高等數(shù)學(xué)重點復(fù)習(xí)資料高等數(shù)學(xué)是理工科學(xué)生的重要基礎(chǔ)課程，其概念抽象、邏輯嚴(yán)密、應(yīng)用廣泛。本復(fù)習(xí)資料旨在梳理高等數(shù)學(xué)核心知識點，幫助同學(xué)們鞏固基礎(chǔ)、抓住重點、突破難點，提升綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。復(fù)習(xí)時，應(yīng)注重理解概念的本質(zhì)，掌握基本方法，強化解題訓(xùn)練，并構(gòu)建知識體系。一、函數(shù)、極限與連續(xù)性函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的研究對象，極限是其基本工具，連續(xù)性則是函數(shù)的重要特性。（一）函數(shù)1.函數(shù)的概念：理解函數(shù)的定義，包括定義域、值域及對應(yīng)法則三要素。掌握函數(shù)定義域的求法，特別是分式、根式、對數(shù)式、三角函數(shù)及反三角函數(shù)等常見函數(shù)的定義域限制。2.函數(shù)的特性：掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性的定義及幾何意義，并能運用定義判斷函數(shù)的這些特性。3.基本初等函數(shù)與初等函數(shù)：熟練掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)。理解初等函數(shù)的概念，即由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合運算所得到的函數(shù)。（二）極限1.極限的定義：理解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括自變量趨于有限值和無窮大兩種情形）的“ε-N”、“ε-δ”定義思想，雖不要求嚴(yán)格證明，但需理解其描述的變化趨勢。2.極限的性質(zhì)：掌握極限的唯一性、局部有界性、局部保號性。3.極限存在準(zhǔn)則：掌握夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則，并能運用它們判斷某些極限的存在性及求極限。4.重要極限：熟記并能靈活運用兩個重要極限公式及其變形。5.無窮小量與無窮大量：理解無窮小量、無窮大量的概念及其相互關(guān)系，掌握無窮小量的性質(zhì)和等價無窮小量替換定理，這是求極限的重要方法。（三）連續(xù)性1.函數(shù)連續(xù)的定義：理解函數(shù)在一點連續(xù)的定義（包括極限形式和增量形式），掌握間斷點的定義及分類（第一類間斷點：可去、跳躍；第二類間斷點：無窮、振蕩等）。2.連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性：了解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。知道一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理、最大值最小值定理、介值定理（包括零點定理），并能運用這些性質(zhì)解決一些簡單的存在性問題。二、一元函數(shù)微分學(xué)微分學(xué)是研究函數(shù)變化率的學(xué)問，導(dǎo)數(shù)與微分是其核心概念。（一）導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的概念：理解導(dǎo)數(shù)的定義（瞬時變化率），掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率）和物理意義（如速度、加速度）。理解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系（可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)）。2.導(dǎo)數(shù)的計算：*掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。*掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t），這是求導(dǎo)的核心。*掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法。*理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。3.微分的概念：理解微分的定義，掌握微分的幾何意義，了解微分的運算法則及一階微分形式的不變性。掌握導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系（可微與可導(dǎo)等價，dy=f'(x)dx）。（二）微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.微分中值定理：理解羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，了解柯西中值定理。這些定理是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的理論基礎(chǔ)，需理解其幾何意義，并能用于證明一些簡單的不等式或方程根的存在性。2.泰勒公式：了解泰勒中值定理（帶拉格朗日余項或佩亞諾余項），掌握幾個常見函數(shù)（如e^x,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)^α）的麥克勞林展開式，并能利用泰勒公式進行近似計算和極限計算。3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：*函數(shù)單調(diào)性的判定：利用一階導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。*函數(shù)的極值：理解極值的定義，掌握極值存在的必要條件和充分條件（一階導(dǎo)數(shù)變號或二階導(dǎo)數(shù)符號），會求函數(shù)的極值。*函數(shù)的最值：掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的求法，會解決簡單的最值應(yīng)用問題。*曲線的凹凸性與拐點：利用二階導(dǎo)數(shù)的符號判斷曲線的凹凸區(qū)間，會求曲線的拐點。*函數(shù)圖形的描繪：綜合運用函數(shù)的各種性態(tài)（定義域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點、漸近線等）描繪函數(shù)圖形。*曲率：了解曲率、曲率半徑的概念及簡單計算（根據(jù)專業(yè)需求）。三、一元函數(shù)積分學(xué)積分學(xué)與微分學(xué)互為逆運算，主要研究總量的計算問題。（一）不定積分1.不定積分的概念與性質(zhì)：理解原函數(shù)與不定積分的定義，掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式。2.不定積分的換元積分法：掌握第一類換元法（湊微分法）和第二類換元法（如三角代換、根式代換、倒代換等）。3.不定積分的分部積分法：掌握分部積分公式，并能熟練運用于求解冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)的乘積等類型的積分。4.有理函數(shù)的積分：了解有理函數(shù)積分的一般步驟（部分分式分解），會求簡單有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及無理函數(shù)的積分。（二）定積分1.定積分的概念與性質(zhì)：理解定積分的定義（分割、近似、求和、取極限）及其幾何意義和物理意義。掌握定積分的基本性質(zhì)（線性性、區(qū)間可加性、比較定理、估值定理、中值定理等）。2.微積分基本定理：深刻理解變上限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（原函數(shù)存在定理），掌握牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本公式），它建立了定積分與不定積分之間的聯(lián)系，是計算定積分的基礎(chǔ)。3.定積分的計算：掌握定積分的換元積分法和分部積分法，注意換元必?fù)Q限，分部積分法中各部分的選取。4.反常積分：理解無窮限反常積分和無界函數(shù)反常積分（瑕積分）的概念，會計算一些簡單的反常積分，并判斷其斂散性。（三）定積分的應(yīng)用1.幾何應(yīng)用：*掌握利用定積分求平面圖形的面積（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）。*掌握利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積（圓盤法、殼層法）及平行截面面積已知的立體體積。*會求平面曲線的弧長（直角坐標(biāo)、參數(shù)方程、極坐標(biāo)）。2.物理應(yīng)用：（根據(jù)專業(yè)需求）*會用定積分求變力做功、液體壓力、引力、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量等。四、多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)微積分是一元函數(shù)微積分的推廣，處理多個變量的函數(shù)問題。（一）多元函數(shù)的基本概念1.多元函數(shù)的概念：理解二元函數(shù)的定義、幾何意義（曲面）。了解多元函數(shù)的極限（重極限）和連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值定理、介值定理）。2.偏導(dǎo)數(shù)與全微分：理解偏導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義，掌握多元函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的計算。理解全微分的定義，了解函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)之間的關(guān)系。掌握全微分的計算。3.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：掌握多元復(fù)合函數(shù)（包括抽象函數(shù)）一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會求二階偏導(dǎo)數(shù)。4.隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：掌握由一個方程確定的隱函數(shù)（一元和二元）的求導(dǎo)方法，會求隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)。（二）多元函數(shù)的極值1.多元函數(shù)的極值與最值：理解多元函數(shù)極值的定義，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件。會求二元函數(shù)的極值，會解簡單的多元函數(shù)最值應(yīng)用問題。2.條件極值：理解條件極值的概念，掌握拉格朗日乘數(shù)法，會求簡單條件極值問題。（三）重積分1.二重積分的概念與性質(zhì)：理解二重積分的定義（和式極限）及其幾何意義（曲頂柱體體積）。掌握二重積分的基本性質(zhì)。2.二重積分的計算：掌握二重積分在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的計算方法（化為累次積分），會根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系和積分次序。3.三重積分：（根據(jù)專業(yè)需求）理解三重積分的概念，掌握在直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下計算三重積分的方法。4.重積分的應(yīng)用：會用二重積分求平面圖形的面積、體積、曲面面積、質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量等。（四）曲線積分與曲面積分（根據(jù)專業(yè)需求，這部分內(nèi)容較為深入，需重點掌握基本概念和計算方法）1.第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：理解其概念、性質(zhì)，掌握其計算方法（化為定積分）。2.第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：理解其概念、性質(zhì)，掌握其計算方法（化為定積分），了解兩類曲線積分的聯(lián)系。理解格林公式的條件和結(jié)論，會運用格林公式計算曲線積分。了解平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件，并會應(yīng)用于二元函數(shù)全微分求積。3.第一類曲面積分（對面積的曲面積分）：理解其概念、性質(zhì)，掌握其計算方法（化為二重積分）。4.第二類曲面積分（對坐標(biāo)的曲面積分）：理解其概念、性質(zhì)，掌握其計算方法（化為二重積分），了解兩類曲面積分的聯(lián)系。理解高斯公式的條件和結(jié)論，會運用高斯公式計算曲面積分。了解斯托克斯公式（空間曲線積分與曲面積分的聯(lián)系）。五、常微分方程微分方程是描述自然規(guī)律的重要數(shù)學(xué)工具，研究含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程。（一）微分方程的基本概念理解微分方程的定義、階、解、通解、特解、初始條件等基本概念。（二）一階微分方程1.可分離變量的微分方程：掌握分離變量法求解。2.齊次方程：掌握齊次方程的解法（通過變量代換化為可分離變量方程）。3.一階線性微分方程：掌握一階線性齊次和非齊次微分方程的解法（常數(shù)變易法或公式法）。4.伯努利方程：了解伯努利方程的形式及解法（通過變量代換化為線性方程）。（三）可降階的高階微分方程掌握以下幾類可降階方程的解法：1.y^(n)=f(x)型2.y''=f(x,y')型（不顯含y）3.y''=f(y,y')型（不顯含x）（四）高階線性微分方程1.線性微分方程解的結(jié)構(gòu)：理解高階線性齊次和非齊次微分方程解的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)（疊加原理、齊次通解+非齊次特解）。2.二階常系數(shù)線性齊次微分方程：掌握特征方程法求解，根據(jù)特征根的不同情況（相異實根、重根、共軛復(fù)根）寫出通解。3.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程：掌握當(dāng)非齊次項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及其乘積時特解的待定系數(shù)法，進而寫出通解。六、無窮級數(shù)無窮級數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)及進行數(shù)值計算的重要工具。（一）常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)1.常數(shù)項級數(shù)的概念：理解級數(shù)收斂、發(fā)散及級數(shù)和的定義。2.級數(shù)的基本性質(zhì)：掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件（級數(shù)收斂則通項趨于零）。3.正項級數(shù)及其審斂法：掌握正項級數(shù)的比較審斂法（包括極限形式）、比值審斂法、根值審斂法。4.交錯級數(shù)與萊布尼茨審斂法：掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨審斂法。5.絕對收斂與條件收斂：理解絕對收斂與條件收斂的概念，了解絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)。（二）冪級數(shù)1.冪級數(shù)的概念：理解冪級數(shù)的定義、收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域的概念。2.冪級數(shù)的收斂性：掌握冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間的求法。了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導(dǎo)、逐項積分）。3.函數(shù)展開成冪級數(shù)：掌握將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的充要條件。熟記e^x,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)^α的麥克勞林展開式，并能利用這些展開式將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。---復(fù)習(xí)建議與方法：1.回歸教材，夯實基礎(chǔ)：重點掌握基本概念、基本