先排序，再計算位置，按規(guī)則取對應(yīng)數(shù)值；選項D：分別計算去掉前后的方差，對比判斷是否變化.【詳解】選項A：由平均數(shù)公式得，解得.A正確.選項B：因為數(shù)據(jù)集為，所以極差為.B錯誤.選項C：排序后數(shù)據(jù)為，第75百分位數(shù)為第6個數(shù)，即10.C正確.選項D：因為原數(shù)據(jù)：，則平均數(shù)，所以原方差為;因為去掉后的新數(shù)據(jù)：，則平均數(shù)，所以新方差：;因為，所以去掉后，方差發(fā)生了變化.D錯誤.故選：AC.10.已知點，圓是圓的一條直徑的兩個端點，且圓和圓相交于A，B兩點，則（）A.圓的方程為 B.直線AB的方程為C.PA與圓相切 D.若圓上恰有三個點到直線的距離為1，則【答案】ACD【解析】【分析】選項A由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解；選項B聯(lián)立兩圓方程求解；選項C驗證；選項D轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解.【詳解】因為點是圓的一條直徑的兩個端點，所以圓的圓心為，半徑為，所以圓的方程為，即，選項A正確.圓和圓相交于A，B兩點，聯(lián)立方程得，所以直線AB的方程為，選項B不正確.設(shè)點，代入圓的方程中，得，若PA與圓相切，則，，得，故選項C正確.若圓上恰有三個點到直線的距離為1，則圓心到直線的距離為1，即，解得，故選項D正確.故選：ACD11.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點，且，則（）A.B.平面平面C.若M，N分別為對角線和AC上的動點，則的最小值為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時，平面與平面BEF的夾角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】建系并標(biāo)點，利用空間向量判斷線線垂直和面面垂直，即可判斷AB；設(shè)，利用空間向量可得點到直線的距離，即可判斷C；根據(jù)錐體的體積公式結(jié)合基本不等式分析三棱錐的體積最大，進(jìn)而利用空間向量求面面夾角，即可判斷D.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則.對于選項A：因為，則，所以，故A正確；對于選項B：因為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得；因為不恒成立，所以平面與平面不一定垂直，故B錯誤；對于選項C：因為，設(shè)，其中，則，點到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，所以的最小值不為，故C錯誤；對于選項D：因為三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，由題意可知：平面BEF的法向量為，則，所以平面與平面BEF夾角的余弦值為，故D正確；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，且事件與事件相互獨立，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)獨立事件的概率公式求出.【詳解】由題意可得，.故答案為：13.已知矩形，沿對角線BD將折起，使得，則二面角的余弦值為___________．【答案】##【解析】【分析】過點作，過點作，求得，，，再根據(jù)，得，展開后，即可解得，再結(jié)合二面角的定義，即可得解.詳解】過點作，過點作，，，，，則，即，，，，，又因為故二面角的余弦值為.故答案為：.14.已知直線與拋物線交于A，B兩點，點為焦點，且交AB于點，點為該拋物線上的點，則的平分線所在直線的方程為______．【答案】【解析】【分析】首先由已知條件求出直線的方程，接著將其與拋物線聯(lián)立，從而確定拋物線方程為，再代入點求出的坐標(biāo)，并求出為直角，進(jìn)而求出其平分線方程.【詳解】由且，得，故，所以直線過點，方程為：，將代入，得：，設(shè)交點對應(yīng)根為，則：，因為，即，代入得：，所以，化簡得，解得：，所以拋物線方程：，焦點，因為點在拋物線上，代入得，故，所以當(dāng)，時，為水平線，，時，為豎直線，所以為直角，其平分線斜率為（指向右下方），過點，所以的平分線所在直線的方程為：，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知傾斜角為的直線過點，圓的圓心在直線上，且圓過點和點．（1）求直線的一般式方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)點斜式求出直線的方程，根據(jù)直線方程設(shè)圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓的定義計算半徑即可；（2）求出圓心到直線AB的距離，再利用面積公式求出.小問1詳解】由題意可知，直線的斜率為，且過點，所以直線的方程為，即直線的一般式方程為，因為圓心在直線上，所以可設(shè)圓心，因為A，B是圓上的兩點，所以，則，解得，所以圓心，圓的半徑為，故所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【小問2詳解】直線AB的方程為，圓心到直線AB的距離為，所以的面積為．16.汕尾文旅文創(chuàng)展區(qū)有8件不同的特色紀(jì)念品，其中5件是甲子貝雕書簽，3件是捷勝泥塑掛件．現(xiàn)從中不放回依次隨機(jī)取出2件作為文旅伴手禮．（1）求第二次取到捷勝泥塑掛件的概率；（2）求至少取到1件捷勝泥塑掛件的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式計算或利用互斥事件和古典概型的概率公式求解；（2）根據(jù)對立事件的概率公式求解.【小問1詳解】方法1：從8件紀(jì)念品中依次不放回取出2個，共有（種）等可能的結(jié)果，記事件“第一次取到捷勝泥塑掛件”，事件“第二次取到捷勝泥塑掛件”，則，且AB與互斥．由圖可知，所以，所以第二次取到捷勝泥塑掛件的概率為．方法2：第二次取到捷勝泥塑掛件，有兩種情況：情況1：第一次取到甲子貝雕書簽，第二次取到捷勝泥塑掛件，記其概率為，有；情況2：第一次取到捷勝泥塑掛件，第二次取到捷勝泥塑掛件，記其概率為，有；第二次取到捷勝泥塑掛件的總概率為．【小問2詳解】方法1：記“至少取到1件捷勝泥塑掛件”，則“兩次都沒有取到捷勝泥塑掛件”，則，所以，所以，因此至少取到1件捷勝泥塑掛件概率為．方法2：設(shè)取到2件甲子貝雕書簽的概率為，則，則至少取到1件捷勝泥塑掛件的概率為．17.“廣東萬里碧道·汕尾品清湖鐵人三項賽”是汕尾市重點打造，融合體育競技、綠美生態(tài)體驗與濱海旅游資源的品牌賽事，吸引了全國眾多愛好者．為科學(xué)評估大眾選手在品清湖“歡樂跑”（10千米）項目的表現(xiàn)，組委會從所有完賽選手中隨機(jī)抽取了100人的成績（單位：分，成績均為不低于40的整數(shù)）作為樣本進(jìn)行分析，并據(jù)此繪制了如下頻率分布表和頻率分布直方圖．成績分組／分鐘頻數(shù)510202510（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計算頻率分布表中的a值和頻率分布直方圖中的值；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計這100名選手“歡樂跑”成績的樣本眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；（3）已知落在區(qū)間的平均成績是54，方差是7，落在區(qū)間的平均成績?yōu)?3，方差是4，求兩組成績合并后的總平均數(shù)和總方差．【答案】（1），（2）眾數(shù)75，中位數(shù)為75，平均數(shù)74（3）60，23【解析】【分析】（1）利用頻率分布表頻數(shù)和求出，再利用頻率分布直方圖求出.（2）利用頻率分布直方圖求出估計眾數(shù)，再利用頻率分布直方圖估計中位數(shù)及平均數(shù).（3）利用分層抽樣的平均數(shù)及方差公式求解.【小問1詳解】由頻率分布表知，解得，所以頻率分布直方圖中.【小問2詳解】由頻率分布表和頻率分布直方圖，估計樣本的眾數(shù)，由（1）及頻率分布表知，數(shù)據(jù)落在各組的頻率按成績由低到高依次為，樣本的中位數(shù)為，則，解得，估計樣本的平均數(shù)為.【小問3詳解】兩組成績合并后的總平均數(shù)，兩組成績合并后的總方差.18.如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，平面，且．（1）若，證明：平面；（2）若點在線段上，，動點在平面內(nèi)，且．①求三棱錐的體積的最大值；②求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）①；②．【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，推導(dǎo)出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）①以為坐標(biāo)原點，直線、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)化簡得出，然后利用錐體的體積公式可求得三棱錐的體積的最大值；②設(shè)點，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值的最大值.【小問1詳解】如圖1，連接交于點，連接．因為且，所以，又因為，所以，所以，因為點、、、、共面，所以，因為面，面，所以面．【小問2詳解】因為平面，、平面，所以，，又因為，所以以為坐標(biāo)原點，直線、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，所以、，設(shè)，①因為，所以，化簡整理可得，因為平面，所以為三棱錐的高，所以．所以三棱錐的體積的最大值為．②因為、，所以，，設(shè)平面